POLYNOME DU SECOND DEGRE
L'équation du second degré ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution et le polynôme
ne pourra pas être factorisé. Exemple : 3x2 + x + 2 = 0 Soit a = 3. b = 1 = (1)2 ...
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DU PREMIER AU SECOND DEGRE
1. Introduction
Soit la fonction f(x) = x2 + x 2 sur lintervalle [-3 ; 2]. Remplir le tableau de valeurs suivant puis tracer la représentation graphique de f(x) sur cet intervalle.
x-3-2-1-0,5012f(x)40-2-2,25-204
Indiquer les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
Pour x = -2 et x = 1.
Léquation du second degré x2 + x - 2 = 0 a donc 2 solutions.
x1 = -2 x2 = 1 S = {-2 ;1}
2. Etude de cas particuliers avec Géogébra.
Résoudre les équations suivantes, puis réécrire léquation sans parenthèses.
(x + 1) (x + 2) = 0
x = -1 ou x = -2. S = {-2 ;-1}
Léquation du second degré x2 + 3x + 2 = 0 a donc 2 solutions
A laide du logiciel Géogébra, tracer la fonction
f(x) = x2 + 3x + 2.
Que remarque-t-on aux points dabscisses x = -1 et x = -2 ?
La courbe coupe laxe des abscisses. f(x) = 0.
(4x - 2)2 = 0
x = EQ \s\do2(\f(1;2)). S = { EQ \s\do2(\f(1;2))}
Léquation du second degré 16x2 - 16x + 4 = 0 a donc 1 solution.
A laide du logiciel Géogébra, tracer la fonction
g(x) = 16x2 - 16x + 4.
Que remarque-t-on aux points dabscisses x = EQ \s\do2(\f(1;2))
La courbe touche laxe des abscisses. g(x) = 0.
A laide du logiciel Géogébra tracer la fonction h(x) = -2x2 + 3x 5
En déduire graphiquement la résolution de léquation -2x2 + 3x 5 = 0
Il ny a pas de solutions car la représentation graphique de h(x) ne coupe pas laxe des abscisses (il nexiste pas de valeurs de x pour laquelle h(x) = 0).
3. Tableau de variation de fonctions du second degré.
3.1. Tableau de variation de la fonction f(x) = x2 + 3x + 2 sur lintervalle [-4 ; 2].
A laide de létude précédente et du logiciel géogébra, tracer le tableau de variation de la fonction f.
EMBED Word.Picture.8
3.2. Tableau de variation de la fonction h(x) = -2x2 + 3x 5 sur lintervalle [-2 ; 4].
A laide de létude précédente et du logiciel géogébra, tracer le tableau de variation de la fonction h.
EMBED Word.Picture.8
4. Variation de la fonction f(x) = ax2 + bx + c en fonction du signe de a.
A laide du logiciel géogébra, créer trois curseurs a, b et c sur lintervalle [-10 ; 10]
Tracer la fonction f(x) = ax2 + bx + c sur lintervalle [-5 ; 5].
Positionner les curseurs b et c sur 0. Faites varier a. Que constate-t-on ?
Quand a change de signe, les variations de la parabole change. Si a=0, on obtient une droite, et la fonction sécrit y = bx + c.
Pour différentes positions de a et c, faites varier b. La variation de b et de son signe influent-t-ils sur le sens de variation de la fonction f ?
Non, cette variation na pas dinfluence sur le sens de variation de la fonction f, mais sur la position du maximum ou du minimum.
Pour différentes positions de a et b, faites varier c. La variation de c et de son signe influent-t-ils sur le sens de variation de la fonction f ?
Non, cette variation na pas dinfluence sur le sens de variation de la fonction f, mais sur la position du maximum ou du minimum.
En déduire le tableau de variation de la fonction f(x) = ax2 + x + 1 sur lintervalle [-10 ; 10].
EMBED Word.Picture.8
5. Polynôme du second degré
5.1. Définition
Le développement dun produit de deux polynômes du premier degré en x conduit à un polynôme du second degré en x, de la forme : ax2 + bx + c.
5.2. Résolution générale de léquation ax2 + bx + c = 0
Cas où c = 0 et a ( 0
On a alors : ax2 + bx + c = ax2 + bx = x (ax + b)
Le polynôme peut donc être mis sous la forme dun produit de deux facteurs du premier degré en x.
La résolution de léquation ax2 + bx = 0 a pour solution x = 0 ou x = EQ \s\do2(\f(-b;a))
Cas où a ( 0 et c ( 0
Soit ax2 + bx + c = 0
On calcul le discriminant du polynôme, appelé delta (() ( = b2 4 a c
Si ( ( 0
Léquation du second degré ax2 + bx + c = 0 na pas de solution et le polynôme ne pourra pas être factorisé.
