montée en vitesse d'éjection - Numericable
Les paramètres utilisés sont : P = 6 brelatifs, bouteille 1,5 L, 1/3 d'eau, plein ... D'
ailleurs, elle corrige (mais très faiblement) l'erreur due au choix d'un calcul en ...
au long des deux durées de propulsion soient égales (l'intégrale d'une vitesse
par .... q dépendant lui-même de la Véject (Stuy étant l'aire de la tuyère d'éjection
), ...
part of the document
ÉTABLISSEMENT
DE LA VITESSE DÉJECTION
dune fusée à eau
(ou Vitesse dÉjection calculée en Instationnaire)
Version du 09 03 07
Contrairement à ce que laissent penser beaucoup de simulations informatiques de la propulsion dune fusée à eau, la vitesse déjection de leau à la tuyère ne sétablit pas instantanément au décollage de la fusée. Pas plus quune voiture natteint tout de suite sa vitesse de croisière. Les lois de la mécanique ne le permettent pas.
Lair comprimé qui pousse leau vers la tuyère ressent en effet linertie de leau, tout comme nous ressentons la masse dinertie dune voiture lorsque nous devons la mettre en mouvement en la poussant.
Cependant, dans le cas de la fusée à eau, ce nest pas simplement la masse deau restant dans le réservoir qui va quantifier linertie ressentie par lair. En effet, lorsque lon accélère larrière dune voiture à une certaine vitesse, toutes les particules de la voiture sont accélérées à la même vitesse . Il nen est pas de même dans le réservoir de notre fusée à eau, où la vitesse de leau de chaque section horizontale dépend de la largeur du réservoir (la vitesse de ce fluide étant dautant plus forte que la section est faible, de par la loi de conservation des débits).
Il en résulte que lair comprimé ressent linertie de leau dune façon plus compliquée. Tout se passe comme si lorsquon pousse une voiture, certaines parties de la voiture étaient plus accélérée que dautres
Pour mieux sen persuader, on peut placer par la pensée dans la situation suivante, situation où lon pousse par larrière une voiture qui elle-même tire un chariot par lintermédiaire dun palan :
La masse ressentie par les personnes qui poussent la voiture est alors la masse de cette voiture augmentée de quatre fois la masse du chariot (car le chariot acquière une vitesse double de celle de la voiture et son inertie a une efficacité double du fait de leffet du palan).
De la même façon, lorsque nous donnons de lénergie à une voiture-jouet à friction , ce nest pas uniquement la masse du jouet que nous ressentons, mais bien une masse supérieure
CALCUL DE LA PROPULSION DE LA FUSÉE À EAU
EN RÉGIME STATIONNAIRE
Lorsque lon ne tient pas compte des effets de linertie de leau, on peut baser létude du mouvement sur la formulation bien connue de Bernoulli.
Cette formule fait état de la conservation de lénergie totale du système en toute section Sz du flux deau dans la bouteille.
Lénergie totale du fluide traversant la section Sz est la somme de :
( Pz l énergie de pression (pression de l eau à l ordonnée z)
(½ ÁVz ² l énergie cinétique (accumulée du fait de la vitesse Vz de l eau à la même ordonnée z)
(Áhz (g+³) l énergie potentielle appliquée sur la colonne d eau de hauteur hz (c à d la distance de la section à la surface libre de l eau) et causée par le concours de la gravité g et de l accélération ³ de la fusée).
