Factorisation - Enseignons.be
Dans le cas des polynômes, cette opération s'appelle la factorisation. e) =
Factoriser un polynôme, c'est transformer une somme ou une différence en un
produit ...
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= eq \s\do1(\f(x + 2y;3y)) (on simplifie par (x + 2y))
exemple2 : eq \s\do1(\f(x² - x ; (x-1) )) = eq \s\do1(\f(x(x-1) ;(x-1) )) = eq \s\do1(\f(x;1)) = x on a factorisé à laide de
.
faire de lanalyse mathématique (branche très importante des mathématiques qui consiste, en très résumé, à étudier des graphiques de fonctions ; cette discipline est à la base des statistiques, et de nombreuses disciplines en sciences et en économie - pour cela, il est souvent utile de factoriser en facteurs du 1er ou 2e degré).
exemple : tu reconnais le graphique de y = x²
On peut, de la même manière, tracer le graphique de
y = x³ + 2x² - 15x
Pour étudier cette courbe, il est beaucoup plus pratique décrire la fonction sous forme factorisée :
y = x³ + 2x² - 15x
y = x (x² + 2x - 15) factorisation à laide de
y = x (x 3)(x + 5) factorisation à laide de
Cela permet, notamment, de trouver directement les coordonnées des intersections avec laxe des x
Comment factoriser ?
Pour factoriser un polynôme, on peut utiliser plusieurs méthodes :
la mise en évidence
les produits remarquables
la méthode des groupements
la somme et le produit
la division dun polynôme par un polynôme - en particulier la division par (x ± a)
il existe encore dautres méthodes, qui dépassent le cadre de ce chapitre.
la mise en évidence
Exemples :
6ab + 3a =
5x4 + 2x² - 3x5 =
x²(a + 1) + 3(a + 1) =
3(a 2) b(2 a) = car -(2 a) = =
Attention, tu dois mettre tous les facteurs communs en évidence !
Exercices : 1. et 2. p. 35 et 36
utilisation des produits remarquables
a² - b² =
!!Attention : a² + b² est impossible à factoriser !!
si le polynôme est un binôme :
exemples :
a² - 4 =
(x 2)² - (a 1)² =
3) 50 2x² : dabord
=
=
si le polynôme est un trinôme :
a² + 2ab + b² =
a² - 2ab + b² =
exemples :
1) x² + 6x + 9 = recherches :
Ï% somme de deux carrés dans le trinôme ?
x² = (x)² et 9 = (3)² (OK
Ï% le double produit existe t-il ?
2 . x . 3 = 6x ( OK
2) x² + 4 4x = Ï% somme de deux carrés ?
Ï% double produit (et son signe ?)
3) x² - 3x + 1 = Ï% somme de deux carrés ?
Ï% double produit (et son signe ?)
4) 4x² + 12x 9 = Ï% somme de deux carrés ?
Ï% double produit (et son signe ?)
5) 2x² + 20x + 50 Ï% d abord & & & & & & & & & & & & & &
Ï% somme de deux carrés ?
Ï% double produit (et son signe ?)
