Td corrigé collège nazareth bb1-2007-mathématiques pdf

collège nazareth bb1-2007-mathématiques

On veillera à bien numéroter les exercices. ... Dans un petit chalet de montagne, un berger aménage l'espace existant .... A l'aide de l'algorithme d'Euclide :




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t C et donner les résultats sous la forme de fraction irréductible.
Exercice 2 :(/4)
On pose : D = 4 EMBED Equation.3 ² – 25 + (2 EMBED Equation.3 + 5) (7 – 3 EMBED Equation.3 ). 1. Développer et réduire D. 2. a) Factoriser 4 EMBED Equation.3 ² – 25. b) En déduire une factorisation de D.
3. Résoudre l’équation : (2 EMBED Equation.3 + 5) (2 – EMBED Equation.3 ) = 0
Exercice 3 :(/1) Répondre sur votre copie par A, B ou C à chaque item.
Barême : 0,5 point par item juste ; 0 point si pas de réponse ; -0,25 par item faux.
ABCItem 1 : 2 (3 EMBED Equation.3 – 4)² est égal à:(6 EMBED Equation.3 – 8)²(6 EMBED Equation.3 – 4)²18 EMBED Equation.3 ² – 48 EMBED Equation.3 +32Item 2 :  EMBED Equation.3  est égal à : eq \s\do1(\f( EMBED Equation.3 ²;4 )) + 2 EMBED Equation.3 + 1 eq \s\do1(\f( EMBED Equation.3 ²;2)) +  EMBED Equation.3  +1 eq \s\do1(\f( EMBED Equation.3 ²;4 )) +  EMBED Equation.3 + 1

Exercice 4 : (/3)
Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible. a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur. b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Partie II : Activités géométriques (12 points)
Exercice I :(/4)
Sur la figure ci-contre (la figure n’est pas faite aux bonnes dimensions), les droites (EF) et (AB) sont parallèles. Les dimensions, exprimées en cm, sont : EF = 16, FO = 14, OE = 12, OB = 21 et AB = 24.
Calculer OA.
Soit C un point du segment [OB] et D un point du segment [AB] tels que OC = 14cm et DB = 8cm. Les droites (CD) et (OA) sont-elles parallèles ? Justifier.
 EMBED Chamois.Document Exercice II :(/5)
L’unité de longueur est le mètre. La figure n’est pas à refaire.
Dans un petit chalet de montagne, un berger aménage l’espace existant sous son toit en y posant une étagère matérialisée sur notre schéma par le segment [ED]. Le segment [CB] représente le plancher et le segment [AB] représente le mur où est fixé l’étagère.Le berger mesure : AB = 1,80 m BC = 2,40 m AC = 3 m.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
Le berger pose l’étagère [ED] perpendiculaire au mur à 60 cm du sol. Quelle est la longueur de l’étagère [ED] ?



Exercice III :(/3)

ABCDEFGH est un cube.
Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE], [FB], [AD] et [BC].
JKNM est une section du cube par un plan parallèle à l’arête [AB].

1. Quelle est la nature de la section JKNM. Justifier.

2. La face FGCB a été dessinée en vraie grandeur ci-contre.
Après avoir placé les points K et N sur cette face, représenter, à l’aide du compas et de la figure dessinée, la section JKNM en vraie grandeur sur votre copie.

3. Quelle est la nature du solide AJMBKN ?
(Aucune justification n’est demandée).
 EMBED Chamois.Document 

Partie III : Problème (12 points)
Un sablier est constitué de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-contre. Le sable s’écoule au niveau du point S. La surface du sable est représentée par le plan A’B’C’D’ horizontal et parallèle aux bases des pyramides.
On suppose qu’au départ, le volume du sable occupe la totalité de la pyramide SABCD.
La pyramide SABCD est régulière, sa base est un carré ABCD, on rappelle que la hauteur (SO) est perpendiculaire au plan ABCD.

Le niveau du sable est repéré par la longueur SA’ sur l’arête de la pyramide SABCD.
On donne : OA = 27 mm et SO = 120 mm. Partie I :
a) Justifier que le triangle OAB est un triangle rectangle et isocèle en O.
b) Calculer AB (donner une valeur arrondie au dixième près).
a) En considérant que la valeur exacte de AB est 27 EMBED Equation.3 mm, Calculer l’aire du carré ABCD.
b) En déduire que le volume V de la pyramide SABCD est 58 320 mm3.

Partie II:
Les résultats de la partie I peuvent être utilisés dans cette partie.
On considère que le point A’ est au milieu de [SA]. La pyramide SA’B’C’D’ est une réduction de la pyramide SABCD.
Quel est le coefficient de réduction k?
On note V’ le volume de la pyramide SA’B’C’D’.
Calculer V’.