L énergie totale du fluide à la section Sz est donc :
Pz + ½ Á Vz ² + Áhz (g+³) = Cste
Lapplication de cette loi de conservation des énergies aux deux sections particulières que sont la surface libre de leau et la section de sortie de la tuyère ainsi que lapplication de la loi de conservation des débits donnent, par soustraction, :
P - ½ Á Véject ²[1 - { EQ \f(Stuy;Sh)}2] + Áh (g+³) = 0
si h est à présent la hauteur instantanée de l eau restant au-dessus de la sortie de la tuyère
P la pression relative instantanée de l air comprimé
Á la masse volumique de l eau (ou du fluide dans le cas général)
Véject la vitesse d éjection instantanée de l eau à la tuyère
Stuy la section de la tuyère
Sh la section de la surface libre de l eau
g la gravité et ³ l accélération instantanée de la fusée
Dans beaucoup d applications et de tableaux de prédiction des performances propulsives, le coefficient entre crochets [1- (Stuy/Sh)²] est souvent assimilé à lunité (du fait que le carré du rapport de laire tuyère à laire de la surface libre de leau est très faible durant la majeure partie de la phase propulsive). Nous conservons cependant lexpression complète de ce coefficient dans notre équation, par soucis dexactitude et surtout parce que, en fin de phase propulsive, il séloigne beaucoup plus de lunité
Incidemment, on peut songer à lui donner un nom : dans lignorance dune dénomination officielle, jai pris sur moi de le nommer coefficient dhydraulicité, ceci dans la mesure où, lorsquil devient nul en fin de propulsion (parce que Stuy est égal à Sh laire de la surface libre de leau), on quitte le régime hydraulique Stationnaire (mâtiné dInertiel) pour un régime Instationnaire purement Inertiel
Cette dénomination est évidemment sujette à votre caution
Voici la valeur de ce coefficient dhydraulicité (en jaune) pour une bouteille de forme simplifiée à fond tronconique (silhouette bleue) :
Attention ajout des verticales rouge et orange dans Word !
Il faut prendre comme abscisse de la courbe montrant ce coefficient dhydraulicité le rayon de la surface libre de leau. La valeur du coefficient dhydraulicité est alors lue selon la courbe jaune sur léchelle de droite.
On voit que tant que ce rayon est supérieur à 2,5 cm (verticale orange), le coefficient est assez proche de lunité de (plus de 0,98).
Mais dès que le rayon de la surface libre de leau sapproche de celui du goulot le coefficient dhydraulicité plonge vers zéro. Ainsi pour un rayon de 1,185 cm (soit seulement 1 mm de plus que le rayon du goulot) (verticale rouge), ce coefficient est réduit à 0,545.
Bien sûr, par définition, lorsque le rayon de la surface libre de leau est le même que celui du goulot, le coefficient dhydraulicité est nul.
CALCUL DE LA PROPULSION DE LA FUSÉE À EAU
EN RÉGIME INSTATIONNAIRE
Si, à présent, lon décide de tenir compte de linertie de l eau, la fameuse formule de Bernoulli se trouve passablement compliquée. Il faut lui retrancher le produit d une certaine masse surfacique ÁHh par une accélération : - ÁHh EQ \f(dVéject ; dt ).
L équation de conservation des énergies de Bernoulli devient alors, en Instationnaire :
P - ½ Á Véject ²[1- (Stuy/Sh)²] + Áh (g+³) - ÁHh EQ \f(dVéject ; dt ) = 0
Le terme retranché - ÁHh EQ \f(dVéject ; dt ) , propre au calcul en Instationnaire a (comme les autres termes) la dimension d une pression. Il peut donc (il doit ?) être qualifié de Pression Inertielle.
Cette Pression Inertielle représente la pression qui va manquer à la tuyère au tout début de la phase propulsive de la fusée du fait que leau, malgré la pression de lair, ne sest pas mise en mouvement instantanément.
Cette même Pression Inertielle est donc immédiatement liée à lénergie cinétique qui est accumulée dans la vitesse des particules deau vers la tuyère lorsque cette vitesse croît (au début de la propulsion) . Cette énergie cinétique (½ MV²) sera dailleurs restituée lorsque cette vitesse décroîtra (pendant la plus grande partie du temps de propulsion)
Est-il possible dexpliquer simplement comment naît cette Pression Inertielle ?
Oui. Du moins, allons-nous tenter de le faire, dune façon restreinte, en nous plaçant par la pensée dans une situation particulière :
Imaginons de lair comprimé à la pression relative P poussant un volume deau de longueur L dans un tube de section constante S.
Considérons une section de liquide de longueur dx tout à fait à droite de la masse deau :
Ce volume élémentaire de longueur dx et de section S est soumis, de son côté droit, à la pression P de lair comprimé.
Il reçoit donc une force de pression de PS :
Lensemble du volume deau, de masse ÁLS , reçoit quant à lui de l air comprimé, la même poussée PS, et cette poussée détermine sur lui une accélération ³ = PS/ÁLS, soit :
³ = EQ \f(P ; ÁL )
Mettons-nous en mémoire que cette accélération ³ est la même pour toutes les sections d eau.
Le volume élémentaire déterminé par dx est donc soumis à la même accélération ³.
