CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE
CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE. MATHEMATIQUES-2004.
EXERCICE N° 1. 1) Il s'agit de déterminer a et b tels que la fonction f ainsi définie
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CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE
MATHEMATIQUES-2004
EXERCICE N° 1
1) Il sagit de déterminer a et b tels que la fonction f ainsi définie vérifie à la fois EMBED Equation.DSMT4
Cela signifie EMBED Equation.DSMT4 Les conditions dexistence des racines impliquent EMBED Equation.DSMT4 ce qui donne EMBED Equation.DSMT4
Dans ces conditions, les deux égalités deviennent EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , doù :
EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4
Par soustraction on obtient EMBED Equation.DSMT4 On déduit alors EMBED Equation.DSMT4 , doù EMBED Equation.DSMT4
Après vérification, on conclut que 2 et 3 sont échangeables avec EMBED Equation.DSMT4
2) Il faudrait déterminer a et b tels que EMBED Equation.DSMT4 Cela implique EMBED Equation.DSMT4 doù EMBED Equation.DSMT4 et en élevant au carré on obtient :
EMBED Equation.DSMT4 , ce qui donne EMBED Equation.DSMT4 , ce qui évidemment nest pas possible puisquune racine carré est positive.
Par conséquent 4 et 7 ne sont pas échangeables.
3) Supposons que des entiers relatifs u et v avec EMBED Equation.DSMT4 sont échangeables.
Il existe alors des réels a et b tels que EMBED Equation.DSMT4 Les conditions dexistence des racines impliquent EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 et comme EMBED Equation.DSMT4 , cela revient à EMBED Equation.DSMT4
Dans ces conditions les deux égalités entraînent par soustraction EMBED Equation.DSMT4 En multipliant par le conjugué on obtient EMBED Equation.DSMT4 et puisque EMBED Equation.DSMT4 , on déduit EMBED Equation.DSMT4
Supposons EMBED Equation.DSMT4 . Alors EMBED Equation.DSMT4 et dautre part, comme u et v sont des entiers avec EMBED Equation.DSMT4 on a EMBED Equation.DSMT4 , doù EMBED Equation.DSMT4 et comme EMBED Equation.DSMT4 , on déduit EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Mais alors on aurait EMBED Equation.DSMT4 ce qui nest pas possible.
Par conséquent EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 On déduit alors EMBED Equation.DSMT4 autrement dit u et v sont consécutifs.
Réciproquement, on montre que deux entiers u et v consécutifs sont échangeables et de plus il est facile de voir que les uniques valeurs de a et b sont EMBED Equation.DSMT4 ce qui donne la fonction f définie par EMBED Equation.DSMT4
En conclusion, les entiers u et v sont échangeables si et seulement sils sont consécutifs.
EXERCICE N° 2
1) La fonction constante définie pour tout point point M par EMBED Equation.DSMT4 est un tel exemple.
2) a) Pour une telle configuration, on a EMBED Equation.DSMT4 Les points A et B sont donc équidistants de M et N, par conséquent A et B se trouvent sur la médiatrice du segment [MN]. Par ailleurs, le triangle AMN est isocèle en A et comme EMBED Equation.DSMT4 on déduit EMBED Equation.DSMT4 la moitié dun angle de EMBED Equation.DSMT4 De là, la construction des points A et B est claire :
On construit dabord la droite d médiatrice de [MN]. On construit ensuite un point intermédiaire R tel que le triangle EMBED Equation.DSMT4 soit équilatéral. On construit la bissectrice de langle EMBED Equation.DSMT4 . Un des deux points cherchés, par exemple A sera lintersection de cette bissectrice avec la droite d. On finit par construire (avec le compas) le point B sur d, de lautre côté de EMBED Equation.DSMT4 , tel que EMBED Equation.DSMT4
M
d R A B
N
b) Si f est une fonction vérifiant la propriété (P), les triangles MAB et NAB étant équilatéraux, on a EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 Par soustraction on obtient EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4
3) Pour tous points M et N, on a EMBED Equation.DSMT4 (cela veut dire que f est une fonction constante).
Dans le triangle équilatéral MAB, on a EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 devient EMBED Equation.DSMT4
Cela veut dire quil existe une seule fonction vérifiant (P), a savoir la fonction constante définie pour tout point point M par EMBED Equation.DSMT4 .
4) Soit f une telle fonction. Soient M et N deux points distincts, A le milieu de [MN] et B et C les points tels que les triangles CAM et EMBED Equation.DSMT4 soient équilatéraux (voir figure).
Il est facile de prouver que MABC et NBCA sont des losanges et par conséquent :
C B
M A N
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 et par soustraction on obtient EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4
Ceci étant valable pour tous points M et N, on a EMBED Equation.DSMT4 et légalité EMBED Equation.DSMT4 devient EMBED Equation.DSMT4
Il est aisé de voir que la fonction ainsi définie vérifie la condition requise, donc la fonction constante f définie par EMBED Equation.DSMT4 est la seule vérifiant la condition donnée.
EXERCICE N° 3
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17 et 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 16 sont de telles suites.
2) a) La somme dun nombre pair de nombres impairs est paire.
En effet en groupant ces termes par deux, on obtient un certain nombre de groupes de deux nombres. La somme dans chaque groupe est paire et par conséquent la somme des sommes dans chaque groupe, autrement dit la somme de tous les nombres, est paire
Supposons maintenant que la suite comporte un nombre impair de termes pairs. Comme en tout il y a 9 termes, il reste alors un nombre pair de termes impairs dont la somme est paire daprès ce qui précède. Comme la somme des termes pairs est paire, on déduit que la somme de tous les termes de la suite est paire, ce qui est faux car cette somme vaut 53.
b) Daprès ce qui précède, moins de 4 termes pairs signifie aucun ou 2 nombres pairs.
