Td corrigé Exercice 1 - Free pdf

Exercice 1 - Free

PARTIE II : 1) a. Prix à payer avec 2 forfaits adulte et un forfait enfant : 2 × 12 + 7 = 31?. Le forfait famille n'est pas avantageux. b. Soit N le nombre d'enfants.




part of the document



Classe : 2nde 9Le 22/04/2003MATHEMATIQUES
DEVOIR N°6
Durée : 2 heures

Exercice 1 : (6 points)
Résoudre l’inéquation :  eq \s\do1(\f((-2x + 4)(x² + 1); (x + 4)(5x – 3))) ( 0.


Exercice 2 : (13,5 points)
On se place dans un repère (O ; eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );i), eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );j)).
Soient les points A(-  eq \s\do1(\f(7;2)) ; 2), B(-2 ; 5), C(5 ;  eq \s\do1(\f(13;2))), D(3 ;  eq \s\do1(\f(5;2))).
Déterminer les coordonnées des vecteurs  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CD).
En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
On définit le point I par l’égalité : eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IA) =  eq \s\do1(\f(3;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );ID).
Montrer que les coordonnées de I sont (-23 ;  eq \s\do1(\f(1;2))).
Les points I, B et C sont-ils alignés ?
J et K étant les milieux respectifs de [AB] et [CD], déterminer les coordonnées de J et K.
Démontrer alors que les points I, J et K sont alignés.


Exercice 3 : (12 points)
ABC est un triangle.
Placer les points D, E et F tels que :  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AD) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC) ;  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BE) = -  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CB)
et F est le milieu de [AC].
Exprimer, en justifiant, le vecteur  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) en fonction de  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );FE).
a) Exprimer le vecteur  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE) en fonction de  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC).
b) En déduire un réel k tel que  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AD) = k  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE).
c) Que peut-on alors conclure ?
a) Placer le point M tel que :  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MA) – 3 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MB) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );0)
b) Placer le point G symétrique de F par rapport à C.
Montrer que  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GA) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) puis que  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GD) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB).
c) En déduire la nature du quadrilatère AMDG.


Exercice 4 : (8,5 points)
ABC est un triangle
Placer les points H et G vérifiant les relations suivantes :
 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH) = -  eq \s\do1(\f(3;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BG) = -  eq \s\do1(\f(7;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC)
On choisit le repère (A ; eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB), eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC))
Donner les coordonnées des points A, B et C dans ce repère.
Déterminer les coordonnées des points H et G dans ce repère.
Les points A, G et H sont-ils alignés ?



Correction du devoir N°6 :
Exercice1 :
-2x + 4 > 0 pour x < 2, c’est à dire x(]-( ; 2[
x + 4 < 0 pour x > -4, c’est à dire x(]-4 ; +([
5x – 3 < 0 pour x >  eq \s\do1(\f(3;5)) , c’est à dire x(] eq \s\do1(\f(3;5)) ; +([
x² ( 0 pour tout x(( donc x² + 1 > 0 pour tout réel x
x-( -4  eq \s\do1(\f(3;5)) 2 +(signe de (-2x+4)+++ 0 –signe de (x²+1)++++signe de (x+4) 0 +++signe de (5x 3)  0 ++signe de  eq \s\do1(\f((-2x+4)(x²+1); (x+4)(5x 3)))+ + 0  L ensemble des solutions de l inéquation est ]-( ; -4[*"] eq \s\do1(\f(3;5)) ; 2].

