Modèle mathématique. - Exercices corriges
Par exemple, pour les équations telles que x2 ? 2 = 0, ou x2 ? 3x = 0, il est
préférable de factoriser l'expression, puis d'utiliser le théorème : XY = 0 SSI X = 0
ou ...
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définie sur EQ \o\al(I;\d\fo2()R) par f(x) = eq \s\do1(\f(2;3)) x2 eq \r(3) x EQ \s\do2(\f(1;2)) est une fonction polynôme du second degré ( a = eq \s\do1(\f(2;3)), b = eq \r(3) et c = EQ \s\do2(\f(1;2))).
B] Forme canonique
Prenons un exemple :
2x2 + 6x + 1 = 2 eq \b(x2 + 3x + EQ \s\do2(\f(1;2))) eq \b()
Or x2 + 3x = eq \b(x + eq \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \b( eq \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up12(2))
= eq \b(x + eq \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(9;4))
Donc, 2x2 + 6x + 1 = 2 eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(9;4)) + EQ \s\do2(\f(1;2)))
=
Ceci est la forme canonique du trinôme 2x2 + 6x + 1
Cas général :
Soient a, b et c trois réels, a étant non nul.
Pour tout réel x, on a : ax2 + bx + c = a eq \b( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(b2 4ac;4a2))) eq \o\al()
Cette écriture sappelle forme canonique du polynôme.
Démonstration :
Pour tout réel x, on a : ax2 + bx + c = a(x2 + EQ \s\do1(\f(b;a)) x + EQ \s\do1(\f(c;a)))
= a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(b2;4a2)) + eq \s\do1(\f(c;a)))
= a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(b2 4ac;4a2)) ) .
Exercice 1p43.
C] Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 (avec a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0)
Résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 revient à résoudre l'équation a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(b2 4ac;4a2)) ) = 0 (1)
Définition :
Le nombre réel ( = b2 4ac est appelé le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
On a donc, a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f(b2 - 4ac;4a2)) ) = a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f((;4a2)))
L'équation (1) devient : EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) EQ \s\do1(\f((;4a2)) = 0 car a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0
c'est-à-dire : EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) = EQ \s\do1(\f((;4a2))
Si ( < 0, EQ \s\do1(\f((;4a2)) < 0, et l'équation nadmet aucune solution EQ \b((x+3)2 = 5 par exemple)
Si ( = 0, l'équation devient : EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) = 0, soit x = EQ \s\do1(\f(b;2a)) ((x 5)2 = 0 par exemple), l'équation admet une seule solution (appelée solution double)
Si ( > 0 , l'équation EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) EQ \s\do1(\f((;4a2)) = 0 devient : EQ \b\bc\[( EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a))) EQ \b\bc\[( EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) + EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a))) = 0.
Alors EQ \b\lc\{( \s(x + EQ \s\do1(\f(b;2a)) EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a)) = 0 ;ou ;x + EQ \s\do1(\f(b;2a)) + EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a)) = 0)) soit : EQ \b\lc\{( \s(x1 = EQ \s\do1(\f( b + EQ \r(();2a)) ;ou ;x2 = EQ \s\do1(\f( b EQ \r(();2a)))) l'équation admet deux solutions.
Théorème :
L'équation ax2 + bx + c = 0 admet :
aucune solution si ( < 0.
une seule solution x = eq \s\do1(\f(b;2a)) si ( = 0.
deux solutions x1 = eq \s\do1(\f( b eq \r(();2a)) et x2 = eq \s\do1(\f( b + eq \r(();2a)) si ( > 0.
D] Quelques exemples
Résoudre dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R) les équations suivantes :
3x2 12x + 12 = 0. (( = 0, x1 = 2).
2x2 + 5x + 12 = 0. (( < 0).
5x2 + 35x 50 = 0. (( > 0, x1 = 2, x2 = 5).
Remarque :
Certaines équations du second degré ne nécessitent pas le calcul du discriminant (il est fortement déconseillé de le faire).
