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Géomètre II.
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\do1(\f(2;7)) x + EQ \s\do1(\f(8;7)) et C g sa représentation graphique.
a) En utilisant la calculatrice, trouver deux points de C g à coordonnées entières.
b) Tracer avec précision, sur le graphique ci-dessus, la représentation graphique C g de la fonction g.
3° Résoudre graphiquement :
a) f (x) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 6b) f (x) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h g (x)
Partie B : fonctions et calculs
Soit la fonction f définie sur EQ \b\bc\[( EQ \s\do1(\f(3;2)) , 6) par f (x) = x2 + 6 x 5.
1° Calculer l'image de EQ \r(3) + 2 par la fonction f.
2° Le point A ( 1 ; 10) appartient-il à la courbe représentative de la fonction f ? Justifier.
3° Démontrer que f (x) = 4 (x 3)2. Factoriser alors f (x). En déduire les antécédents de 0.
4° En utilisant la forme la plus adaptée pour f (x), déterminer les antécédents de 4 puis de 5 par f.
Exercice 2
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) l'inéquation : x2 4 < 3 x (x + 2).
Exercice 3
Pour chacune des questions, une seule des trois propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une conserverie alimentaire fabrique des boîtes de légumes. Afin de vérifier l'état de bon fonctionnement de la chaîne de remplissage, on a pesé un lot de 200 boîtes de conserves.
Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous :
Masse
(en g)9859869879889899909919929939949959969979989991000100110021003Nombre
de boîtes2000000004081221337031145
I Etude des paramètres de la série
1° a) La masse moyenne des boîtes de conserve est égale à ::
¡% 10520¡% 999,385¡% 1000b) Le pourcentage de boîtes dont la masse est strictement comprise entre 997 g et 1003 g est égal à :
¡% 90,5¡% 84,5¡% 93c) La médiane de cette série est égale à :
¡% 999,39¡% 100¡% 10002° Un deuxième contrôle de fabrication a été réalisé un peu plus tard : 120 boîtes de conserves ont été pesées et la masse moyenne trouvée était de 1000,2 g.
La masse moyenne de l'ensemble des 320 boîtes de conserves pesées lors des deux tests est environ égale à :
¡% 1000,1¡% 999,7¡% 999,8
II Regroupement par classe.
Pour étudier plus facilement cette série on regroupe les valeurs de cette série par classe et on suppose que la répartition dans chacune des classes est uniforme.
1° Compléter le tableau suivant
Classe[ 985, 995 [[ 995, 1000[[ 1000, 1002 [[ 1002, 1005 [Effectifs67410119Fréquences en %Fréquences cumulées croissantes en %2° a) La moyenne de cette nouvelle série est environ égale à :
¡% 999,61¡% 1001,34¡% 997,89b) La médiane de la série est dans la classe :
¡% [ 995, 1000[¡% [ 1000, 1002 [¡% [ 1002, 1005 [
Exercice 4
Important : Dans cet exercice, on peut utiliser le résultat de chaque question pour répondre aux questions suivantes.
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle équilatéral de côté 2 et BDC est un triangle rectangle isocèle en D. (AH) est la hauteur commune aux triangles ABC et BCD.
1° a) Démontrer que EQ \o(\s\up6( EMBED Unknown );ABD) = 15°.
b) Soit K le pied de la hauteur issue de D dans le triangle ADB.
Après avoir calculé BD, démontrer que KD = EQ \r(2) sin 15°
2° a) Calculer l'aire de ABC.
Indication : La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est égale à EQ \s\do1(\f(a EQ \r(3);2))
b) Calculer l'aire de BCD. En déduire que laire de ABD vaut EQ \s\do1(\f( EQ \r(3) 1;2)).
3° A laide des questions 2° a) et 2° b), établir que sin 15° = EQ \s\do1(\f( EQ \r(6) EQ \r(2);4)).
Hors barème : Sachant que cos 15° = eq \s\do1(\f( eq \r(6) + eq \r(2);4)), montrer que tan 15° = 2 eq \r(3).
Exercice 5
Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 10 cm et AD = 6 cm.
Sur la figure ci-dessous on a placé les points I, L et K tels que :
EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AI) = EQ \s\do1(\f(1;5)) EQ \o(\s\up8(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AB), EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );DL) = EQ \s\do1(\f(1;6)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );DA). et eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );CK) = eq \s\do1(\f(3;5)) eq \o(\s\up8(\d\fo2() Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 190\f Symbol \s5\h Symbol 174\f Symbol \s5\h );CD)
On complétera cette figure dans la suite de l'exercice.
1° Soit J le point défini par 2 EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );JB) + EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );JC) = EQ \o(\s\up8(\d\fo1() SYMBOL 190 \f"Symbol"\s5\h\d\ba3() SYMBOL 174 \f"Symbol"\s5\h);0).
Montrer que EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );BJ) = EQ \s\do1(\f(1;3)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );BC) et placer J.
2° En utilisant deux fois la relation de Chasles, montrer que : EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );IJ) = EQ \s\do1(\f(4;5)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AB) + EQ \s\do1(\f(1;3)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AD).
On admet que EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );LK) = EQ \s\do1(\f(2;5)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AB) + EQ \s\do1(\f(1;6)) EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );AD).
3° a) Montrer que EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );IJ) et EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );LK) sont colinéaires.
b) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère IJKL ?
Exercice 1 Partie A : fonctions et graphique Voici, dans un repère
orthonormal, C f la courbe représentative dune fonction f:
Par lecture graphique : (aucune justification n'est demandée.)