Exemple : 3x2 + x + 2 = 0 Soit a = 3
b = 1 ( = (1)2 4 ( 3 ( 2 = -23
c = 2
Le polynôme ne pourra pas être factorisé.
Si ( = 0
Léquation du second degré ax2 + bx + c = 0 admet une solution notée x0 = EQ \s\do2(\f(-b;2a))
Le polynôme se factorise alors de la manière suivante : ax2 + bx + c = a (x x0)2
Exemple : x2 + 2x +1 = 0 a = 1
b = 2 ( = (2)2 4 ( 1 ( 1= 0
c = 1
La solution de léquation est donc x0 = EMBED Equation.3
Le polynôme se factorise de la manière suivante : x2 + 2x +1 = (x + 1)2
Si ( ( 0
Léquation du second degré ax2 + bx + c = 0 admet 2 solutions notées x1 et x2.
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Remarque : x1 et x2 sappellent aussi les racines du polynôme. Pour le cas où ( = 0, on dit que x0 est une racine double.
Le polynôme se factorise alors de la manière suivante,
ax2 + bx + c = a (x x1) (x x2)
Exemple : 4x2 5x + 1 = 0 a = 4
b = -5 ( = (-5)2 4 ( 4 ( 1= 9
c = 1
doù, x1 = EMBED Equation.3 et x2 = EMBED Equation.3 Soit S = { EMBED Equation.3 ;1}
Le polynôme peut donc se factoriser : 4x2 5x + 1 = 4 (x-1) (x- EMBED Equation.3 )
5.3 Signe du polynôme ax2 + bx + c
Cas ou ( ( 0
A laide du logiciel géogébra, tracer la fonction f(x) = 2x2 5x -3 sur lintervalle [-5 ; 5].
En déduire graphiquement les racines du polynôme.
x1 = -0,5 et x2 = 3
Compléter le tableau de signe suivant,
x -0,5 3Signe de 2x2 5x -3+-+
A laide du logiciel géogébra, tracer la fonction g(x) = -x2 x + 12 sur lintervalle [-5 ; 5].
En déduire graphiquement les racines du polynôme.
x1 = -4 et x2 = 3
Compléter le tableau de signe suivant,
x -4 3Signe de 2x2 5x -3-+-
En observant les résultats précédents, en déduire le signe de ax2 + bx + c
x x1 x2Signe de ax2 + bx + cSigne de aSigne de -aSigne de a
Cas ou ( = 0
Lexpression factorisée ax2 + bx + c = a (x x0)2 permet décrire directement le tableau des signes,
xx1Signe de ax2 + bx + cSigne de aSigne de a
Cas ou ( < 0
La factorisation est impossible, ax2 + bx + c est toujours du signe de a.
6. Exercices
6.1. Résoudre les équations suivantes.
1) x2-3x = 0 2) x2 + 4x = 0 3) x2 -x -12 = 0
4) 3x2 + 6x + 3 = 0 5) 6x2 - 13x - 5 = 0 6) -4x2 + x - 8 = 0
7) x2 - 4x = -3 8) 2x2 + 3 = 7(1-x) 9) 3x(x+7) = 10
10) x2 + x EQ \s\do2(\f(-1;4))= 0 11) 9x2 11x + 3 = 0
6.2. Factoriser les polynômes suivants,
1) x2 + x + 2 2) 2x2 - 11x + 12 3) 5x2 + 6x + 1
6.3. Un triangle rectangle est tel que la longueur de l'hypoténuse est 40cm et la somme des longueurs des côtés de l'angle droit est 56cm.
Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit.
6.4. Deux résistors R1 et R2 sont telles que :
montés en série leur résistance équivalente est égale à 245Wð.
montés en dérivation leur résistance équivalente est égale à 50Wð.
Calculer R1 et R2.
6.5. Pour fabriquer une pièce métallique utilisée comme cadre de serrure, un outilleur usine la pièce ci-dessous.
Les cotes sont en mm.
1 On étudie la cavité de la figure 1. Calculer la longueur OG.
2 En déduire la hauteur totale h de la cavité.
La cavité doit être centrée sur la pièce métallique à une distance x de chaque bord conformément au schéma de la figure 2.
3 Montrer que l'aire A du rectangle formé par le support métallique a pour expression en fonction de x,
A = 4x2 + 64x + 240
4 Pour des raisons de solidité, l'aire A doit être égale à 420mm2. Montrer alors que "x" doit être solution de l'équation : 4x2 + 64x 180 = 0
5 Résoudre l'équation x2 + 16x 45 = 0
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CJH*aJ 6 Déduire du résultat de la résolution 5-5, la valeur que doit prendre x pour répondre aux normes de solidité de la question 5-4.
Maths doc. prof Bac Pro 3 ans
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