Indices composés
La prévision des ventes : L'analyse des séries chronologiques. C'est la suite ...
En classe et chez soi. En TD. 1) Exercice 4 p. 32. puis. 2) Exercice 2 p. 31.
Exercice 6 .... on s'aperçoit que les résultats du livre sont faux ? à vous de les
corriger.
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Les indices et les séries chronologiques fournissent des méthodes permettant de décrire l'évolution d'une grandeur dans le temps.
Indices composés
Une étude porte sur la consommation moyenne de deux produits, pour une personne et par jour, étude faite à deux époques différentes :
ConsommationÉpoque 0Époque 1ProduitQuantitéPrixQuantitéPrixPain0,25 kg1,1 ¬ le kg0,200 kg1,2 ¬ le kgViande0,12 kg9,1 ¬ le kg0,150 kg10,5 ¬ le kgCalculer la dépense totale P0 à l'époque 0 .
Calculer la dépense totale Pl à l'époque 1 .
Calculer l indice de la dépense totale à l'époque 1, base 100 à l'époque 0 par la formule :
I1 = 100 × eq \s\do1(\f(Pl ; P0 )) =
Un indice simple n'étudie que les variations d'un seul produit,
Un indice composé prend en compte l'étude de plusieurs produits.
Chaque produit n'a pas la même importance, il est affecté d'un coefficient de pondération (ex: 0,25 pour le prix du pain dans le calcul de P0.
Lindice I1 représente les variations de la dépense engagée par la personne, mais il traduit mal la hausse des prix. En effet, si on double la consommation d'un produit entre deux époques, la dépense peut avoir doublé, même si le prix est resté pratiquement constant.
Pour comparer les variations des prix, il faut le faire à consommation constante.
Méthodes utilisées dans le calcul des indices composés:
Méthode de Laspeyres :
On prend pour les deux époques la consommation à l'époque 0; c'est-à-dire :
I2 = 100 × eq \s\do1(\f(0,25×1,2 + 0,12×10,5;0,25×1,1 + 0,12×9,1)) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 114,1
Méthode de Paasche :
On prend pour les deux périodes la consommation de lépoque 1 ; cest-à-dire :
I3 = 100× eq \s\do1(\f(0,200×1,2 + 0,150×10,5;0,200×1,1 + 0,150×9,1 )) SYMBOL 187 \f "Symbol"\h 114,5
Conclusion :
Un indice composé étudie les variations dun ensemble de produits entre deux époques 0 et 1.
ConsommationÉpoque 0Époque 1ProduitQuantitéPrix unitaireQuantitéPrix unitaireAa0x0a1x1Bb0y0b1y1Le calcul de lindice par la méthode de Laspeyres fait référence aux quantités consommées à lépoque 0.
I1/0 = 100 × eq \s\do1(\f(a0 x1 + b0 y1;a0 x0 + b0 y0))
Le calcul de lindice par la méthode de Paasche fait référence aux quantités consommées à lépoque 1.
I1/0 = 100 × eq \s\do1(\f(a1×x1 + b1×y1;a1×x0 + b1×y0))
Exercice
Une association de consommateurs publie une enquête sur la restauration rapide avec les résultats suivants sur le prix dun repas comprenant un sandwich, un dessert et une boisson.
ProduitsQuantitéAnnée 1996Année 2000Prix unitairePrix à payerPrix unitairePrix à payerTarte aux pommes190 g15,2 ¬ /kg18,5 ¬ /kgBoissons1 boîte de 25 cL3,40 ¬ /L34,20 ¬ /LHamburger12,4 ¬ 2,7 ¬
Calculer pour le repas :
les dépenses Do en 1996 et D1 en 2000;
le rapport eq \s\do1(\f(D1;D0 )).
Déduisez des réponses à la question précédente:
le montant de la dépense Dl pour une dépense Do de 1 ¬ , puis de 100 ¬ ;
le montant de la dépense Do pour une dépense D1 de 100 ¬ .
En appliquant la variation du prix du hamburger (rapport de prix entre 1996 et 2000) :
calculez les prix des autres produits de restauration sapide du tableau ci-dessous
Produits
AnnéesDoner kebabPain bagnat19962,10 ¬ 20003,45 ¬
un panini coûtait 1,90 ¬ en 1996 et coûte 2,14 ¬ en 2000. Ce sandwich a-t-il suivi la variation de prix des autres sandwichs ? Justifiez votre réponse.
Série chronologique :
Définition :
Une série chronologique est une série dans laquelle les valeurs du caractère sont fonction du temps.
Exemple :
Une étude portant sur le nombre de femmes et dhommes participant aux jeux olympiques est consignée dans le tableau ci-dessous.
Année197619801984198819921996Nombre de femmes1 2471 1251 5572 1862 7083 779Nombre dhommes4 7814 0925 2306 2796 6596 582Calculer :
Le nombre total des participants aux jeux olympiques en 1976 puis en 1996.