Comme sa masse ÁSdx est soumise à cette accélération ³, son inertie s y oppose en générant la force ÁSdx ³ . Représentons cette force d inertie :
Ce premier volume élémentaire dx ne pourra donc transmettre à un deuxième volume élémentaire d eau situé immédiatement à gauche de lui que la force PS diminuée de cette force d inertie ÁSdx ³.
Ce deuxième volume élémentaire sera donc soumis à une force F2 =PS - ÁSdx ³.
c à d qu il sera soumis à une pression P2 (appelons-là ainsi) de :
P2 = P - Ádx ³. :
À ce point, nous avons presque terminé notre démonstration restreinte de l influence de l accélération de l eau sur la pression de l eau dans tous ces volumes élémentaires (ou plus exactement à toutes les distances x). Il ne nous reste plus guère, en effet, qu à remarquer que ³ peut s écrire EQ \f( dv ; dt ) . Moyennant quoi on obtient :
P2 = P - Ádx EQ \f( dv ; dt )
et qu à étendre cette détermination à un troisième volume élémentaire :
P3 = P2 - Á dx EQ \f( dv ; dt )
soit :
P3 = P - 2Ádx EQ \f( dv ; dt )=
La longueur 2dx n est autre, en fait, que l abscisse donnant la position de la surface limitant à sa droite le troisième volume élémentaire . Il s ensuit que, d une façon générale, on a, pour la pression de l eau à l abscisse x :
Px = P Áx EQ \f( dv ; dt )=
Le terme négatif Áx EQ \f( dv ; dt ) est évidemment à rapprocher, pour ce cas simplifié, de la Pression Inertielle à un niveau h dans l équation de Bernoulli en Instationnaire :
ÁHh EQ \f(dVéject ; dt ) ( les abscisses x devant se lire comme des hauteurs Hh)
C est ce que nous voulions faire sentir&
Pour une explication plus intuitive encore de cette notion de Pression Inertielle, on peut songer à la situation où un malfaisant savise de pousser fortement dans le dos la dernière personne dune file dattente compacte formée de personnes alignées le long dun mur :
La force perçue dans son dos par le personnage le plus à droite est alors égale à la force quapplique le malfaisant sur le groupe : il est en effet pris en sandwich entre ce malfaisant et le reste des personnages.
Mais à mesure quon séloigne du malfaisant (en allant vers la gauche) la force ressentie par les membres du groupe est moins forte. En particulier, le premier personnage, celui qui est le plus près du guichet, sil est bien poussé en avant, ne lest quavec une faible force, du fait de la difficile mise en mouvement de la file des gens qui le suivent (attention : il est soumis à la même accélération que lensemble des personnes de la file dattente, mais la pression à laquelle il est soumis est beaucoup plus faible
Ceci explique sans doute que lors dun mouvement de panique dans une foule, lorsquun groupe compact vient percuter un autre groupe arrêté, les membres du groupe percuté qui sont contre la porte de sortie et qui peuvent actionner rapidement la serrure anti-panique gardent des chances de survivre
Si louverture des portes anti-panique ne peut être déclenchée rapidement, la vitesse EQ \f( dv ; dt ) devient nulle, et les pressions ségalisent : on passe en Stationnaire et toutes les personnes constituant le groupe percuté ressentent la même pression décrasement
Trop heureux davoir survécu, comparons ces expériences sur la mécanique des foules avec celle, bien connue des pendules de billes :
On sait pour avoir manipulé ce dispositif, que contrairement à ce que nous dicte notre intelligence quotidienne, ce nest pas lensemble des billes accolées qui vont se déplacer vers la gauche à la suite de la percussion de la bille de droite, mais que seule la bille de lextrême gauche va se mouvoir en se détachant de ses paires apparemment immobiles.
Première remarque : ce jouet scientifique produit un résultat paradoxal justement parce que nous possédons une intelligence quotidienne que nous avons renseignée tout au long de notre existence : un enfant en bas âge ne sétonnerait en rien du spectacle de ces billes, tout lui semblant naturel
Bien mieux quun enfant en bas âge, nous savons pourtant que lorsque lon percute un groupe dobjet avec un autre, le groupe entier est mis en mouvement (ces objets pouvant être des personnes)
Deuxième remarque : si seules les billes extrêmes effectuent leur ballet en laissant parfaitement placides les billes internes, cest que le mouvement de percussion de la bille des billes en mouvement se transmet dune extrémité à lautre par onde de choc.