Exercice 2:
Dans un repère (O ; eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );i), eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );j)), A(- eq \s\do1(\f(7;2)) ; 2), B(-2 ;5), C(5 ; eq \s\do1(\f(13;2))) et D(3 ;  eq \s\do1(\f(5;2))).
1.  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(xB – xA ;yB – yA))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(-2 –  eq \b(- eq \s\do1(\f(7;2))) ;5 – 2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1( eq \s\do1(\f(3;2)) ;3)) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CD)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(3 – 5 ; eq \s\do1(\f(5;2))  –  eq \s\do1(\f(13;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CD)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(-2 ;-4))
2. xy’ – x’y =  eq \s\do1(\f(3;2)) ( (-4) – (-2) ( 3 = -6 + 6 = 0.
Donc  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CD) sont colinéaires et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
En conclusion, ABCD est un trapèze.
3. I(xI ; yI)  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IA)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(7;2)) – xI ;2 – yI)) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );ID)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(3 – xI ; eq \s\do1(\f(5;2)) – yI)). L’égalité  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IA) =  eq \s\do1(\f(3;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );ID) nous donne :  eq \a\ac\hs4\co1(-  eq \s\do1(\f(7;2)) – xI =  eq \s\do1(\f(3;4))(3 – xI) c’est à dire - eq \s\do1(\f(7;2)) – xI =  eq \s\do1(\f(9;4)) –  eq \s\do1(\f(3;4)) xI ;2 – yI =  eq \s\do1(\f(3;4)) eq \b( eq \s\do1(\f(5;2)) – yI) c’est à dire 2 – yI =  eq \s\do1(\f(15;8)) –  eq \s\do1(\f(3;4)) yI)
La première égalité donne :  eq \s\do1(\f(1;4)) xI = - eq \s\do1(\f(7;2)) –  eq \s\do1(\f(9;4)) = -  eq \s\do1(\f(23;4)) donc xI = -23
La deuxième égalité donne :  eq \s\do1(\f(1;4)) yI = 2 –  eq \s\do1(\f(15;8)) =  eq \s\do1(\f(1;8)) donc yI = -  eq \s\do1(\f(1;2)) et I(-23 ; -  eq \s\do1(\f(1;2)))
4.  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(-2 – (-23) ;5 –  eq \s\do1(\f(1;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(21 ; eq \s\do1(\f(9;2)))) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IC)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(5 – (-23) ; eq \s\do1(\f(13;2)) –  eq \s\do1(\f(1;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IC)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(28 ;6))
xy’ – x’y = 21 ( 6 – 28 (  eq \s\do1(\f(9;2)) = 126 – 126 = 0
Donc  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IC) sont colinéaires et les points I, B et C sont alignés.
5. a) J est le milieu de [AB], d’où  eq \a\ac\hs4\co1(xJ =  eq \s\do1(\f(xA + xB;2)) =  eq \s\do1(\f(- eq \s\do1(\f(7;2)) – 2;2)) = -  eq \s\do1(\f(11;4)) ;yJ =  eq \s\do1(\f(yA + yB;2)) =  eq \s\do1(\f(2 + 5;2)) =  eq \s\do1(\f(7;2))) et J(- eq \s\do1(\f(11;4)) ;  eq \s\do1(\f(7;2))).
K est le milieu de [CD], d’où  eq \a\ac\hs4\co1(xK =  eq \s\do1(\f(xC + xD;2)) =  eq \s\do1(\f(5 + 3;2)) = 4 ;yK =  eq \s\do1(\f(yC + yD;2)) =  eq \s\do1(\f( eq \s\do1(\f(13;2)) +  eq \s\do1(\f(5;2));2)) =  eq \s\do1(\f(9;2))) donc K(4 ;  eq \s\do1(\f(9;2))).
b)  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IJ)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(-  eq \s\do1(\f(11;4)) – (-23) ; eq \s\do1(\f(7;2)) –  eq \s\do1(\f(1;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IJ)  eq \b(\a\ac\hs4\co1( eq \s\do1(\f(81;4)) ;3)) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IK)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(4 – (-23) ; eq \s\do1(\f(9;2)) –  eq \s\do1(\f(1;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IK)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(27 ;4))
or xy’ –x’y =  eq \s\do1(\f(81;4)) ( 4 – 27 ( 3 = 81 ( 81 = 0
Donc  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IJ) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );IK) sont colinéaires et les points I ,J et K sont alignés.

Exercice 3 :
1.







2. Dans le triangle ABC, E est le milieu de [BC]
F est le milieu de [AC]
Donc d’après le théorème des milieux,  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) = 2  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );FE).
3. a)  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BE) d’après la relation de Chasles
=  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) –  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CB) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) –  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) –  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) =  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC)
b) 3 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE) = 3 (  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) + 3 (  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC) d’où  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AD) = 3  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE).
c) Les vecteurs  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AD) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AE) sont alors colinéaires et les points A, D et E sont alignés.
4. a)  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MA) – 3 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MB) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );0) nous donne  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MA) – 3  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MA) – 3  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );0)
on a alors -2  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );MA) = 3  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AM) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) (ceci nous permet alors de placer le point M).
b) G est le symétrique de F par rapport à C, d’où C est le milieu de [FG] et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CG) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );FC).
 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GC) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CF) =  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) d’où  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GA) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GC) +  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) =  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) +  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA).
 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GD) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GA) +  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AD) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))( eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );CA) +  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC)) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB).
c) On a alors  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GD) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AM) =  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB)
d’où  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );GD) =  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AM) et le quadrilatère AMDG est un parallélogramme.

Exercice 4 :
1.








2. Dans le repère (A ; eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB), eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC))
a) A(0 ; 0) B(1 ; 0) et C(0 ; 1)
b) (  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH) = -  eq \s\do1(\f(3;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(1;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC)
et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(1 ;0)) ;  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(0 ;1)) d’où  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(3;4)) ; eq \s\do1(\f(1;2)))) et H(- eq \s\do1(\f(3;4)) ;  eq \s\do1(\f(1;2)))  eq \a\ac\hs4\co1(car A est l’origine ; du repère)
(  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BG) = -  eq \s\do1(\f(7;4))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB) +  eq \s\do1(\f(3;2))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC)
 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(0 – 1 ;1 – 0))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BC)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(-1 ;1)) d’où  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BG)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(7;4)) –  eq \s\do1(\f(3;2)) ; 0 +  eq \s\do1(\f(3;2))))  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BG)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(13;4)) ; eq \s\do1(\f(3;2)))) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );BG)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(xG – 1;yG))
d’où xG – 1 = - eq \s\do1(\f(13;4)) ce qui donne xG = - eq \s\do1(\f(9;4))  et yG =  eq \s\do1(\f(3;2)) . Donc G(- eq \s\do1(\f(9;4)) ;  eq \s\do1(\f(3;2))).
3. A étant l’origine du repère (A ; eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AB), eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AC))
 eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AG)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(9;4)) ; eq \s\do1(\f(3;2)))) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH)  eq \b(\a\ac\hs4\co1(- eq \s\do1(\f(3;4)) ; eq \s\do1(\f(1;2))))
xy’ – x’y = - eq \s\do1(\f(9;4)) (  eq \s\do1(\f(1;2)) –  eq \b(- eq \s\do1(\f(3;4))) (  eq \s\do1(\f(3;2)) = - eq \s\do1(\f(9;8)) +  eq \s\do1(\f(9;8)) = 0
Donc les vecteurs  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AG) et  eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 190\f Symbol \s5\h  Symbol 174\f Symbol \s5\h );AH) sont colinéaires et les points A, G et H sont alignés.


 :