Exercice III Oscillateur mécanique horizontal 4 pts
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EXERCICE III. OSCILLATEUR MÉCANIQUE HORIZONTAL (Pondichéry 2007 ; 4 points)
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Un pendule élastique est constitué d'un mobile de masse m = 80 g pouvant se déplacer sur un banc à coussin d'air horizontal. Ce mobile est attaché à un point fixe par un ressort de masse négligeable à spires non jointives, de raideur k. La position du mobile est repérée par l'abscisse x sur l'axe (O, EMBED Equation.DSMT4 ). A l'équilibre, la position du centre d'inertie G coïncide avec le point O, origine des abscisses.
III.1 Etude de l'oscillateur parfait (non amorti)
Dans cette partie, on considère que le mobile n'est soumis à aucune force de frottement.
III.1.a Indiquer l'expression vectorielle de la force EMBED Equation.DSMT4 de rappel du ressort en fonction de l'abscisse x du centre d'inertie du mobile et de EMBED Equation.DSMT4 vecteur unitaire.
III.1.b Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le mobile. Reproduire le schéma ci-dessus et représenter ces forces.
III.1.c A l'aide de la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement (relation entre l'abscisse x(t) et ses dérivées par rapport au temps).
lll.1.d Un dispositif d'enregistrement de la position x du mobile permet de mesurer la valeur T0 de la période du mouvement : T0 = 0,20 s. Quelle est la valeur numérique de la raideur k
du ressort sachant que T0 = 2( EMBED Equation.DSMT4 ?
III.2 - Etude de l'oscillateur avec amortissement
Le dispositif est modifié et les frottements deviennent plus importants. L'équation différentielle du mouvement a maintenant l'expression suivante : a + (.v + (.x = 0
a = EMBED Equation.DSMT4 est l'accélération de G, v = EMBED Equation.DSMT4 sa vitesse.
III.2. a - A l'aide de l'analyse dimensionnelle, déterminer les unités de ( et ( dans le système international (S.I.).
On a pu déterminer que ( = 60 S.l. et ( = 1,00.103 S.l.
III.2. b - La méthode numérique itérative d'Euler permet de résoudre cette équation différentielle. Un extrait de feuille de calcul pour cette résolution est représenté ci-après :
Indice
t, a, v, xInstant t (s)Accélération a (m.s-2)Vitesse v (m.s-1)Abscisse x (m)00,00-30,00,000,03010,01-9,0-0,300,02720,020,3-0,390,02330,034,0-0,390,01940,045,1-0,350,01650,055,0-0,300,01360,064,5-0,250,01070,07a7-0,200,00880,08v8x8
Calculer la valeur numérique de l'accélération a7 à l'instant t7 = 0,07 s à l'aide de l'équation différentielle.
III.2. c - Calculer les valeurs de la vitesse v8 et de l'abscisse x8 à l'instant t8 = 0,08 s en utilisant la méthode d'Euler.
III.2. d - Tracer la courbe donnant l'abscisse x en fonction du temps sur le papier millimétré à rendre avec la copie.
Echelles : 1 cm pour t = 0,01 s et 1 cm pour x = 0,002 m.
III.2. e - Quels sont les noms des deux régimes possibles d'un oscillateur ?
La courbe précédente permet-elle d'affirmer dans quel régime se trouve l'oscillateur étudié ?
Pondichéry 2007 EXERCICE III. : OSCILLATEUR MECANIQUE HORIZONTAL (4 points)
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III.1 Etude de l'oscillateur parfait (non amorti)
III.1.a Avec les notations de l'énoncé la force EMBED Equation.DSMT4 de rappel du ressort s'écrit EMBED Equation.DSMT4 = - k.x. EMBED Equation.DSMT4
III.1.b - Inventaire des forces qui s'exercent sur le mobile:
- la force de rappel du ressort : EMBED Equation.DSMT4
- le poids : EMBED Equation.DSMT4
- la poussée de lair issu de la soufflerie du banc : EMBED Equation.DSMT4
On a choisi arbitrairement le point G comme point dapplication de ces trois forces.
III.1.c - La deuxième loi de Newton appliquée au système "mobile" dans le référentiel terrestre galiléen donne : EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4
en projection selon l'axe (Ox), il vient :
k.x = m.ax
0 = m. EMBED Equation.DSMT4 + k.x
Finalement: EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4
lll.1.d - Sachant que T0 = 2( EMBED Equation.DSMT4 ( T0² = 4.(². EMBED Equation.DSMT4
Finalement: k = 4.(². EMBED Equation.DSMT4
Application numérique: k = EMBED Equation.DSMT4 = 79 N.m-1.
III.2 - Etude de l'oscillateur avec amortissement
III.2. a Les trois termes de l'équation a + (.v + (.x = 0 ont même dimension, celle d'une accélération [a] = L.T2
[(v] = L.T2 donc [(] = L.T2 / [v] = (L.T2 ) / (L.T1) = T1
( est homogène à l'inverse d'un temps.
[(x] = L.T2 donc [(] = L.T2 / [x] = (L.T2 ) / L = T2
( est homogène à l'inverse d'un temps au carré.
Alors ( = 60 s-1 et ( = 1,00.103 s-2
III.2. b On a : a + 60.v + 1,00.103.x = 0
Donc: a7 = 60.v7 1,00.103.x7
a7 = ( 60) ( ( 0,20) 1,00.103 ( 0,008 = 4,0 m.s-2
III.2. c En utilisant la méthode d'Euler :
a = EMBED Equation.DSMT4 ( v(t+(t) = v(t) + a . (t ou vn+1 = vn + an . (t
v = EMBED Equation.DSMT4 ( x(t+(t) = x(t) + v . (t ou xn+1 = xn + vn . (t
Donc : v8 = v7 + a7 . (t avec (t = 0,01 s
v8 = 0,20 + 4,0 ( 0,01 = 0,16 m.s-1
x8 = x7 + v7 . (t
x8 = 0,008 0,20 ( 0,01 = 0,006 m
III.2. d -
courbe x(t) :
III.2. e. Les deux régimes possibles d'un oscillateur sont :
- le régime pseudo-périodique : il y a des oscillations avec amortissement, x change de signe avant de sannuler ; lamplitude Xmax diminue à chaque oscillation et la pseudo-période est proche de la période propre si lamortissement nest pas trop grand.
- le régime apériodique : il ny a pas doscillations, x tend vers 0 sans changer de signe.
La courbe obtenue ne permet pas de savoir si il y a des oscillations, il faudrait poursuivre la méthode dEuler sur une durée plus longue.
On ne peut pas savoir dans quel régime se trouve loscillateur.
0,03
0,02
0,08
0,05
x
x
G
EMBED Equation.DSMT4
Schéma 3
O
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
x
EMBED Equation.DSMT4
Schéma 3
O
G
x
0,04
0,06
0,07
0,01
0,002
0,010
0,004
0,006
0,008
0,012
0,014
0,016
0,018
0,030
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
t
O
x
(m)
(s)
Echelles : 1 cm pour t = 0,01 s et 1 cm pour x = 0,002 m.
