TD Cinematique 6 - Site de la PCSIa
T.D. Cinématique 6. Exercice n°1 : Roulement à billes. Un roulement à billes est
un composant utilisé pour créer une 'demi liaison pivot' avec peu de frottement ...
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- la position de son centre C est telle que EQ \O(OC;®) est porté par EQ \O(v;®), avec l angle ( EQ \O(y;®), EQ \O(v;®)) = bð
- l orientation de la bille autour de son centre est caractérisée par l angle gð = ( EQ \O(x;®), EQ \O(x2;®)) = ( EQ \O(y;®), EQ \O(y2;®)), le repère (C, EQ \O(x2;®), EQ \O(y2;®), EQ \O(z;®)) étant le repère lié à la bille (2).
1 - Paramètrer le mécanisme et donner EQ \O(W ;®)(I/R) = Wð ð EQ \O(z;®) et EQ \O(W ;®)(2/R) = wð ð EQ \O(z;®)
2 - Calculer EQ \O(V;®)(DÎðI/R). En déduire EQ \O(V;®)(AÎðI/R) en fonction de Wð.ð
3 - Calculer EQ \O(V;®)(A/R), A étant le point géométrique de contact entre la bille (2) et la bague intérieure (I).
4 - Donner EQ \O(V;®)( BÎðE/R).
5 - En utilisant le fait que les billes roulent sans glisser sur les bagues, calculer EQ \O(V;®)(AÎðI/R) en fonction de wð.ð En déduire une relation entre Wð et wð.ð
6 - Calculer EQ \O(V;®)(CÎð2/R) de deux façons différentes. En déduire une relation entre wð et EQ \O(b;.).
7 - Donner les torseurs cinématiques des mouvements de I par rapport à R et de (2) par rapport à R. Quel est le mouvement instantané de (2) par rapport à R ? Donner sa base et sa roulante.
Exercice n°2 : Variateur à plateaux (F. U.)
Un variateur de vitesse est un mécanisme monté dans une transmission de puissance entre le moteur et le récepteur, et chargé de transformer la vitesse de rotation de larbre moteur en une autre vitesse de rotation adaptée au récepteur et réglable.
Le variateur de vitesse représenté ci-dessous est constitué de deux plateaux (1) et (2) en liaison pivot avec le bâti daxes (A, EQ \O(x;®)) et (B, EQ \O(x;®)). Le galet (3), en liaison pivot daxe (C, EQ \O(u;®)) par rapport au bâti, roule sans glisser sur les deux plateaux en D et E.
Le galet (3) peut, par un mécanisme de réglage manuel non représenté, être déplacé verticalement.
On note EQ \O(W ;®)1ð0ð la vitesse de rotation du plateau d entrée (1) par rapport au bâti, et EQ \O(W ;®)2ð0ð la vitesse de rotation du plateau de sortie (2) par rapport au bâti.
1 - En écrivant le non glissement en D et en E, trouver la loi entrée-sortie du mécanisme pour un réglage donné, c est à dire la relation entre Wð1ð0ð et ðWð2ð0ð. (certaines caractéristiques géométriques du variateur interviendront bien sûr dans la loi entrée-sortie).
On pourra auparavant calculer EQ \O(V;®)(DÎð1/0) en fonction de Wð1ð0ð; EQ \O(V;®)(EÎð2/0) en fonction de Wð2ð0ð; et EQ \O(V;®)(DÎð3/0) en fonction de EQ \O(V;®)(EÎð3/0).
2 - Montrer qu en déplaçant le galet (3) et son axe verticalement, on fait varier Wð2ð0ð si Wð1ð0ð reste constant.
3 - En pratique, le galet (3) n est pas en contact avec le plateau (1) en un point unique D, le contact se fait suivant une ligne verticale. Montrer que la vitesse de glissement du galet par rapport au plateau est non nulle en tout point de cette ligne autre que D (F par exemple).
Exercice n°3 : Butée à billes
Soit une butée à billes permettant de réaliser une liaison pivot daxe (O, EQ \O(z;®) ) entre deux pièces (1) et (3) de révolution daxe (O, EQ \O(z;®) ), entre lesquelles roulent plusieurs billes (2).
Soit r le rayon des billes (2). Soient A, B, C et D les points de contact dune bille avec (1) : (A et B), et (3) : (C et D). Soit R le rayon de (3) au niveau du point C.
- Quel angle að doit on donner à la pièce (3) pour que la butée fonctionne bien, c est à dire que le roulement se fasse sans glissement en A, B, C et D ?
Exercice n°4 : Glissière à billes.
On crée une liaison glissière à éléments roulants entre les solides (0) et (3) en mettant une rangée de billes (1) et une rangée de billes (2) entre les solides (0) et (3).
Le centre de chaque bille (1) est sur laxe (O1, EQ \O(x;®)). Le centre de chaque bille (2) est sur laxe (O2, EQ \O(x;®)) .