On admet que le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s’écoule en
 4 minutes. Au bout de combien de temps le niveau de sable est-il dans la position étudiée ? Indication : on commencera par calculer le volume V’’ occupée par le sable dans la pyramide du bas.


COLLÈGE NAZARETH BB1-2007-MATHÉMATIQUES
CORRECTION
Partie I : Activités numériques (12 points)
Exercice 1 : (/4)
1) A =  eq \s\do1(\f(16 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h (10-5)² SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 30 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 108;24 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10-4))
 A =  eq \s\do1(\f(2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h8SYMBOL 180 \f "Symbol"\h3SYMBOL 180 \f "Symbol"\h10;3SYMBOL 180 \f "Symbol"\h8)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(10-5SYMBOL 180 \f "Symbol"\h2 + 8;10-4 ))
A = 20 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10-2 + 4
A= 20SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 10²
A = 2000 A= 2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h103 notation scientifique
2) a) L’expression qui permet de calculer la part du troisième enfant est :  EMBED Equation.3  ( B de la question b)b) B =  EMBED Equation.3  B =  eq \b( eq \s\do1(\f(12 – 4 – 3;12))) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(2;5)) B =  eq \s\do1(\f(5;12)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(2;5)) B =  eq \s\do1(\f(1;6)) C =  EMBED Equation.3  C = 1 –  eq \b( eq \s\do1(\f(4+3;12))) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h eq \s\do1(\f(5;2)) C = 1 –  eq \s\do1(\f(7;12)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \s\do1(\f(5;2)) C =  eq \s\do1(\f(24 – 35;24)) soit C = –  eq \s\do1(\f(11;24))Exercice 2 :(/4)
1.Développer D :
D = 4 EMBED Equation.3 ² – 25 + (2 EMBED Equation.3 + 5) ( 7–3 EMBED Equation.3 ).
D = 4 EMBED Equation.3 ² – 25 + 14 EMBED Equation.3  – 6 EMBED Equation.3 ² + 35– 15 EMBED Equation.3  E = –2 EMBED Equation.3 ² – EMBED Equation.3  + 102.Factoriser . a) 4 EMBED Equation.3 ² – 25 = (2 EMBED Equation.3 )² – 5² a² – b²
4 EMBED Equation.3 ² – 25 = (2 EMBED Equation.3  – 5) (2 EMBED Equation.3  + 5)
b) D = (2 EMBED Equation.3  – 5) (2 EMBED Equation.3  +5) + (2 EMBED Equation.3 + 5) ( 7–3 EMBED Equation.3 ).
D = (2 EMBED Equation.3  +5) (2 EMBED Equation.3  – 5) + 7–3 EMBED Equation.3 ) D = (2 EMBED Equation.3  + 5) (2 –  EMBED Equation.3 )3.l’équation (2 EMBED Equation.3  + 5) (2 –  EMBED Equation.3 ) = 0 est de la forme ASYMBOL 180 \f "Symbol"\hB=0, ce qui revient à résoudre A=0 ou B=0, soit : 2 EMBED Equation.3  + 5 = 0 ou 2 –  EMBED Equation.3  = 0 2 EMBED Equation.3 = – 5 ou – EMBED Equation.3 = – 2  EMBED Equation.3 = –  eq \s\do1(\f(5;2)) ou  EMBED Equation.3 = 2 L’équation admet deux solutions –  eq \s\do1(\f(5;2)) et 2
Exercice 3 :(/1)Item 1 : 2 (3 EMBED Equation.3 – 4)² est égal à:C :18 EMBED Equation.3 ² – 48 EMBED Equation.3 +32Item 2 :  EMBED Equation.3  est égal à :C :  eq \s\do1(\f( EMBED Equation.3 ²;4 )) + EMBED Equation.3 + 1Exercice 4 : (/3)
A l’aide de l’algorithme d’Euclide : 210 = 135 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 + 75 135 = 75 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 + 60 75 = 60 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 1 + 15 60 = 15SYMBOL 180 \f "Symbol"\h4 + 0 donc PGCD (210 ;135) = 15
a) Pour recouvrir le mur avec un nombre entier de carreaux de de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible, la longueur d’un carreau représente le PGCD de 210 et 135 soit 15 cm.
b. Dans la longueur on pourra mettre 210 :15 soit 14 carreaux. Dans la largeur on pourra mettre 135 :15 soit 9 carreaux. Sur l’ensemble du mur il y aura donc 14 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 9 soit 126 carreaux.
Partie II : Activités géométriques (12 points)
Exercice I :(/4)
On considère les triangles OEF et OAB, -F SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (OB) -E SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (OA) -(EF)//(AB) D’après le théorème de Thalès on peut écrire :  eq \s\do1(\f(OF;OB)) =  eq \s\do1(\f(OE;OA)) =  eq \s\do1(\f(EF;AB)) soit  eq \s\do1(\f(14;21)) =  eq \s\do1(\f(12;0A)) donc OA =  eq \s\do1(\f(21SYMBOL 180 \f "Symbol"\h12;14)) soit OA = 18 cm.
(Les points B,C,O sont alignés dans le même ordre que les points B,D,A. (On calcule les rapports :  eq \s\do1(\f(BC;BO)) =  eq \s\do1(\f(21–14;21)) = eq \s\do1(\f(7;21)) = eq \s\do1(\f(1;3))  eq \s\do1(\f(BD;BA)) =  eq \s\do1(\f(8;24)) =  eq \s\do1(\f(1;3))
On en conclut d’après la réciproque du théorème de Thalès que les droites (CD) et (OA) sont parallèles.

