exercices resolus - Exercices corriges
En A, à la surface "dite" libre règne la pression atmosphérique. .... A l'équilibre, il
n'y a plus d'écoulement, donc à un même niveau, les pressions seront égales.
part of the document
sion vaut 0 si l'on travaille en pression effective.
Dès lors, pA = po + EMBED Equation.3 ZA pB = po + EMBED Equation.3 ZB
Or ZA = 5 - 2 - 2 cos 45° = 1,586m ZB = 5 - 2= 3 m po = 0
Donc pA = 1,586104 N/m² pB = 3 104 N/m²
La distribution des pressions sur la vanne AB est linéaire entre A et B (cf. l'équation fondamentale de l'hydrostatique).
On obtient ainsi un diagramme de pressions élémentaires trapézoïdal, tracé perpendiculairement à la surface de la vanne ( les pressions élémentaires s'exercent toujours perpendiculairement à l'élément de surface sur lequel elle s'appliquent).
EMBED Word.Picture.8
Pour déterminer l'effort F à appliquer en A pour réaliser l'équilibre de la vanne, il suffit d'écrire l'équilibre des moments par rapport au point B (on élimine ainsi la réaction en B).
Pour plus de facilité, on remplace d'abord le diagramme des pressions élémentaires par sa résultante R, appliquée en C.
EMBED Word.Picture.8 où "l" est la largeur de la vanne AB
EMBED Word.Picture.8
fournit le point d'application de la résultante par rapport à la grande base du trapèze (c.-à-d. B).
NB. : ceci correspond à déterminer le centre de gravité du trapèze.
Numériquement, on trouve : R = 45858 N.
D = 0,897 m.
L'équilibre des moments par rapport à B donne : R. Dð - F . ÀABÀ = 0
D'où EMBED Word.Picture.8 c-à-d 20,572 kN
Exercice n°2
La cloison AB séparant les deux réservoirs, représentés sur la figure 11 est fixée en A.
Sa largeur est de 1,2 m.
Le manomètre indique -1,5 N/cm² (pression effective).
On demande de déterminer la force horizontale à appliquer en B pour que la cloison soit en équilibre.
On donne :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
ha = 4,50 m
he = 1,50m
hh = 2 m
EMBED Word.Picture.8
Solution
Pour trouver l'effort à appliquer en B pour que la cloison AB soit en équilibre, il faut tout d'abord déterminer les diagrammes de pression agissant sur la cloison, de part et d'autre de celle-ci.
Les pressions seront perpendiculaires à la cloison verticale c.-à-d. horizontales.
A droite de la cloison, se trouve de l'huile à l'air libre.
Le diagramme des pressions effectives élémentaires est donc triangulaire.
EMBED Word.Picture.8
P1 = PA + dhuile Z1
Or PA = 0 (pression atmosphérique)
EMBED Word.Picture.8
D'où P1 = 15.10³ N/m²
A gauche de la cloison, on connaît la pression régnant dans l'air.
Celle-ci vaut : P2 = - 1,5 N/cm² (pression effective (ou relative)) c-à-d P2 = - 15.103³ N/m²
A partir de celle-ci, on peut déterminer les pressions en tout point des liquides se trouvant à gauche de la cloison par la relation fondamentale de l'hydrostatique.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Il reste à calculer l'équilibre des moments par rapport à A de toutes les pressions élémentaires s'appliquant à la cloison, et de l'effort F inconnu.
De nouveau, on remplacera d'abord les diagrammes de pressions par des résultantes et leur point d'application par rapport à A.
- à droite :
- EMBED Word.Picture.8
- EMBED Word.Picture.8
- à gauche :
EMBED Word.Picture.8 EMBED Equation.3 EMBED Word.Picture.8
=0,259 m
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
L'équation des moments par rapport à A s'écrit :
F ÀABÀ + Rhuile .huile = Ralcool alcool + Reau . eau
On en déduit que F = 23,2347 kN, dirigée de la droite vers la gauche.