Nous sommes donc ici dans le cas de solides déformables élastiquement
Ce nest pas lhypothèse où nous nous sommes placés dans notre étude (nous considérons leau comme un fluide incompressible)
Quelle est la longueur H h figurant dans lexpression de la Pression Inertielle ?
Revenons à présent à l équation de Bernoulli en Instationnaire pour noter que ce n est pas h, la hauteur d eau restant dans le réservoir de la fusée, qui intervient dans le terme ÁHh EQ \f(dVéject ; dt ) pour quantifier la hauteur de la colonne d eau, mais plutôt une certaine hauteur deau Hh , variable à chaque instant mais dépendant de h.
Nous appellerons hauteur inertielle cette hauteur deau Hh et vous avez compris que cest cette hauteur inertielle deau que la pression de lair ressent et que conséquemment elle met un certain temps à accélérer.
Insistons encore sur le fait que cette hauteur inertielle est différente de la simple hauteur deau au-dessus de la tuyère (hauteur que nous nommons souvent hauteur de colonne deau)
De la même façon que lorsquon pousse une voiture entraînant elle-même un chariot par lintermédiaire dun palan la masse ressentie par nous est plus forte que la somme des masses en présence (somme de celle de la voiture et de celle du chariot), dans notre cas la hauteur inertielle Hh ressentie par lair de la fusée à eau est différente de la simple hauteur deau au-dessus de la tuyère. Et ici elle est plus faible (nous le montrerons à linstant).
Cette hauteur inertielle, quoi que non-nommée, apparaît très bien dans le magnifique travail danalyse de HYPERLINK "http://www2.et.byu.edu/~wheeler/benchtop/" Dean Wheeler sur le régime instationnaire de lécoulement de leau. (cliquer sur thrust_eqns, puis sur HYPERLINK "http://www2.et.byu.edu/~wheeler/benchtop/pix/thrust_eqns.pdf" thrust_eqns.pdf pour télécharger ce texte en anglais) .
Cest cette analyse qui sert de base à la rédaction du présent texte pédagogique.
De fait, la valeur de la hauteur inertielle de leau est donnée par le grand Dean comme étant, à chaque instant de la phase propulsive :
Hh = EQ \i( z=0 ; h ;) EQ \f(Atuy;A(z)) dz
où :
(h est la hauteur deau restante
(z lordonnée mesurée parallèlement à laxe du réservoir et qui est la variable dintégration
(Atuy et A(z) les aires des sections du réservoir à la tuyère et à la surface libre de leau (cette dernière aire est donc variable selon la hauteur deau restante h)
Dans la pratique et pour une fusée standard de 1,5 L, la hauteur inertielle Hh est un peu supérieure à la longueur de la partie cylindrique de la tuyère (donc du goulot, en général).
Voici dailleurs (en violet) lévolution de cette hauteur inertielle Hh en fonction de la hauteur deau restante au-dessus de la sortie de la tuyère, pour une bouteille standard de 1,5 L (type Pepsi-Cola ou Schwepps), remplie sur le Pas de Tir dun tiers deau (soit 18 cm depuis la sortie du goulot) :
Il faut lire cette hauteur Inertielle sur la même échelle que celle des hauteurs de la bouteille. Nous lavons attachée, en abscisse, au rayon de la surface libre de leau (comme pour le coefficient dhydraulicité), même si elle est fonction de tous les rayons de leau surmontant lexutoire de la tuyère (on pourrait appeler ces rayons les rayons mouillés).
On voit ainsi que lorsque la surface libre de leau est à 3cm de cet exutoire, au rayon 1,085 cm = 21,7 / 2, la hauteur inertielle est de 3 cm.
Mais quand cette surface libre est à lépaule de la bouteille (à la hauteur 6 cm et au rayon 4,15 cm) la hauteur inertielle nest que de 3,75 cm.
Le même calcul démontre que quand la hauteur deau est à son maximum de 18 cm, la hauteur inertielle nest encore que de 4,6 cm (cest le haut de la courbe violette) .