Exercice II :(/5)
Dans le triangle ABC, [AC] est le côté le plus long et : AC² = 3²= 9 et AB²+BC²= 1,8²+2,4²= 9 donc AC² = AB²+BC² La réciproque du théorème de Pythagore nous permet de conclure que le triangle ABC est rectangle en B.
( Le triangle ABC est rectangle en B donc : (AB)SYMBOL 94 \f "Symbol"\h(BC) l’étagère [ED] est posé perpendiculaire au mur [AB]. Les droites (ED) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à (AB) donc elles sont parallèles. ( On considère les triangles ABC et ADE, -E SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (AC) -D SYMBOL 206 \f "Symbol"\h (AB) -(ED)//(BC) Donc d’après le théorème de Thalès :  eq \s\do1(\f(AD;AB)) =  eq \s\do1(\f(ED;CB)) or AD = AB – DB = 1,8 – 0,6 = 1,2 d’où :  eq \s\do1(\f(1,2;1,8 ))=  eq \s\do1(\f(ED;2,4)) donc ED =  eq \s\do1(\f(1,2SYMBOL 180 \f "Symbol"\h2,4;1,8)) soit ED = 1,6. L’étagère [ED] mesure 1,6 m.
Exercice III :(/3)
1. La section d’un cube par un plan parallèle à une arête, ici [AB], est un rectangle donc la section JKNM est un rectangle.

2.
 EMBED Chamois.Document 
3. Le solide AJMBKN est un prisme droit de bases AJM et BKN et de hauteur AB
Partie III : Problème (12 points)
Partie I :
1)a)ABCD est un carré de centre O donc : (ses diagonales [BD] et [AC] sont de même longueur et se coupent en leur milieu O donc : OA=OB (ses diagonales sont perpendiculaires donc :(OA)SYMBOL 94 \f "Symbol"\h(OB) Le triangle OAB est donc un triangle rectangle et isocèle en O.
b) Le triangle OAB est rectangle en O donc d’après le théorème de Pythagore :
AB²=OA²+OB² AB²=27²+27² AB²= 1458 AB =  eq \r(1458) d’où AB ( 38,2 mm. 2) a) A(ABCD) = AB² A(ABCD) =  eq \b(27 eq \r(2))² A(ABCD) = 27²SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 2 A(ABCD) = 1458 mm².
b) V =  eq \s\do1(\f(A(ABCD) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h SO;3))
V =  eq \s\do1(\f(1458SYMBOL 180 \f "Symbol"\h120;3))
V = 58 320 mm3. Partie II:
1) K =  eq \s\do1(\f(SA’;SA)) =  eq \s\do1(\f(1;2)) car A’ est au milieu de [SA].
2)V’= VSYMBOL 180 \f "Symbol"\hk3 V’=58320 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  eq \b( eq \s\do1(\f(1;2)))3
V’ = 7 290 mm3
3)Le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable soit 58 320 mm3 s’écoule en 4 minutes. Le volume de sable écoulée (position étudiée) V’’ correspond à :
V’’ = V – V’
V’’ = 58 320 – 7 290
V’’ = 51 030 mm3
Le temps correspondant est donc  eq \s\do1(\f(51030SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 4;58320)) soit 3,5minutes ou 3min 30sec. 


4/4

2/3

Donc  eq \s\do1(\f(BC;BO)) =  eq \s\do1(\f(BD;BA))



4/4

3/4









3/3

2/4


1/3


1/4


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