Exercice n°3
Un flotteur prismatique de poids P et de superficie S flotte dans un liquide de poids dð1. L'enfoncement du flotteur vaut z.
On ajoute un liquide non-miscible de poids spécifique d2.
Déterminer le nouvel enfoncement y en fonction de z.
EMBED Word.Picture.8
Solution :
Au premier stade, le flotteur est en équilibre dans le liquide de poids volumique d1.
On peut donc écrire l'équilibre des forces verticales en présence ; à savoir le poids P du flotteur, et la poussée d'Archimède qu'il subit.
Dès lors P = A = dð1 . S . Z (1)
Au second stade, le flotteur "flotte entre 2 eaux" et est en équilibre stable à la position précisée dans l'énoncé.
L'équilibre des forces verticales nous donne :
P = A = A1 + A2 = d2 . S (a - y) + d1 S y (2)
La poussée d'Archimède est composée de 2 termes, un pour chaque liquide.
En éliminant P entre (1) et (2), on obtient : EMBED Equation.3
On constate que le nouvel enfoncement "y" n'est pas fonction de la hauteur H de liquide "2" rajouté !
Ceci provient de la forme de l'équation fondamentale de l'hydrostatique!
En effet, toute différence de pression n'est due qu'à une différence de niveau entre les points considérés.
Remarque : le même résultat peut être obtenu en explicitant les diagrammes de pressions élémentaires agissant sur le flotteur, et en écrivant l'équilibre vertical des résultantes hydrostatiques et du poids.
On obtient :
EMBED Word.Picture.8
L'équilibre horizontal est réalisé par symétrie.
L'équilibre vertical conduit à :
P + d2 (H - (a - y))S = (d2 H + d1y ) S
On peut donc constater que la poussée d'Archimède correspond bien à une résultante des composantes verticales de pression.
Exercice n° 4
La vanne d'un déversoir d'un barrage mobile a les dimensions suivantes :
largeur : 2,5 m
hauteur (mesurée verticalement) : "a" m
Elle est inclinée de 30° sur la verticale.
Elle est en outre mobile autour d'un axe horizontal situé en A à une distance x(m) de l'extrémité supérieure de la vanne.
On demande :
1. de calculer la valeur à donner à x pour que le déversoir bascule quand le niveau de l'eau dépasse la crête de h(m),quel est à ce moment l'effort sur l'axe ?
2. de calculer l'effort E quand x = 1,5 m.
Données numériques :
a = 2,75 m
h = 1,50 m
EMBED Word.Picture.8
Solution
La vanne constituée d'un plan est articulée autour de l'axe de rotation situé en A, et s'appuie sur la butée E.
En se plaçant dans la peau du concepteur, il s'agit ici de déterminer la position de cet axe pour que la vanne bascule quand le niveau d'eau arrive à la cote (h + a).
Déterminons le diagramme des pressions élémentaires.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
La résultante totale vaut :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
et son point d'application est situé par rapport à E à :
EMBED Word.Picture.8
Pour que le déversoir bascule, il suffit que le point d'application de la résultante soit situé au-dessus de l'axe de rotation, c-à-d.:
EMBED Word.Picture.8
Donc, il faudra
EMBED Word.Picture.8
x >1,840 m
L'effort en E quand x = 1,50 m (c.-à-d. que la vanne ne bascule pas) se trouve par équilibre de la vanne.
Equation des moments par rapport à A : R ( EMBED Word.Picture.8 - d) = RE. EMBED Word.Picture.8 .
! EMBED Word.Picture.8
Exercice n°5
Un ascenseur hydraulique est constitué de 2 sas mobiles parallèles identiques de section S, supportés en leur centre par des pistons plongeurs de section W pénétrant dans des cylindres de presses remplis d'eau glycérinée ((eau glyc. = (eau = 1000 kg/m³).
Les 2 sas contiennent la même quantité d'eau de poids Q et des bateaux de section s dont les poids sont respectivement P1 et P2.