Il résulte de tout cela que pendant la plus grande partie de la phase propulsive dune fusée à eau standard de 1,5 L, la hauteur inertielle ne varie que de 4,6 cm à 3 cm. Ensuite, quand toute leau restante est dans le goulot, la hauteur inertielle devient la hauteur réelle de leau dans ce goulot
Intuitivement, le temps de montée Tm en Vitesse d'éjection (càd le temps qu il faut à l eau pour être éjectée à la vitesse hydraulique calculée en Stationnaire) peut être approché par la formule :
Tm = EQ \f("2 . L Á; "P)
où :
(P est la pression de l'air sur le pas de tir
(Á la densité de l'eau
(L la hauteur du col cylindrique de la tuyère (le goulot) majorée d'une petite hauteur représentant le reste de la hauteur inertielle ressenti par l'air comprimé (0,4cm , par ex. pour une bouteille Tintinoïde de 1L)
Adaptée, cette formule devient sur une bouteille standard de 1,5 L , pour une hauteur de goulot L exprimé en centimètres et une pression initiale P exprimée en bars relatifs :
Tm en millième = EQ \f(5L;"P)
Une telle formule empirique me paraît assez fidèle pour des petites longueurs de col cylindrique (de goulot).
Le graphique ci-dessous montre alors (en violet) la vitesse d éjection calculée en tenant compte de l inertie de l eau (donc en régime Instationnaire), en comparaison avec ce que devrait être la vitesse déjection en labsence de phénomènes inertiels (calculée en régime Stationnaire, donc) (en bleu clair).
Les paramètres utilisés sont : P = 6 brelatifs, bouteille 1,5 L, 1/3 deau, plein goulot, masse à vide 0,1 Kg , pas de calcul 1,6/10 000ème de seconde.
On remarque la montée en vitesse de la courbe violette, imputable à linertie de leau. Dans la mesure où la pression de lair varie peu dans ce premier instant de la propulsion, on devrait pouvoir assimiler cette mise en mouvement de leau à celle dune certaine masse inertielle deau, mais le problème est que quand la vitesse violette sapproche de la vitesse bleue, leffort de mise en mouvement disparaît : la vitesse est en passe dêtre acquise : cest, à assez peu près, la vitesse hydraulique initiale :
V = EQ \r(; EQ \f(P0; Á/2)) &
On remarque également sur la gauche de la courbe violette la brusque accélération de l éjection de l eau en fin de propulsion : C est l effet boulet de canon ou obus d eau puisque la masse d eau restant dans ce canon que constitue la partie cylindrique du goulot y est soumise à la pression dair restante.
Cette prise de vitesse peut être quantifiée intuitivement puisque lon connaît la force daccélération de cette petite masse deau (produit de la Pression de lair résiduel par laire de la tuyère) et lévolution de cette masse (voir en fin de texte un additif sur lévaluation de cette prise de vitesse par HYPERLINK \l "add_effet_obus" effet boulet de canon).
La légère retombée de la courbe bleue à droite est imputable, me semble-t-il, à la disparition progressive de la colonne deau (dont la hauteur produit, pour les très fortes accélérations terminales, un apport conséquent de pression à la tuyère). Plus à droite, la chute à zéro est une image puisquil ny a plus deau à éjecter. Il faut dailleurs songer que la fusée va alors passer de la propulsion aqueuse à la propulsion gazeuse (et on sait que lair comprimé va ,quant à lui , atteindre une vitesse transsonique) ; cette propulsion gazeuse sort cependant du cadre de notre étude.
La preste montée de la courbe bleue dans les premiers instants est, quant à elle, un artefact. Le calcul étant effectué en Stationnaire, il ne prend nullement en compte la masse dinertie de leau et cette montée initiale ne peut représenter la mise en vitesse de ce fluide. Dans un calcul en Stationnaire, la vitesse déjection est censée sétablir instantanément. Ici, la légère montée initiale de la courbe correspond en fait à litération informatique queffectue notre tableur pour trouver laccélération initiale de la fusée à partir de la pression déjection initiale due à la pression de lair seulement augmentée de la pression de la colonne deau due à la gravité (sans apport de laccélération de la fusée, donc)
Dans la réalité laccélération même de la fusée augmente instantanément la pression de leau à la tuyère (plus exactement : laccélération de la fusée augmente la pression déjection qui augmente en retour laccélération, etc.).
Cette montée initiale nest pas une faute scandaleuse. Dailleurs, elle corrige (mais très faiblement) lerreur due au choix dun calcul en Stationnaire. Nous joignons cependant à ce texte une note sur un HYPERLINK \l "calcul_Veject_init"calcul de la Pression dÉjection Initiale qui devrait permettre au logiciel de saffranchir de litération informatique précitée.