Par exemple, pour les équations telles que x2 2 = 0, ou x2 3x = 0, il est préférable de factoriser l'expression, puis d'utiliser le théorème : XY = 0 SSI X = 0 ou Y = 0.
Exercices 69, 70, 74, 77p46.
Exercices 51, 52p45.
Exercice 86, 90, 92, 97p47.
II. Factorisation du trinôme ax2 + bx + c
On sait que ax2 + bx + c = a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f((;4a2))) avec a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0
Si ( < 0, on a eq \s\do1(\f((;4a2)) < 0 ; on ne peut pas factoriser.
Si ( = 0, on a ax2 + bx + c = a eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)), forme factorisée.
Si ( > 0, on a a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f((;4a2))) = a EQ \b\bc\[( EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a))) EQ \b\bc\[( EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(b;2a))) + EQ \s\do1(\f( EQ \r(();2a)))
=a eq \b(x eq \s\do1(\f( b + eq \r(();2a))) eq \b(x eq \s\do1(\f( b eq \r(();2a)))
= a(x x1)(x x2)
Théorème :
Si ( < 0, ax2 + bx + c n'est pas factorisable (dans EQ \o\al(I;\d\fo2()R)).
Si ( = 0, ax2 + bx + c = a eq \b(x eq \b( eq \s\do1(\f(b;2a)))) eq \o\al(\s\up12(2)).
Si ( > 0, ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) où x1 et x2 sont les solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0.
Exemples :
Factoriser les polynômes suivants :
3x2 9x + 6 ( = 3 (x 1) (x 2)).
x2 + 4x 32 ( = (x 4) (x + 8)).
EQ \s\do1(\f(x2;2)) + EQ \s\do1(\f(7;2))x + 5 ( = EQ \s\do1(\f(1;2)) (x + 5) ( x + 2)).
EQ \s\do1(\f(3;5)) x2 3x + EQ \s\do1(\f(18;5)) (= EQ \s\do1(\f(3;5)) (x 2) ( x 3)).
Exercices 3, 4p43.
Exercices 43, 45, 48p45.
Exercices 65, 66p46.
III. Signe de ax2 + bx + c.
Soit ax2 + bx + c (avec a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0) un polynôme du second degré. Le but de ce paragraphe est de déterminer le signe de ce polynôme en fonction des valeurs de x.
Théorème :
Soit f(x) = ax2 + bx + c (avec a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0) un polynôme du second degré.
Alors :
lorsque ( < 0, f(x) est toujours du signe de a,
lorsque ( = 0, f(x) est toujours du signe de a (sauf lorsque x = eq \s\do1(\f( b;2a)), auquel cas f(x) = 0)
lorsque ( > 0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.
Démonstration :
Si ( < 0,
ax2 + bx + c = a eq \b\bc\[( eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2)) eq \s\do1(\f((;4a2)))
SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 0 > 0
> 0
On en déduit que ax2 + bx + c est du signe de a.
Si ( = 0,
ax2 + bx + c = a eq \b(x + eq \s\do1(\f(b;2a))) eq \o\al(\s\up12(2))
SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 0
ax2 + bx + c s'annule pour x = eq \s\do1(\f( b;2a)) et ax2 + bx + c est du signe de a pour tout x SYMBOL 185 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f( b;2a)).
Si ( > 0,
ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)
où x1 = eq \s\do1(\f( b eq \r(();2a)) et x2 = eq \s\do1(\f( b + eq \r(();2a))
Supposons que x1 < x2
x SYMBOL 165 \f "Symbol"\hx1x2 + SYMBOL 165 \f "Symbol"\hx x10 ++x x20 +a(x x1)(x x2)
avec a > 0+0 0 +a(x x1)(x x2)
avec a < 00 +0
Exemple :
Etudier le signe de A(x) = x2 4x + 1 et résoudre l'inéquation x2 4x + 1 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 0 eq \b(S = [2 - eq \r(3) , 2 + eq \r(3)]) eq \b().
Exercices 55, 58, 60, 63, 64p46.