Le pourcentage des femmes en 1976 puis en 1996.
Placer dans le repère ci-dessous les points ayant pour abscisse lannée et lordonnée le nombre de femmes participant aux jeux olympiques.
Construire la droite D, dans le même repère, passant par le point A(1992; 2 891) et le point B(1980; 1 310).
En considérant que cette droite représente la tendance du nombre de femmes participant aux jeux olympiques, déterminer graphiquement le nombre probable de femmes participant aux jeux olympiques en 2004 puis 2008.
Tendance générale et variations saisonnières
Lexamen de la représentation graphique ou du tableau dune série chronologique montre que celle-ci peut-être constituée de deux composantes :
La tendance générale est une évolution de longue durée ; elle peut être marquée par une croissance ou une décroissance ;
Les variations saisonnières représentent les ressemblances entre les différentes périodes.
La mise en évidence des deux tendances permettra détablir des prévisions pour les saisons à venir.
Exemples :
Recherche de la tendance générale par la méthode des moyennes mobiles :
Année x1234567Chiffre d affaires en millions ¬ y110100130160160180200placer les points de ce tableau dans le repère ci-dessous.
Relier ces points par des segments de droites. La courbe ainsi obtenue donne la tendance générale .
Les moyennes mobiles, calculées sur trois ans, sont données dans le tableau ci-dessous.
Le principe consiste à remplacer 3 points consécutifs du premier tableau, obtenus par décalages successifs à partir du premier, par leur point moyen. Le nuage initial de 7 points est remplacé par le nuage de 5 points dont les fluctuations sont amorties.
On réalise un ajustement linéaire sur les 5 points.
x23456y113130150166180Placer ces points dans le repère de la page 4.
Tracer la droite passant par les points (3; 130) et (6; 180). Cette droite sappelle la courbe des moyennes mobiles.
Corrections des variations saisonnières :
Exemple :
Voici les variations mensuelles du chiffre d'affaires d'un rayon dans un grand magasin pour deux années consécutives (C.A. exprimé en milliers d'euros).
MoisjanvierfévriermarsavrilmaijuinjuilletaoûtseptembreoctobrenovembredécembreAnnée 110084125180152137867098149154145Année 2117114133207201160148124156188180166Calculer la moyenne des deux chiffres daffaires des mois de janvier des 2 années ; effectuer le même calcul pour les 11 autres mois.
On note EMBED Equation.3 (i = 1, 2, 3, ..., 12) ces chiffres daffaires mensuels moyens.
Calculer le chiffre daffaires moyen mensuel des 24 mois ; on le note EMBED Equation.3 .
Déterminer les coefficients EMBED Equation.3 des variations saisonnières du chiffre daffaires pour chaque mois de l année, à savoir :
Ri = EMBED Equation.3 .
Arrondir à 10-2 près.
En déduire les données corrigées des variations pour les chiffres d affaires mensuels de la deuxième année.
Arrondir au k¬ .
EMBED Equation.3 Donnée corrigée = * + , 4 5 6 > ? @ G H P Q U V ^ _ c d i j q r
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hËdCJUVaJ EMBED Equation.3
5.
Calculer les chiffres prévisionnels des mois daoût et de décembre de la troisième année à laide de léquation de la droite dajustement donnant lévolution du chiffre daffaires(en données corrigées) : y = 1,7 x + 1010
x = rang du mois ; y = CA en k¬
Calculer les chiffres d affaires prévisionnels des mois d août et décembre de la troisième année en données brutes en utilisant les résultats de la question précédente et les coefficients de variations saisonnières des mois d août et décembre.
Moyenne : voir tableau
MoisjanvierfévriermarsavrilmaijuinjuilletaoûtseptembreoctobrenovembredécembreTotal eq \x\to(M)Année 1100841251801521378670981491541451480Année 21171141332072011601481241561881801661894140,58Moyenne mensuelle eq \x\to(M)108,599129193,5176,5148,511797127168,5167155,5CVS Ri0,770,700,921,381,261,060,830,690,901,201,191,11Données corrigées 2e année152162145150160151178180173157152150
Chiffre d affaires mensuel : eq \x\to(M) (voir tableau)
CVS : Ri (voir tableau)
Données corrigées(voir tableau)
Prévisions 3e année :
Août : y = 1,7×20 + 110 = 144 soit un chiffre d affaires de 144 000 ¬
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hËdPJhËd+Mois de décembre : y = 1,7×24 + 110 = 150,8 soit un chiffre d affaires de 150 800 ¬
Donnée brute = données corrigées×CVS
Août : 144×0,69 = 99,36 soit 99 360 ¬
Décembre : 150,8×1,11 = 167,388 soit 167 388 ¬
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T. Tchangaï_ Bac_pro_tertiaire