Une deuxième méthode serait de consacrer, en tout début de calcul, un certain nombre de lignes de calcul (séparée par un Pas de Temps très court) qui réaliseraient litération sans faire notablement avancer le chronomètre du vol
Attention : Sur notre graphe, les durées de propulsion données par les deux calculs (Instationnaire et Stationnaire) ne sont pas les mêmes puisque ces deux calculs sont régis par des règles différentes. Dans la pratique ces durées sont cependant assez proches
Dans le même esprit danalyse, notons que la logique impose que les intégrales des vitesses déjection bleue et violette au long des deux durées de propulsion soient égales (lintégrale dune vitesse par rapport au temps est une longueur ; ici cette intégrale représente la longueur du spaghetti deau éjecté par la tuyère ; les deux intégrales sont donc proportionnelles à la masse deau à éjecter, masse qui est la même dans les deux cas).
La courbe de la vitesse déjection en Instationnaire (violette) ne se situe que transitoirement en-dessous de la courbe Stationnaire (le temps de la montée en vitesse). Durant le reste du temps (soit la majeure partie de la phase propulsive), elle se maintient toujours un peu au-dessus de celle-ci. Cette position supérieure nest pas une hystérésis classique créée par linertie de la courbe de vitesse (une vitesse ne peut prendre délan pour continuer à croître après que leffort qui laccroissait a cessé ; dès que lorsquun effort cesse, la vitesse que cet effort faisait croître cesse de croître immédiatement et la courbe de vitesse marque un angle vif).
La position supérieure de la courbe Instationnaire violette est due :
( principalement (à notre sens) au fait que la plus lente montée en vitesse de leau a entraîné une économie deau et donc de pression dair : à abscisse égale sur le graphe, la pression de lair est donc un peu plus forte
(secondairement au fait que, la pression diminuant adiabatiquement dans la bouteille, la vitesse de leau vers le bas a tendance à décroître légèrement et que linertie de leau soppose à cette décroissance (une vitesse acquise ne peut diminuer instantanément) : cest lors de cette décroissance des vitesses des particules deau que la fameuse Pression Inertielle ÁHh dVéject/dt devient négative . Comme cette Pression Inertielle doit être retranchée aux autres apports de pression à la tuyère, la phase de décroissance de vitesse de l eau est génératrice d une légère surpression à la tuyère&
CONCLUSION
Pour ramener les choses à leur juste proportion, il faut ajouter que les tableaux de simulations de performances des fusées à eau réalisés en Instationnaire montrent que leffet inertiel dû à la progressivité de la mise en vitesse de leau est de très peu dimportance sur la vitesse atteinte en fin de propulsion. Lénergie dépensée au départ dans laccélération de leau paraît donc récupérée durant le reste de la propulsion (voir le phénomène dinertie dans la vitesse acquise par leau évoqué à linstant).
NOTE SUR LE CALCUL DE LA PRESSION DÉJECTION INITIALE EN STATIONNAIRE
Il est possible déviter au tableur le travail de litération de la Vitesse dÉjection mentionnée dans lobservation du précédent graphe. On peut en effet calculer directement la valeur initiale de cette Vitesse.
Faisons-le à titre dexercice (en effet, le graphe précédent montre que cette itération est de peu dincidence et, de plus, va dans le même sens que la prise en compte en Instationnaire de linertie de leau).
La vitesse déjection initiale calculée en Stationnaire découle naturellement de l application de la formule de Bernoulli aux deux sections que sont la surface libre de l eau et celle du bas de la tuyère d éjection :
P - ½ Á Véject ²[1- { EQ \f(Stuy;SL)}2] + Áh (g+³) = 0
d où l on tire :
EQ \f(ÁVéject²; 2) [1-{ EQ \f(Stuy;SL)}2] = P0 + Á(³ + g)H0
où :
(P0 est la pression relative initiale de l air comprimé
(Á est la masse volumique de l eau
(g est l accélération de la pesanteur
(³ est l accélération initiale de la fusée (qui est inconnue)
(H0 la hauteur initiale de l eau au-dessus de la sortie de la tuyère
(Stuy l aire de la tuyère à sa sortie
(SL l aire de la surface libre de l eau embarquée
La valeur de ³ est, bien sûr, donnée par la première loi de la dynamique ³ = EQ \f(F; M0) , loi où l on pose :
(F la résultante des forces auxquelles est soumise la fusée, à savoir la poussée du moteur diminuée du poids de la fusée
(M0 la masse totale initiale de la fusée
La résultante des forces agissant sur la fusée n est autre que :
F = ÁVéject²Stuy - M0g
(on reconnaît l expression classique de la poussée, construite sur F = qVéject , q dépendant lui-même de la Véject (Stuy étant l aire de la tuyère d éjection), ainsi que le poids initial de la fusée) :
L accélération est donc : ³ = EQ \f(ÁVéject²Stuy;M0) - g
L équation de Bernoulli donnant la Vitesse d Éjection Initiale devient alors :
EQ \f(ÁVéject²; 2) [1 - { EQ \f(Stuy;SL)}2] = P0 + ÁH0( EQ \f(ÁVéject²Stuy;M0))
Il saute aux yeux que dans cette équation la gravité a disparu. Cest un paradoxe classique : la fusée, libérée de ses attaches avec la planète doit en effet être considérée comme abandonnée à la gravité, ce qui revient à dire quelle est en impesanteur, et uniquement mue par sa force de propulsion.