Exercices 80, 84, 85p47.
IV. Tableau récapitulatif et signe du trinôme
Le signe du trinôme ax2 + bx + c, avec a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0, se déduit de la position de courbe représentative par rapport à l'axe des abscisses.
Discriminant
( = b2 4ac
( < 0
( = 0
( > 0
Solutions de l'équation
ax2 + bx + c = 0
Pas de solution
Une solution :
( = EQ \s\do(\L( EQ \F(b;2a) ))
(solution double)
Deux solutions distinctes :
x1 = EQ \s\do(\L( EQ \F(EQ b + \R(();2a) ))
x2 = EQ \s\do(\L( EQ \F(EQ b \R(();2a) ))
Factorisation de P(x)
Pas de factorisation
P(x) = a(x ()2
P(x) = a(x x1)(x x2)
a > 0
Position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses
Signe de P(x)
a < 0 EMBED Designer
x
P(x) +
EMBED Designer
x
P(x)
EMBED Designer
x (
P(x) + 0 +
EMBED Designer
x (
P(x) + 0 +
EMBED Designer
x x1 x2
P(x) + 0 0 +
EMBED Designer
x x1 x2
P(x) 0 + 0
Exercices 101, 102, 103, 105, 106p48.
Exercice 112p49.
V. Somme et produit des racines
Théorème :
Soit ax2 + bx + c (a SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0) un polynôme du second degré. Si ce polynôme admet deux racines x1 et x2 (éventuellement égales) alors EQ \b\lc\{( \s(x1 + x2 = EQ \s\do1(\f(b;a)) ;et ; x1x2 = EQ \s\do1(\f(c;a))))
Démonstration :
On pose x1 = EQ \s\do1(\f( b + EQ \r(();2a)) et x2 = EQ \s\do1(\f( b EQ \r(();2a)) (( > 0 par hypothèse).
Alors EQ \b\lc\{( \s(x1 + x2 = EQ \s\do1(\f(b;a)) ;et ; x1x2 = EQ \s\do1(\f(c;a))))
Remarque :
Ces formules peuvent se révéler très pratiques :
On va factoriser le trinôme A(x) = 7x2 5x 2.
On remarque que x1 = 1 est une racine évidente de A(x) car A(1) = 0. A(x) est donc factorisable par (x 1).
Le produit des racines est x1x2 = eq \s\do1(\f( 2;7)). On peut alors écrire A(x) = 7(x 1) eq \b(x + eq \s\do1(\f(2;7))).
Problème :
Soient S et P deux réels donnés.
Existe-t-il deux réels u et v tels que : eq \b\lc\{( \s(u + v = S;uv = P)) ?
Si oui, comment les calcule-t-on ?
Calculons (x u)(x v) = x2 (u + v)x + uv.
Or
(x u)(x v) = 0 SSI x = u ou x = v
SSI x2 (u + v)x + uv = 0
Si u et v sont deux nombres réels tels que u + v =S et uv = P, alors ils sont solutions de
x2 Sx + P = 0.
Si u et v sont solutions de l'équation x2 Sx + P = 0 alors u + v = S et uv = P.
Théorème :
Deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solutions de l'équation x2 Sx + P = 0.
On trouvera les nombres u et v lorsque ( = S2 4P SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 0. Autrement ils n'existent pas !
Exemple :
Trouver deux nombres réels u et v (s'ils existent) de somme 6 et de produit 1.
On cherche u et v tels que eq \b\lc\{( \s(u + v = 6;uv = 1)).
On considère x2 6x + 1 = 0.
( = 32 > 0 donc u et v existent : u = 3 2 eq \r(2) ; v = 3 + 2 eq \r(2)
S = {(3 - 2 eq \r(2) ; 3 + 2 eq \r(2)) ; (3 + 2 eq \r(2) ; 3 2 eq \r(2))}
VI. Cercles et second degré
A] Rappels
Soient ( (x0 ; y0 ) un point du plan, et r un réel strictement positif. Alors le cercle de centre ( et de rayon r est lensemble des points M du plan tels que (M = r, soit (M2 = r2.