exercices : 3. et 4. p 36
méthode des groupements
en prenant les termes 2 par 2
exemples :
1) ax + bx + ay + by ou ax + bx + ay + by
= x(a + b) + y (a + b) =a(x + y) + b(x + y)
= (a + b)(x + y) =(x + y)(a + b)
( On fait deux mises en évidence
2) a² - b² - ac bc ( on a une différence de deux carrés et une mise en évidence
= (a + b)(a b) c(a + b)
=(a + b)(a b c)
en prenant les termes par 3 et 1
exemple : x² - 4x + 4 y²
on peut essayer de grouper par deux termes :
x² - 4x + 4 y²
= x(x 4) +
( ça ne sert à rien
x² - 4x + 4 y² ( ça ne va pas
x² - 4x + 4 y²
= (x + y)(x y) 4(x 1) ( ça ne sert à rien
on peut essayer de grouper trois termes :
x² - 4x + 4 y² (produit remarquable : a² - 2ab + b²)
= (x 2)² - y² (produit remarquable : a² - b²)
= (x 2 + y)(x 2 y)
exercices 5. et 6. p. 37
la somme et le produit
exemples :
on veut factoriser x² + 8x + 12 sous la forme (x + a)(x + b)
SYMBOL 219 \f "Symbol"\h en distribuant (x + a)(x + b), on doit retrouver x² + 12x + 8
(x + a)(x + b) ( = x² + ax + bx + ab ( = x² + (a + b)x + ab
(x +
.)(x +
) ( a =
et b =
( = x² + 8 x + 12
x² + 8x + 12 recherche : a.b =12
produits possibles :1.12 2.6 3.4
1.(-12) -2.(-6) -3.(-4)
= (x + 2)(x + 6) a + b = 8 ( a=2 et b=6
x² - 13x + 12 a.b =12 ( 1.12 2.6 3.4
1.(-12) -2.(-6) -3.(-4)
=(x
)(x
) a + b =-13 (
2x² + 12x 32 on commence par
= a.b =
=
(x
)(x
) a + b =
exercice 7. p. 37
division par (x ± a)
cette méthode peut être utilisée pour des polynômes de degré supérieur à 2
exemple :factoriser 4x4 8x³ - 11x² +33x 18
à laide de la loi du reste, on trouve que le polynôme est divisible par (x 1). Avec Horner, on trouve :
= (x 1)(4x³ - 4x² - 15x + 18) ( le polynôme souligné est divisible par (x + 2), cela donne :
= (x 1)(x + 2)(4x² - 12x + 9) ( on a encore un produit remarquable (a b)², on a donc :
= (x 1)(x + 2)(2x 3)²
Synthèse
Binômes
mise en évidence
produit remarquable a² - b² = (a + b)(a b)
Trinômes
mise en évidence
produits remarquables a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a b)² = (b a)²
somme et produit
Quadrinômes (et +)
mise en évidence
groupement 2 par 2
ou 3 et 1
division par (x a)
Remarques :
a² + b² : pas moyen de factoriser
il faut toujours factoriser au maximum !
parfois, aucune de ces méthodes ne permet de trouver de factorisation, cela ne veut pas dire que cest impossible
exercice 9 p. 38
Exercices
factorise à laide de la mise en évidence (théorie : p. 31)
15a7b² - 10a5b³
12x²y² - 18xy³ + 24x³y
(x + 1)² - 3(x + 1)
2(n + 1)n + 3(n + 1)
a(x y) (y - x)²
(x + 2)(x - 3) (x - 3)(x + 1)
3(x 2)x (x + 2)² + (x + 2)
35x³y² - 49x²y³
3x(x + y)³ - 4x²(x + y)²
y(b a) + x(a b)
5x(x + 1)² - 10x²(x + 1)
6x² (u-1) 4x(1 u)
x(2a b) + (b 2a)