Or les plus petits termes dune suite de 9 nombres avec aucun terme impair sont 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Comme cela dépasse largement 53, il nexiste pas de suite de 9 nombres naturels non nuls avec aucun nombre impair.
Si la suite comportait exactement deux nombres pairs, les plus petits termes seraient 1, 2, 3, 4 5, 7, 9, 11, 13, la somme serait alors 55, ce qui dépasse encore 53. Donc il nexiste pas non plus de suite de 9 nombres avec 2 termes pairs. Donc la suite admet au moins 4 termes pairs.
3) Si la suite ne comportait aucun multiple de 3, la suite dont la somme des termes est minimum est 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13. Cette somme minimum est alors 61, ce qui dépasse 53.
Par conséquent, la suite admet au moins un multiple de 3.
4) On a EMBED Equation.DSMT4 Comme au moins un des termes est divisible par 3, le produit des termes est aussi divisible par 3.
On a vu quil y a au moins 4 termes pairs. Sil y a plus de 4 termes pairs, il y a en fait plus de 5 termes pairs, le produit de ces termes pairs est alors divisible par EMBED Equation.DSMT4 et donc le produit de tous les termes est divisible par EMBED Equation.DSMT4 .
Si la suite comporte exactement 4 nombres pairs un au moins de ces termes est divisible par EMBED Equation.DSMT4 En effet, dans le cas contraire les plus petits termes dune telle suite seraient 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 14 ce qui donne une somme égale à 57 qui dépasse 53.
Le produit des termes pairs est alors divisible par EMBED Equation.DSMT4 et donc le produit de tous les termes est encore divisible par EMBED Equation.DSMT4 .
Le produit des termes est donc toujours divisible par EMBED Equation.DSMT4 , et comme il est aussi divisible par 3, on déduit quil est divisible par EMBED Equation.DSMT4
EXERCICE N° 4
On va déterminer dés le début la relation entre x et y, cela permettra de répondre à la question 1) mais aussi à la question 2).
Considérons donc une configuration ou le point S, symétrique de A par rapport à la droite (RT) est sur le segment [BC] (figure ci-dessous).
C D
T
S
y
B R x A
Alors EMBED Equation.DSMT4 La distance entre les droites (BC) et (AD) étant EMBED Equation.DSMT4 on a EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 Si on avait EMBED Equation.DSMT4 on aurait EMBED Equation.DSMT4 et alors EMBED Equation.DSMT4 , ce qui nest pas possible.
Par conséquent on a EMBED Equation.DSMT4 , ce qui fait que le projeté orthogonal H de S sur (AD) appartient au segment [TA].
On a alors EMBED Equation.DSMT4 on obtient EMBED Equation.DSMT4
Dans le triangle BRS, rectangle en B, on a daprès Pythagore EMBED Equation.DSMT4 et puisque EMBED Equation.DSMT4 on obtient EMBED Equation.DSMT4 On déduit alors EMBED Equation.DSMT4
Dun autre côté, dans le triangle EMBED Equation.DSMT4 rectangle en H, on a daprès le théorème de Pythagore
EMBED Equation.DSMT4
On déduit EMBED Equation.DSMT4 ce qui donne finalement :
EMBED Equation.DSMT4
On peut maintenant répondre aux questions :
1) On remarquera dabord quon doit avoir EMBED Equation.DSMT4
On doit avoir EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 ce qui donne EMBED Equation.DSMT4
Or les racines de la fonction de second degré EMBED Equation.DSMT4 sont EMBED Equation.DSMT4 et linégalité précédente entraîne EMBED Equation.DSMT4 Si EMBED Equation.DSMT4 on obtient EMBED Equation.DSMT4 et comme ces deux valeurs correspondent à des placements de R et T sur les segments respectifs [AB] et [AD] (T serait alors confondu avec D), on peut affirmer que la valeur minimale de x est EMBED Equation.DSMT4
Puisque R est sur le segment [BA], on a EMBED Equation.DSMT4 et pour EMBED Equation.DSMT4 on obtient EMBED Equation.DSMT4 Comme ces valeurs correspondent à des placements de R et T sur les segments respectifs [AB] et [AD] (R serait alors confondu avec le point B), on peut affirmer que la valeur maximale de x est 4.
Les figures ci-dessous représentent ces deux situations
C D C D
T
S T
S
B R x
R A B R A
2) La relation a été déjà donnée.
3) Les triangles SRT et ART sont isométriques car un est limage de lautre par la symétrie daxe (RT). Laire EMBED Equation.DSMT4 du triangle SRT est donc celle du triangle ART, rectangle en A.
Par conséquent EMBED Equation.DSMT4 x variant entre EMBED Equation.DSMT4 et 4.
EMBED Equation.DSMT4 est une quantité positive qui varie dans le même sens que son carré. Posons donc :
EMBED Equation.DSMT4
La fonction g est dérivable sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 et pour tout x de I, ona :
EMBED Equation.DSMT4 qui a sur I le même signe que EMBED Equation.DSMT4 qui sannule en EMBED Equation.DSMT4 On déduit que g (ainsi que la fonction f ) est décroissante sur EMBED Equation.DSMT4 et croissante sur EMBED Equation.DSMT4
La fonction f admet donc un minimum en EMBED Equation.DSMT4 égal à EMBED Equation.DSMT4
Pour EMBED Equation.DSMT4 on obtient EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 On a aussi :
EMBED Equation.DSMT4 , doù EMBED Equation.DSMT4 Le triangle AST est donc équilatéral.
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