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan, alors AB = EQ \r((xB xA)2 + (yB yA)2) et AB2 = (xB xA)2 + (yB yA)2.
Remarque :
Si le rayon du cercle vaut 0, alors le cercle est réduit à son centre. On parle de cercle point.
B] Propriétés
Soient ( (x0 ; y0 ) un point du plan, et r > 0 un réel. Le cercle (C) de centre ( et de rayon r a pour équation :
(x x0)2 + (y y0)2 = r2.
Démonstration :
Soit M un point de (C). Alors (M2 = r2, soit (x x0)2 + (y y0)2 = r2.
Réciproquement, soit M(x ;y) tel que (x x0)2 + (y y0)2 = r2. Alors (M2 = r2 et MSYMBOL 206 \f "Symbol"\h(C).
Soient a, b et c trois réels. On considère lensemble (C) des points M(x ; y) tels que x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Alors :
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c < 0, (C) = SYMBOL 198 \f "Symbol"\h.
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c = 0, (C) = EQ \b\bc\{(( EQ \b(- EQ \s\do1(\f(a;2)) - EQ \s\do1(\f(b;2)))).
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c > 0, (C) est le cercle de centre ( EQ \b( EQ \s\do1(\f(a;2)) , EQ \s\do1(\f(b;2))) et de rayon EQ \r( EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c).
Démonstration :
x2 + y2 + ax + by + c = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(a;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + EQ \b(y + EQ \s\do1(\f(b;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) EQ \s\do1(\f(a2;4)) EQ \s\do1(\f(b2;4)) + c = 0.
Soit alors ( EQ \b( EQ \s\do1(\f(a;2)) , EQ \s\do1(\f(b;2))), on obtient (M2 = EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c.
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c < 0, cest impossible, et (C) est lensemble vide SYMBOL 198 \f "Symbol"\h.
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c = 0, (C) est réduit au point (.
Si EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c > 0, (C) est le cercle de centre ( et de rayon EQ \r( EQ \s\do1(\f(a2;4)) + EQ \s\do1(\f(b2;4)) c).
Exercices :
Dites si les équations suivantes sont celles dun cercle :
x2 + 3x + y2 5y + 12 = 0.
Solution :
EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + EQ \b(y EQ \s\do1(\f(5;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + 12 EQ \s\do1(\f(9;4)) EQ \s\do1(\f(25;4)) = 0.
EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + EQ \b(y EQ \s\do1(\f(5;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) = EQ \s\do1(\f(14;4)), cest impossible.
3x2 + 3y2 + 9x + 5y 4 = 0.
Solution :
x2 + y2 + 3x + EQ \s\do1(\f(5;3))y EQ \s\do1(\f(4;3)) = 0.
EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + EQ \b(y + EQ \s\do1(\f(5;6))) eq \o\al(\s\up10(2)) EQ \s\do1(\f(4;3)) EQ \s\do1(\f(9;4)) EQ \s\do1(\f(25;36)) = 0.
EQ \b(x + EQ \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up10(2)) + EQ \b(y + EQ \s\do1(\f(5;6))) eq \o\al(\s\up10(2)) = EQ \s\do1(\f(154;36)) = EQ \s\do1(\f(77;18)). On appelle ( le point de coordonnées EQ \b( EQ \s\do1(\f(3;2)) , EQ \s\do1(\f(5;6))).
M(x ; y) SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (C) SYMBOL 219 \f "Symbol"\h (M2 = EQ \s\do1(\f(77;18)). (C) est donc le cercle de centre ( et de rayon EQ \r( EQ \s\do1(\f(77;18))) .
Exercices 36, 38, 41, 44, 45, 47, 49, 51p257.
PAGE 7
- PAGE 2 - Chapitre 1 : 1ère S
2 eq \b(x eq \s\do1(\f(3;2))) eq \o\al(\s\up8(2)) eq \s\do1(\f(7;2))