1° a) Donner l'ensemble de définition D de la fonction f .
L'ensemble de définition D de la fonction f est .
D = [ 12 ; 6 ]
b) Donner les images de 6 et 4.
L'image de 6 est 8 et l'image de 4 est 0.
c) Donner les antécédents, sils existent de 4 et 4.
4 n'a pas d'antécédent
2, 2 et 10 sont les antécédents de 4.
d) Donner le maximum et le minimum de la fonction f.
Préciser en quelles valeurs ils sont atteints.
Le maximum de f est 8 = f ( 6)
le minimum de f est 2 = f (6)
e) Pour x SYMBOL 206 \f "Symbol"\h [ 0 ; 6 ], donner un encadrement de f (x).
Pour x SYMBOL 206 \f "Symbol"\h [ 0 ; 6 ], 2 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h f (x)SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 6.
f) Dresser le tableau de variation de f.
g) Donner, dans un tableau, le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
2° On considère la fonction affine g définie sur D par g (x) = EQ \s\do1(\f(2;7)) x + EQ \s\do1(\f(8;7)) et C g sa représentation graphique.
a) En utilisant la calculatrice, trouver deux points de C g à coordonnées entières.
g (4) = 0 et g ( 3) = 2 donc les points de C g
A(0 ; 4) et B( 3 ; 2) sont à coordonnées entières
b) Tracer avec précision, sur le graphique ci-dessus, la représentation graphique C g de la fonction g.
La représentation graphique de g est un segment de la droite (AB)
3° Résoudre graphiquement :
b) f (x) SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 6 : S = [ 8 ; 4] SYMBOL 200 \f "Symbol"\h {0} c) f (x) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h g (x) : S = [ 12 ; 10] SYMBOL 200 \f "Symbol"\h [4 ; 6]
Partie B : fonctions et calculs
Soit la fonction f définie sur EQ \b\bc\[( EQ \s\do1(\f(3;2)) , 6) par f (x) = x2 + 6 x 5.
1° Calculer l'image de EQ \r(3) + 2 par la fonction f.
f ( EQ \r(3) + 2) = ( EQ \r(3) + 2)2 + 6 ( EQ \r(3) + 2) 5 = (3 + 4 EQ \r(3) + 4) + 6 EQ \r(3) + 12 5 = 2 EQ \r(3)
2° Le point A ( 1 ; 10) appartient-il à la courbe représentative de la fonction f ? Justifier.
f ( 1) = 12 SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 10 donc A ( 1 ; 10) n'appartient pas à C f
3° Démontrer que f (x) = 4 (x 3)2. Factoriser alors f (x). En déduire les antécédents de 0.
4 (x 3)2 = 4 (x2 6 x + 9) = 4 x2 + 6 x 9 = x2 + 6 x 5 = f (x)
f (x) = 4 (x 3)2 = 22 (x 3)2 = (2 (x 3)) (2 + (x 3)) = (5 x) (x 1)
f (x) = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 5 ou x = 1. S = {5, 1}
4° En utilisant la forme la plus adaptée pour f (x), déterminer les antécédents de 4 puis de 5 par f.
f (x) = 4 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 4 (x 3)2 = 4 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (x 3)2 = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x 3 = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 3.
3 appartient à l'ensemble de définition de f donc 3 est l'antécédent de 4.
f (x) = 5 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x2 + 6 x 5 = 5 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x2 + 6 x = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x ( x + 6) = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 0 ou x = 6.
0 et 6 appartiennent à l'ensemble de définition de f donc ils sont les antécédents de 5.
Exercice 2
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) l'inéquation : x2 4 < 3 x (x + 2).
x2 4 < 3 x (x + 2) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (x2 4) 3 x (x + 2) < 0
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (x 2) (x + 2) 3 x (x + 2) < 0
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (x + 2) ( (x 2) 3 x) < 0
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (x + 2) ( 2 2 x) < 0
x + 2 = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 2
2 2 x = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h x = 1 S = ] SYMBOL 165 \f "Symbol"\h , 2 [ SYMBOL 200 \f "Symbol"\h ] 1 ; + SYMBOL 165 \f "Symbol"\h [
Exercice 3 Une conserverie alimentaire fabrique des boîtes de légumes. Afin de vérifier l'état de bon fonctionnement de la chaîne de remplissage, on a pesé un lot de 200 boîtes de conserves. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous :
Masse
(en g)9859869879889899909919929939949959969979989991000100110021003Nombre
de boîtes2000000004081221337031145I Etude des paramètres de la série
1° a) La masse moyenne des boîtes de conserve est égale à :
eq \s\do1(\f(2 ( 985 + 4 ( 994 + 8 ( 996 + 12 ( 997 + 21 ( 998 + 33 ( 999 + 70 ( 1000 + 31 ( 1001 + 14 ( 1002 + 5 ( 1003;200))
= eq \s\do1(\f(199 877;200)) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 999,385.
¡% 10520¡% 999,385¡% 1000b) Le pourcentage de boîtes dont la masse est strictement comprise entre 997 g et 1003 g est égal à :
eq \s\do1(\f(21 + 33 + 70 + 31 + 14;200)) ( 100 = eq \s\do1(\f(169;2)) = 84,5
¡% 90,5¡% 84,5¡% 93c) La médiane de cette série est égale à :
Masse
(en g)9859869879889899909919929939949959969979989991000100110021003Nombre
de boîtes2000000004081221337031145cumulé
croissant222222222661426478015018119520080