La vitesse déjection initiale qui découle de cette équation est alors :
Véject = EQ \r(; EQ \f(2P0;Á[1- { EQ \f(Stuy;SL)}2 - EQ \f(2ÁSTuyH0;M0)]))
ou, plus mnémotechniquement :
Véject = EQ \r(; EQ \f(2P0;Á)) EQ \f(1; EQ \r(;1 - { EQ \f(Stuy;SL)}2 - EQ \f(2ÁSTuyH0;M0))))
Cette dernière rédaction nous permet en effet de comparer notre résultat à la valeur classique de la simple vitesse hydraulique statique initiale (tirée de léquation de Bernoulli mais ne prenant pas en compte lapport de pression à la tuyère dû à laccélération de la colonne deau). Cette vitesse hydraulique statique de référence est :
Véject = EQ \r(; EQ \f(2P0;Á))
Il est alors important de remarquer que, d une part :
( { EQ \f(Stuy;SL)}2 est une quantité qui est en général prise comme négligeable ; mais à laquelle il ne coûte rien de donner ici sa valeur exacte&
( la quantité EQ \f(2ÁSTuyH0;M0) est le double du rapport de la masse de la colonne deau à la masse de la fusée complète sur le pas de tir, masse qui est du même ordre de grandeur que la masse deau ). Finalement cette quantité est donc du même ordre de grandeur que le double du rapport Stuy/SL.
ADDITIF SUR LEFFET OBUS DEAU
La situation de l'eau dans le goulot en fin de prop aqueuse est celle de l'obus dans le canon. La Pression instantanée Présid variant très peu dans lexpulsion de cette petite quantité deau, le système suit la loi F = M³ avec :
F = Présid Stuy
et
M la masse d'eau restant dans le goulot.
Il faut d ailleurs noter que cette accélération ³ augmente la vitesse de l obus d eau à partir de la vitesse qu il possède déjà, à savoir VéjectPréObus .
Cette masse d'e=rt
× Ø ½
¾
ûü^©>?¢ÅÆ$&*RTX\ÌÎÒÔÜàäPRV¨,.0üóíàÓÁÓíü·ü·ü§ü·üü·üü§üüüüüüüü hs85\ jàðhs8 hs8H*
hs8CJ hs85>*\ jhs8CJUmHnHujhs80JU#h£ hs85B*CJ\aJphÿhs85B*CJ\phÿhs85B*CJ\phÿ
hs8CJhs85CJ \hs84*=?rst× Ø £
¤
ë Â
