MECANIQUE : TD n°3 - Exercices corriges
Gaz parfaits : distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann, chocs molécules/
parois, ... Méthodes expérimentales en mécanique des fluides (Cours/TD).
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THERMODYNAMIQUE : TD n°3
A APPLICATIONS DU COURS
1°) Calculer le travail dans le cas :
dune transformation isochore.
dune transformation isobare qui fait passer le volume de V1 à V2.
Rép : Isochore : W=0, et isobare : W=-p(V2-V1).
2°) Le fluide est un gaz parfait. Calculer le travail W :
dans le cas dune transformation isotherme du gaz dont le volume varie de V1 à V2.
Dans le cas dune transformation polytropique : PVk=cste où le volume varie de V1 à V2.
D.N : T=3OOK, V2=V1/2, n=1mol, R=8,314J.K-1, k=1,4.
Rép : a) W=-nRTLn(V2/V1)=1,73kJ b) W=nRT1/(1-k).(1-(V1/V2)k-1)=1,99kJ
3°) Démontrer la relation de Mayer liant Cpm et Cvm. Calculer Cpm et Cvm en fonction de R et (=Cpm/Cvm.
Rép : Cpm-Cvm=R, Cpm=(R/((-1) et Cvm=R/((-1).
4°) Un Gaz parfait passe dun état (P1, V1, T1) à un état (P2, V2, T2) suivant une transformation adiabatique quasi-statique. On pose (=Cp/Cv.
Montrer que lon a PV(=cste.
Le gaz est comprimé et passe de la pression P1 à P2=2P1. Calculer le travail W échangé par le gaz et le milieu extérieur en fonction de P1, V1 et (.
D.N : P1=1bar, V1=1dm3 et (=1,4.
Rép : a) Cf cours b) W=p1V1[(p2/p1)((-1)/(-1]/((-1)=54,5J
5°) Un gaz de Van der Waals possède une énergie interne : U=nCvmT-n2a/V+U0. On fait subir à ce gaz une détente de Joule qui le fait passer de p1=1bar, T1=293K et V1 à V2=2V1=2L. Calculer la variation de température correspondante pour une mole sachant que Cvm=5/2R et que a=0.13J.mol-2m-3.
Rép : (T=-na/(2V1Cvm)=-3,1K
B TRAVAUX DIRIGES
I EVOLUTION MONOBARE BRUTALE DUN GAZ PARFAIT
Une mole d'un gaz parfait de capacité thermique à volume constant Cvm=5/2R est contenue dans un cylindre vertical calorifugé comportant un piston mobile calorifugé de section S = 0,01m2 en contact avec une atmosphère extérieure à pression constante po=1bar. Initialement, le gaz est en équilibre et sa température vaut T0=300K ; g =9,81ms-2.
1°) On pose sur le piston une masse M = 102kg et on laisse le système évoluer. Déterminer sa pression p1 et sa température Tl lorsqu'on atteint un nouvel état d'équilibre (1).
2°) L'état d'équilibre (1) étant atteint, on supprime la masse M et on laisse le système évoluer. Déterminer sa pression p2 et sa température T2 lorsqu'on atteint un nouvel état d'équilibre (2). Commenter.
Rép : 1°) p1=pe=2,0bar, T1=9/7.T0=386K 2°) p2=1,0bar, T2=6/7.T1=331K
II - LE CYCLE DE LENOIR
Un des premiers moteurs deux temps à combustion interne fonctionne de la manière suivante :
- l'air et le carburant sont admis dans le cylindre; à la fin de la phase d'admission, l'air se trouve dans l'état A (p1,V1,T1).
- la combustion du carburant (phase d'explosion) provoque une augmentation brutale de la pression à volume constant et fournit un transfert thermique Q1; à la fin de la phase, les gaz résiduels sont dans l'état B (P2, V1, T2).
- ils se détendent ensuite de manière adiabatique jusqu'à l'état C(P1, V2, T3), Ies paramètres étant en permanence connus (état d'équilibre thermodynamique interne).
- enfin, les gaz s'échappent du cylindre à la pression constante p1 et un nouveau cycle recommence.
En négligeant la quantité de matière de carburant liquide, on assimilera l'air et les gaz brûlés à un gaz parfait dont le coefficient ( (rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant) vaut ³ = 1,4.
1°) Représenter, dans le diagramme de CLAPEYRON, le cycle de transformations ABCA des gaz (air ou gaz brûlés) dans le cylindre.
2°) Calculer le travail W échangé par une mole de gaz au cours d'un cycle en fonction de R (constante des gaz parfaits), ( et des températures T1, T2 et T3.
3°) Définir puis calculer le rendement r de ce moteur, d'abord en fonction de (, Tl , T2 et T3 , puis en fonction de a=V2/V1 et ³.
4°) Calculer r pour a = 4.
Rép : 1°) A est un angle droit& 2°) Wcycle=R/((-1).[(T3-T2)+((-1)(T3-T1)] 3°) r=1-(.(a-1)/(a(-1) 4°) r=0,30
III - DETENTE DE JOULE-THOMSON D UN GAZ REEL *
Un gaz a pour équation d'état p(V-nb)=nRT (b : covolume du gaz) et ce gaz suit la première loi de Joule.
1°) Déterminer la relation qui lie les capacités thermiques molaires à pression constante Cpm, et à volume constant Cvm à R.
Nous supposons dorénavant que le rapport ³ entre les capacités thermiques molaires à pression constante et à volume constant est indépendant de la température T.
2°) Une mole de ce gaz subit une détente de JOULE-THOMSON qui fait passer sa pression de p1 à p2.
Calculer la variation (T correspondante.
3°) Calculer (T pour p1=1,0.106Pa, p2=105Pa.
D.N: (=1,4, b=38.10-6m3mol-1.
Rép : 1°) Cpm-Cvm=R 2°) (T=(Pb(1-()/(R 3°) (T=1,2K
C EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I OSCILLATIONS DUN PISTON DANS UN CYLINDRE
Un piston de masse M0 peut coulisser sans frottement dans un cylindre de section S placé dans lair à la pression P0. Les parois du récipient et le piston sont athermanes. Le cylindre contient de lair assimilable à un gaz parfait, à la température T0 ; à léquilibre, le piston se trouve à une distance h du fond du récipient.
1°) Calculer à léquilibre la pression p1 de lair à lintérieur du réservoir.
2°) On pose sur le piston une masse m*CJ OJQJ^J0h³C¤h5CJ$OJQJ^Jeh rÊÿ 4Zy¼ìí' z Ò
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D.N : p0=1bar, g=10ms-2, S=0,1m2 , M=100kg, h1=1m, T0=300K, (=1,4.
2°) En repartant de létat initial, on pose successivement sur le piston des masses m très petites. La masse totale des surcharges vaut M0. Calculer les nouvelles valeurs W, h2, T0, p2.
Faire lA.N et comparer au 1°).
Rép : 1°) W=-p2S(h2-h1)=714J , h2=h1.(p1/p2+(-1)/(=94,1cm, T2=T1.(1+((-1)p2/p1)/(=307,8K et p2=p0+2M0g/S=2bar
2°) h2=h1(p1/p2)1/(=94,0cm et T2=T1.p2/p1.h2/h1=307,6K, W=nR(T2-T1)/((-1)=691J...
L.PIETRI Premier principe de la thermodynamique - Lycée Henri Loritz PCSI 2
