EXERCICE III évolution énergétique d'un circuit RLC série 4pts
ÉVOLUTION ÉNERGÉTIQUE D'UN CIRCUIT RLC SÉRIE (4 points). Correction
Labolycee http://labolycee.org. Étude énergétique du condensateur. On étudie la
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Nouvelle Calédonie 2006 calculatrice interdite
EXERCICE III. ÉVOLUTION ÉNERGÉTIQUE D'UN CIRCUIT RLC SÉRIE (4 points)
Correction Labolycee http://labolycee.org
Étude énergétique du condensateur
On étudie la charge du condensateur. À l'instant de date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on bascule le commutateur en position 1.
Tensions
1.2. Charge du condensateur
Soit q la charge portée par l'armature A du condensateur. Lorsque K est en 1, le courant transitoire arrive sur l'armature A donc les électrons partent de cette armature qui se charge positivement: q > 0.
Compte tenu du sens choisi pour le courant sur le schéma on a: q = C . uab
En tenant compte de l'orientation du circuit: i(t)= EMBED Equation.DSMT4
Additivité des tensions: E + uDB(t) = uab(t) (1)
Représentons la flèche intensité du courant, puis appliquons la loi d'Ohm (convention récepteur : attention flèches i et u dans le même sens donc signe à ajouter) : uDB(t) = R.i(t).
D'après 1.2.2., il vient uDB(t) = R EMBED Equation.DSMT4 .
D'après 1.2.1., on obtient uDB(t) = R. EMBED Equation.DSMT4 , C est constante finalement uDB(t) = R.C. EMBED Equation.DSMT4 .
en reportant dans (1): E R.C. EMBED Equation.DSMT4 = uab(t)
finalement: EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 (2)
Vérifions que: uAB(t) = E. EMBED Equation.DSMT4 est solution de cette équation différentielle (2) :
On peut écrire uAB(t) = E E. EMBED Equation.DSMT4 , dérivons cette fonction EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimons EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 en utilisant les deux expressions ci-dessus.
EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 on retrouve bien l'équation (2)
donc uAB(t) = E. EMBED Equation.DSMT4 est bien solution de cette équation différentielle.
1.3. Énergie électrique Ee emmagasinée par le condensateur
1.3.1. Ee = EMBED Equation.DSMT4
1.3.2. Ee,max = EMBED Equation.DSMT4 (t)= EMBED Equation.DSMT4 car lorsque le condensateur est chargé uAB = E
Ee,max = 0,5 ( 2,0(10-6 ( 4,0² = 1,6.10 5 J = 16 µJ
2. Étude énergétique du circuit RLC
énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine: Em = EMBED Equation.DSMT4
Loi d'Ohm: uDB(t) = R.i(t) ( i(t) = EMBED Equation.DSMT4
Em = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
énergie totale ET du circuit en fonction des tensions uAB(t) et uDB(t):
ET = Ee + Em = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4
2.2
Initialement le condensateur est chargé et aucun courant ne circule donc :
ET(0) = Ee(0) et Em(0) = 0 J
On en déduit alors que:
- la courbe 2 est associée à Em
- la courbe 3 est associée à Ee
- la courbe 1 est associée à ET
La décroissance de la courbe 1 est due à la perte d'énergie sous forme de chaleur, par effet Joule, dans la résistance R.
3. Entretien des oscillations
3.1. Lorsque les oscillations sont entretenues l'énergie totale ET est constante: ET = Ee + Em = Cte
- Initialement le condensateur est chargé et aucun courant ne circule :
ET(0) = Ee(0) et Em(0) = 0 J
- Si Ee augmente alors Em diminue et inversement.
- Si Ee est maximale alors Em est nulle et inversement.
D'où les courbes :
3.2. Le régime est entretenu car les pertes énergétiques dans la résistance sont compensées par l'apport d'énergie du dispositif d'entretien des oscillations. Les oscillations ne sont plus amorties mais ont une amplitude constante au cours du temps.
Figure 1
uDB
uAB
ET
Ee
Em
tension uDB(t) aux bornes de la résistance représentée par une flèche pointant vers D.
tension uAB(t) aux bornes du condensateur représentée par une flèche pointant vers A.
i
i