§¨]^ýýýýýýýýýýýûûûûûûûûûûûûûûûûûû ¢òjøýýýý^©ªBCÄÅÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖ×ØÙööíííííààààààààààààààààààà $$ù]ù`$$`$$`ÙÚÛÜÝÞßàáPRÒLNP¾Àýþpr0ööööööööôôôôôôôöööôôööööçç $$ô 0ý^ô `0ý$$`0þ,. ¢¨ÀÂÄÔØäæþ &(*:@DFHJLNPpxz02 ( ÒÔÖ(*HJF G L O Q R T U Y s Ã Ä È Ó Ô Õ n o q r Æ üõüõüïêüõêõêõêõüõêõáõáÖõêõêõÖáÌáõüõüõüõüõêüõêüõêüõüõüáõêõêõáüÄüõêüõêüºüºüjhs80JUhs86>*]hs85EH H*\jhs85U\hs85CJ \ hs8H*
hs8CJ hs85\hs8I Ò( × Ø ¯ ° ; < w x | } \!ã!ï"##òòòòòðððððæðááááÕáÌÆÆÆÆ`$$` $$$`a$$$ $ Ð^$ `Ð $$ô 0ý^ô `0ýÆ à < w x z { !!Û!à!{""""è"í"#Î#î$,%.%2%4%8%:%j%t%v%x%z%%%¤%¦%^&p&|&~&&&&&&&ùõëõÛÓõÌõÌõÌõÌõÌõÄõùõ¸õ£õ~~õÌyÌpÌyÌyÌhs85CJ \ hs8H* jhs85B* U\phhs8B* H*phhs85B* \phjhs80JUhs8H*mHnHuhs85\mHnHuhs85>*\ hs85\jhs8U jhs8CJUmHnHuhs8RFRIRKRNRORPRVRWRYR_R`RaRRRRÞRßRàRãRçRèRSSµSºSðäÛÕäÑÇÑÂÑ»¶»«»¢»«Ñ«»¶»«»»Ñ»Ñu»Ñ»¶Ñ»Ñ»Ñ» jàðhs85\ jàðhs8jhs80J5U\
hs8CJhs85CJ\hs85CJ\jhs85U\ hs8H* hs85\ hs8>*jhs80JUhs8
hs80Jh£ hs80Jjhs8UmH sH jZ
hs8UmH sH .ºSÒSÓSÔSÕST
TTõTúTKUPUpUqUÈV×VWW3W;W>WFWeWiW·W»WÈWÏWôWûWGXLXxX~X¥X¦XY YFYLYOYSYûYüYþY>[@[B[F[H[V[d[f[h[n[p[r[x[[[[Þ[à[â[\\\©\üõðõüõðüõüõüèüáüõüõüõüõüõüõüõüõüõü×üõüõüõüõðüÍÅͺõÍõ±ÍõºÍüªõüªõüªõü jàðhs8hs85CJ\jhs85U\h£ hs8H*h£ hs85\jhs80JU hs86]jE hs8U hs8H* hs85\hs8CS>T?ToUpUrUsUÚVÛVkWþWÿW©XªXÖY×YØYÙY[v[x[[Þ[\Þ\ß\ýýøøìýýýýýýýýýýýýøøøøßßßßý $$¼^¼` $$$`a$$$©\®\ ]!]?]@]q]r]]]]] ]¡]ª]^^^^
^²^Ð^þ_
```Ì`Ó`Û`ç`ì`î`ñ`aa+a5a8aFaGaLcPcQcXcYcZcbcccdcdddd
dddd4eReZene¾eÈetguggggùõùõùõùõùðùõåùÜÒùåùõËõËõËõùðõùõùõùõùÆõ¾õùåùÜåùðÜÒùÒùåùåùõËõËõËõ¶õ«¶j´:hs8Ujhs8Uj¥hs8U hs8H* hs86]h£ hs85\hs85CJ\jhs85U\ hs8H*hs8 hs85\Cß\]^^ì^î^ð^¬``EaFaHaIaJaKcLcddd?f@f°g±gûiüiÑl·m,oýýýýýýýýýôôýýýýýýýýýêýýýêêý ù]ù`$`a$g¬ggCiJi[ibiQjYjIkhkn
n§n¨n©nÒnÓnpp8rGrOrPrtlt¶u·uvvðwxxxx x&x*xNxPx¨x¼xàyöy7{¨{ÿ{E|¢®°²¸ºúòîçîçîçîâîòî×òúòîÐîçîÆîâî¿î¿îç´ª´ª´ÐîÆîâî¢îâî¢îÐÐÐhs85CJ \ hs8H*hs85>*\hs8B* H*phhs85B* \ph jàðhs8jhs80JU hs85\j3;hs8U hs8>* hs86]hs8jhs8U
hs80J6,opppqqÖr×rØrpu¶uvÜyÞyàyöyøyý{þ{ÿ{E|F|}ýýýýýýóóóóóóóóæÙÙÓÓÊÅÅ$$$$`ü]ü $$ù]ù` $$ù]ù` ù]ù`}í}î}&(ª¬¶(nº6À prt\N
¢
¤
¦
¨
úúúúñúúúúúúúúúúúúúïïúââïïï $$äý^`äý$$`$$º¼ÌÒÖØÚÜÞàâ(*