5xm+2yn + 10xm+1yn+1 correction : bonne réponse = 1 ; réponse fausse ou incomplète = 0 ; si le total SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 11, passer aux exercices supplémentaires
si le total SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 10, faire lexercice 2 puis les exercices supplémentaires
même exercice
ab b²
xy + y
a²b ab²
xy 2y
x³y² - x²y³
6x²y + 4xy²
15x7b² - 10x5b³
y(b a) + b(b a)
3(x + y) 2(x y)
12a²b² - 18ab³ + 24a³b
12x²y³ - 30x³y² + 18xy4
3x² - 9xy² + 6x
3xyz³ - 21 x²y²z² - 6x³y³z
5a(a + 2)² - 3a²(a + 2)
5(x + y z) 10x(x + y z)
45x³y4z5 + 60x5y²z 90x4y³z²
39a5b5c³ - 65a5b³cd
51a4b5c + 17a³b²c 32a³b5c4
a(x y) + b(x y)
2a( b c) 4c(b c)
9a²b(x + y) + 3ab²(x + y)
a(m n) b(n m)
5a²(b 2) + 15a(2 b)
factorise à laide des produits remarquables (théorie : p. 31 et 32)
1/9 x²
x² - 144
a² - 4a 4
x² - 8x + 16
25x² + 30x + 9
x² - eq \s\do1(\f(2x;6)) + eq \s\do1(\f(1;9))
49 14a + a²
9a² - 12ab + 4b²
x² + 4xy + 4y²
eq \s\do1(\f(a²;9)) + eq \s\do1(\f(2ab;15)) + eq \s\do1(\f(b²;25))
16x² - 4
a4 81
1 + 2x² + x4
x² - 4xy + 4y²
x6 6x³ + 9
x4 18x² + 81
4x² - 28x + 49
xy² - y²z
z² - 9
25a² - 16
16a² - 25y²
x²y²z² - p²
eq \s\do1(\f(x²;4)) - eq \s\do1(\f(y²;25))
a³ - eq \s\do1(\f(4a;9))
(a - 1)² - 1
correction : bonne réponse = 1 ; réponse fausse ou incomplète = 0 ; si le total SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 18, passer aux exercices supplémentaires
si le total SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 17, faire lexercice 4 puis les exercices supplémentaires
même exercice
a4 2a² + 1
81a4 169
(5x eq \s\do1(\f(3;2)))² - eq \s\do1(\f(81;4))
25x5y 49xy³
x² + x + eq \s\do1(\f(1;4))
2a 8a³ + 8a5
64x5 + 16x4 + x³
eq \s\do1(\f(a²;4)) + eq \s\do1(\f(1;49)) - eq \s\do1(\f(a;7))
(a b)² - 121
a4 - b4
(2x + 5)² - (3x 2)²
x4 + 1 2x²
eq \s\do1(\f(xy;3)) + eq \s\do1(\f(y²;9)) + eq \s\do1(\f(x²;4))
49x² - (x y)²
x² + 12x 36
x² + 5x + 9
81x² - (x 4)²
(u + t)² - (u t)²
3x5 48xy8
81x4 eq \s\do1(\f(1;16))
eq \s\do1(\f(1;9)) - 7x²
4x² - (3x + 1)²
x5 8x³ + 16x
16a² + 9b² - 24ab8
eq \s\do1(\f(1;4))x6 eq \s\do1(\f(2;3))x5 + eq \s\do1(\f(4;9))x4
eq \s\do1(\f(1;9))a6b4 eq \s\do1(\f(2;9))a5b² + eq \s\do1(\f(1;9))a4
25a² + 10a + 1
x4 + x²y + eq \s\do1(\f(y²;4))
x² - 2 + eq \s\do1(\f(1;x²))
100a² + 9b6 30ab³
25x4 + 16x²y4 40x³y²
4a5 + 12a³b4 + 9ab
(2a + 1)² - (3 a)²
9 + eq \s\do1(\f(a²b²;4)) - 3ab
25a² - (b 2a)²
factorise à laide des groupements (théorie = p. 33)
ax by ay + bx
a³ + 2a a² - 2
x² - y² + x²y xy²
x³ + x x² - 1
1 x² - y² + 2xy
ax x a + 1
x² + 4xy 1 + 4y²
x³ - 2x² - x + 2
a²x b²x + a²y b²y
x² + 9y² - 1 6xy
ax 4x + 4y ay
x² - 4x y² + 4
correction : bonne réponse = 1 ; réponse fausse ou incomplète = 0 ; si le total SYMBOL 179 \f "Symbol"\h 9, passer aux exercices supplémentaires
si le total SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 8, faire lexercice 6 puis les exercices supplémentaires
