Espace - Maths-et-tiques

Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre 6370km). A = 4r2 509 904 364 km2. Volume de la boule = r3. Exemple : Volume de la terre. V = r3 108 269 693 ...

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GEOMETRIE DANS L ESPACE

Les solides usuels (rappels du collège)

Les solides droits

Pyramide et cône

Sphère et boule

Aire de la sphère = 4pð r2

Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre EMBED Equation.3 6370km)

A = 4 EMBED Equation.3 r2 EMBED Equation.3 509 904 364 km2.

Volume de la boule = EMBED Equation.DSMT4 pð r3

Exemple : Volume de la terre

V = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 r3 EMBED Equation.3 108 269 693 200 km3

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
-p252 n°13
p253 n°17
p256 n°37
-p251 n°4
p252 n°12, 7*, 10*
p257 n°47*
p258 n°50*p253 n°16-p261 n°43
p263 n°57
-p255 n°10
p260 n°42, 41, 39*
p255 n°10*
p263 n°58*
p265 n°64*p261 n°45ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

TP conseillé TP conseillé
TP Algo 2 p247 : A dos de chameau
TP Algo 3 p248 : Calcul des volumes des solides de révolutionp252 TP6 : A dos de chameau
p250 TP4 : Calcul des volumes des solides de révolution ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Droites et plans : positions relatives

Activité conseillée Activité conseillée
p232 activité 2 questions 1 et 2 : Solide, patron et perspective
p233 activité 3 Partie A : Que voit-on réellement sur une figure en perspective ?p236 activité 2 questions 1 et 2 : Solide, patron et perspective
p237 activité 3 Partie A : Que voit-on réellement sur une figure en perspective ? ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Plan de l'espace

Rappel :
Par deux points distincts du plan passe une unique droite, ainsi deux points définissent une droite.

Caractérisation dun plan :
Par trois points non alignés de lespace passe un unique plan, ainsi trois points non alignés définissent un plan.

Propriétés :
Un plan est défini :
soit par trois points non alignés,

soit par une droite et un point
nappartenant pas à cette droite,

soit par deux droites sécantes,

soit par deux droites strictement
parallèles.

Définition :
Quatre points de l'espace sont dits coplanaires lorsquils appartiennent à un même plan.
Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsquelles sont incluses dans un même plan.

Position relative de deux droites

Droites coplanairesDroites non coplanairesDroites sécantes

Droites parallèles

Droites strictement parallèles

Droites confondues

Exemple :
On considère le parallélépipède suivant :

Les droites (BG) et (BA) sont sécantes en B.
Les droites (GE) et (BD) sont parallèles.
Les droites (FA) et (CD) sont non coplanaires.
Les droites (GE) et (EH) sont coplanaires.

Position relative de deux plans

Plans parallèlesPlans sécantsPlans strictement parallèles

Plans confondus

Les plans sont sécants suivant une droite

Exemple :

On considère le parallélépipède suivant :

Les plans (AFE) et (BCH) sont parallèles.
Les plans (BCD) et (ABD) sont confondus.
Les plans (GBE) et (GBF) sont sécants
suivant la droite (GB).

Position relative d'une droite et d'un plan

Droite et plan parallèlesDroite et plan sécantsDroite et plan strictement parallèles

Droite incluse dans le plan

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p253 n°18 à 21
p256 n°39 à 41
p254 n°22*, 23*, 24p254 n°25p255 n°11 à 13
p258 n°31 à 33
p256 n°17*
p261 n°47*
p256 n°16*p261 n°48
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Droites et plans parallèles

Droites parallèles à un plan

Propriété :
Si une droite est parallèle à une droite dun plan, alors elle est parallèle à ce plan.

Théorème du "toit" :

Si deux droites d et d sont parallèles telles que :
un plan P contienne la droite d,
un plan P contienne la droite d,
les plans P et P sont sécants suivant une droite ",

alors " est parallèle aux droites d et d .

Plans parallèles

Théorème des plans parallèles 1 :

Si un plan contient deux droites sécantes et
parallèles à un autre plan, alors les deux
plans sont parallèles.

Théorème des plans parallèles 2 :

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui
coupe lun coupe lautre, et leurs intersections
sont deux droites parallèles.

Méthode : Démontrer quune droite est parallèle à un plan

Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/k7F1StU4XUs" https://youtu.be/k7F1StU4XUs

SABCD est une pyramide.
I, J et K sont les milieux respectifs de [SA], [SB] et [SC].
Démontrer que la droite (IK) est parallèle au plan ABC.

Dans le plan (SAC), on applique le théorème des milieux :
I et K sont les milieux respectifs de [SA] et [SC], donc la
droite (IK) est parallèle à la droite (AC).

Pour prouver quune droite est parallèle à un plan, il suffit
de prouver que cette droite est parallèle à une droite de
ce plan.

Comme (AC) est une droite du plan (ABC) et que (IK) est parallèle à (AC), on en déduit que (IK) est parallèle au plan (ABC).

Méthode : Démontrer que deux plans sont parallèles

Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/IAkjUUrwZPw" https://youtu.be/IAkjUUrwZPw

Dans lénoncé de la méthode précédente, démontrer que les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles.

Pour prouver que deux plans sont parallèles, il suffit de trouver deux droites sécantes dun plan qui sont parallèles à lautre plan (théorème des plans parallèles 1).

On a démontré dans la méthode précédente que (IK) est parallèle au plan (ABC).
On démontrerait de même que (IJ) est parallèle au plan (ABC).
Les droites (IK) et (IJ), sécantes en I, sont parallèles au plan (ABC), daprès le théorème des plans parallèles 1, on en déduit que le plan (IJK) est parallèle au plan (ABC).

Méthode : Construire la section dun solide par un plan

Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/vgXcf3M0f9w" https://youtu.be/vgXcf3M0f9w

ABCDEFGH est un pavé droit.
I est un point de larête [EF], J est un point
de larête [AB] et K est un point de la face EFGH.

Construire la section du pavé par le plan (IJK).

- Le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant la droite (IJ). On commence donc par tracer le segment [IJ].

- Le plan (IJK) coupe la face EFGH suivant la droite (IK). Soit L le point dintersection de la droite (IK) avec larête [HG]. On trace le segment [IL].

- Daprès le théorème des plans parallèles 2, les faces ABFE et DCGH étant parallèles, le plan (IJK) coupe la face DCGH suivant une droite parallèle à (IJ).
Le plan (IJK) coupe donc la face DCGH suivant la droite parallèle à (IJ) et passant par L. On trace cette droite qui coupe larête [CG] en M.

- On justifie de même que le plan (IJK) coupe la face ABCD suivant la droite parallèle à (IK) passant par J. On trace cette droite qui coupe larête [BC] en N.

- Pour finir la section, on trace le segment [MN].

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p254 n°26, 27
p255 n°30, 31, 32, 35, 34*
p254 n°28*, 29*
p258 n°52*p255 n°33
p258 n°51
p256 n°18, 19
p257 n°20, 25, 26, 23
p262 n°52 n°49*, 53*
p257 n°21*p257 n°22, 24
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

PAGE 8 sur NUMPAGES 8

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