Le mouvement du solide (3) par rapport au bâti (0) étant une translation de direction EQ \O(x;®), pour tout point P, on a :
EQ \O(V;®)(P(3/0) = V EQ \O(x;®) où V est donné.
On suppose quil y a roulement sans glissement en A, A, B, B, C, C et D.
1 - Sans calculs, donner la forme du torseur cinématique du mouvement dune bille (1) par rapport au bâti (0), et le torseur cinématique du mouvement dune bille (1) par rapport au solide (3).
2 - Déterminer EQ \O(W;®)1/0 et EQ \O(V;®)(O1(1/0). On notera R le rayon des billes (1) et r le rayon des billes (2).
3 - Déterminer EQ \O(W;®)2/0 et EQ \O(V;®)(O2(2/0).
4 - Calculer langle að pour que EQ \O(V;®)(O1(1/0) = EQ \O(V;®)(O2(2/0).
5 - Au point A, y a-t-il du roulement, du pivotement entre la bille (1) et le bâti (0) ? Même question en D pour la bille (2).
Exercice n°5 : Excentrique à cadre.
Ce mécanisme transforme un mouvement de rotation en un mouvement de translation alternative.
La manivelle (1) est en liaison pivot d axe (O, EQ \O(z;®)) par rapport au bâti. On note wð la norme de la vitesse de rotation constante de (1) par rapport au bâti. Le piston (2) est en liaison glissière de direction EQ \O(x;®) par rapport au bâti. Un doigt situé en M sur la manivelle (1) glisse dans une lumière daxe EQ \O(y;®) appartenant au piston (2). On note x la position de laxe de la lumière par rapport au point O.
1 - Calculer EQ \O(V;®)(M(1/0) et EQ \O(V;®)(M(2/0) en fonction des paramètres de position des différents solides : að et x.
2 - Calculer la vitesse de glissement EQ \O(V;®)(M(2/1). Etudier la variation de sa norme.
3 - Retrouver les résultats de la question (2) en utilisant une méthode graphique.
4 - Donner la loi entrée-sortie du mécanisme (relation liant x, að, et leurs dérivées). En déduire l équation du mouvement du solide (2) (relation donnant le paramètre de sortie du mécanisme : x en fonction du paramètre d entrée að).
Exercice n°6 : Presse à friction.
INCORPORER PowerPoint.Show.4
La commande du mouvement de translation du poinçon (3) dune presse à friction est représentée ci contre. Le mécanisme comprend :
-Le bâti (1) lié au repère de référence (O, EQ \O(x;®), EQ \O(y;®), EQ \O(z;®)),
-Le plateau (2) en liaison pivot daxe (O, EQ \O(x;®)) avec (1).
-Le poinçon (3) en liaison glissière hélicoïdale daxe (O3, EQ \O(z;®)) avec (1).
Le poinçon (3) est également en contact avec le plateau (2) en I.
La rotation de (2) entraîne celle de (3) grâce à ce contact en I.
On donne : wð21 = 20 rad/s ; EQ \O(O2I;®) = -zI EQ \O(z;®) ; zI ( [0.2 m;0.7 m] ; O3I = r = 0.4 m ; Vis de pas p = 0.1 m/tr.
1 - Quelle est la nature du mouvement 2/1 et celle du mouvement 3/1 ?
2 - Sachant que EQ \O(V;®)(I(3/2) = - EQ \O(zI;.) EQ \O(z;®) , trouver une relation liant zI, r, wð21 et wð31.
3 - Exprimer le torseur cinématique {V (3/1) } ð en M puis en I en fonction de zI, wð21, r et p.
4 - Exprimer zI en fonction du temps t ( à t = 0, zI = zI0 ).
5 - Calculer le temps mis par le poinçon pour effectuer sa course de 50 cm.
EQ \O(x;®)
R
2 r
EQ \O(x;®)I
að
EQ \O(u;®)
EQ \O(y;®)
EQ \O(x;®)2
EQ \O(v;®)
EQ \O(y;®)2
EQ \O(y;®)I
bð
O
A
C
B
D
E
I
1
4
3
2
E
D
2
F
B
A
C
3
1
EQ \O(x;®)
EQ \O(u;®)
D
120°
90°
2ðað
A
A
B
B
C
C
O1
O2
0
2
3
1
EQ \O(z;®)
EQ \O(y;®)
EQ \O(x;®)
1
EQ \O(x;®)
EQ \O(y;®)
EQ \O(z;®)
3
að
O
A
B
C
D
2
D
120°
90°
2ðað
A
A
B
B
C
C
O1
O2
0
2
3
1
EQ \O(z;®)
EQ \O(y;®)
EQ \O(x;®)
O
A
EQ \O(x;®)
EQ \O(y;®)
M
EQ \O(y1;®)
R
að
2
1
EQ \O(x;®)
EQ \O(y;®)
EQ \O(z;®)
O2
M
O3
I
O
Poinçon 3
Plateau 2
Bâti 1
Bâti 1
INCORPORER PBrush