même exercice
x + y + ax + ay
ab + a + b + 1
x4 2x³ + 4x 8
20a³ + 5a² - 4a 1
12ab 8a + 3b 2
a³ - b4 + a²b ab³
a² - 2ab + b² - 1
a² - y² - 2xy x²
a² - b² + 2bc c²
x² - 2x y² + 1
x² - 4y² + 4y 1
cy + y + c + 1
4x² + 2x 9y² - 3y
c² + d d² - c
b²y b² + a²y a²
5a³ + a² - 20a 4
a4 2a³ + a 2
factorise avec la somme et le produit (théorie : p. 34)
x² + 3x + 2
x² + 8x + 15
x² + x 6
x² + 5x 6
x² + 4x 21
x² - 8x + 12
x² + 13x 14
2x² - 14x + 24
3x² + 3x 6
3x² - 3x 6
exercices récapitulatifs : factorise (avec la méthode de ton choix théorie p. 35)
9x² + 2x + eq \s\do1(\f(1;9))
2x6 + 2 4x³
x4 2x³ - x + 2
3(x y) x(y x)
y5 eq \s\do1(\f(2y³;3)) + eq \s\do1(\f(y;9))
81x4 144
(2x + 1)² - (x + 1)²
5t4 10t² + 5
121a² - (2a + 3 )²
x² + 4y² - 1 4xy
u³ - 6u² - u + 6
u² + 2u 1
8a³ - 8a² + 2a
a³ - 3a² - a + 3
x² - 12x y² + 36
xy² - xz²
x4y² - x²y4
x²y 6xy + 9y
3x³y 3xy³
0,04y² - 0,09x²
x8 y8
x² - x + 4-1
mn4op4 mn²op²
2a² - 12a + 18
x6 eq \s\do1(\f(1;16))
a4 2a² + 1
5x³ - 15xy²
a4 6a² + 9
49x³ - x
eq \s\do1(\f(x²;4)) + eq \s\do1(\f(1;49)) - eq \s\do1(\f(x;7))
9x²y² - 16
4x² - 2x + 1
4a²b³ - b
75a² + 30a + 3
(x + eq \r(3))² - 16
4x²(x + 3) (3 + x)
3x³y² - 5x5
9(x² - 3) - y4(x² - 3)
3x(y² - 2y) + 3x
x4 2x² + 1
(4x² +12x)² + 9(4x² + 12x)
3x4(x² - eq \s\do1(\f(4;3))) 75(x² - eq \s\do1(\f(4;3)))
exercices supplémentaires (plus difficiles)
2a(x + y) 3b( -x y)
x(2a b) + y(b 2a)
a(x y) (y x)
(4a2b)(2x 3y) +(3y2x)(b2a)
a²(x 1)(a + b) + a³(1 x)
(x 2y)(a b) (b a)(2x + y)
5x²- 5
a4x4 - a4
a4b²x5 a²x
9x5y7 xy
12(x + 2)³ - 3(x + 2)
(a b) (a b)x4
3x 9 + 3x5
2x³ - 7x
16a4b² - 24a²b³ + 9b4
x²(a² - 4) (a² - 4)
(a + 1)4 (a + 1)²
125x³(x y)² - 45x(3x + 2y)²
(a² + b² - c²)² - (a² - b² + c²)²
eq \s\do1(\f((a 1)²; 3)) - eq \s\do1(\f(a²;12))
avec la division par (x ± a) ou somme et produit (théorie p. 34) :
2x³ + 5x² - 4x 3
2x³ + 3x² - 23x 12
x4 + 5x³ - 15x² - 45x + 54
24x 4 + 5x4 6x³ - 19x²
x² - 8x + 12
x² - 14x + 13
x² - 22x + 85
x² - 4x 5
x² + 10x + 16
x² - 115x + 1500
x² - 4x 32
x² + 5x 14
x² + 20x + 19
x² - 4x 12
x³ + 9x² + 11x 21
x³ + 2x² - 5x 6
x4 + 2x³ - 16x² - 2x + 15
x4 7x³ + 17x² - 17x + 6
x5 + 3x4 16x 48
autres exercices
1) eq \s\do1(\f(212;12²)) = a) eq \s\do1(\f(28;3²)) b) eq \s\do1(\f(210;2)) c) eq \s\do1(\f(26;6)) d) eq \s\do1(\f(1;6)) e) 1
2) Si on écrit 35.27².3².243 sous la forme dune puissance de 3, lexposant sera égal à :
a) 10 b) 18 c) 21 d) 30 e) 450
3) 66 +66 +66 +66 +66 +66 = a) 60 b) 67 c) 366 d) 66 e) 3636
4) eq \s\do1(\f(213 +214 + 215 ;14)) = a) 228 b) 214 c) 212 d) 210 e) 26
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Cours de mathématiques 3e année chapitre 5 : la factorisation
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EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