1.-A l'équilibre, quelle serait la distance Y entre les extrémités inférieures des pistons ?
2.- Toujours à l'équilibre, quelle serait la différence de niveau Z entre les deux plans d'eau ?
EMBED Word.Picture.8
Solution
A l'équilibre, il n'y a plus d'écoulement, donc à un même niveau, les pressions seront égales.
Donc : PA = PB
Or si l'on pose : R = le poids du piston,
on obtient pour le piston de gauche : EMBED Word.Picture.8
et de même pour le piston de droite: EMBED Word.Picture.8
PA = PB, d'où : EMBED Word.Picture.8
Pour déterminer la différence de niveau entre ces plans d'eau, il faut tenir compte du fait que les sas étant de section de même ordre de grandeur que les bateaux, le volume occupé par les bateaux modifie de manière non négligeable la hauteur d'eau dans le sas.
(cfr le niveau d'eau dans votre baignoire quand vous entrez dans votre bain).
Deux raisonnements sont possibles.
1/Quand le bateau flotte, il y a équilibre entre la poussée d'Archimède et son poids.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
La surélévation "x" du niveau d'eau dans le sas, correspond au volume d'eau occupé par le bateau :
(S - s) x = s a
EMBED Word.Picture.8
Donc la variation de niveau entre les deux sas vaudra :
EMBED Word.Picture.8
Dès lors, la différence de niveau entre les plans d'eau sera donnée par :
EMBED Word.Picture.8 (la section des bateaux n'intervient pas).
2/ Pour déterminer x, le raisonnement suivant conduit au même résultat.
EMBED Word.Picture.8
La quantité d'eau Q dans les 2 sas est identique,
d'où EMBED Word.Picture.8
!S. h = s . e
Or, par différence entre les 2 équations d'équilibre des bateaux, on a : EMBED Word.Picture.8
Donc, en substituant, on obtient : EMBED Word.Picture.8
et dès lors EMBED Word.Picture.8
Exercice n° 6
Calculer la force de pression de l'eau sur la paroi de forme circulaire et déterminer sa direction pour H = 4 m (v = 10 kN/m³).
EMBED Word.Picture.8
Solution
Deux méthodes sont possibles :
a) soit on décompose les forces de pressions élémentaires en composantes horizontales et verticales, et on les recompose ensuite (cfr "forces de pression sur une surface gauche),
b) soit on intègre analytiquement les composantes verticales et horizontales sur la surface considérée.
a) Décomposition des composantes horizontales et verticales
Parfois, la surface gauche a une forme relativement simple.
Dès lors, il est aisé de calculer les résultantes des pressions horizontale et verticale.
En ce qui concerne la résultante horizontale, il faut projeter sur un plan vertical la surface AB considérée et déterminer les pressions sur cette projection A'B' (ou OB).
PB = EMBED Word.Picture.8 OB = EMBED Word.Picture.8 H
EMBED Word.Picture.8
En ce qui concerne la résultante verticale, elle correspond au poids de liquide situé en dessus de AB.
EMBED Word.Picture.8
La résultante totale vaut donc :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
Elle est inclinée d'un angle ± sur l'horizontale:
EMBED Word.Picture.8
Intégration séparée des pressions horizontales et verticales
Il est nécessaire de décomposer les pressions selon leurs composantes horizontales et verticales avant de sommer. En effet, on ne peut additionner algébriquement des vecteurs de direction différente, ce qui est le cas quand la surface est gauche.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8 et EMBED Word.Picture.8
p = v H sin ¸
d ©= H d ¸
d©x = H cos¸ . d¸ (verticale) d©y = H sin¸ . d ¸ (horizontale)
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Les résultantes obtenues sont bien identiques à celles obtenues dans la première méthode.
Exercice n° 7
Une vanne cylindrique, creuse et imperméable, de L=10 m de longueur et de R=2m de rayon, appuyée sur une base AB sépare deux biefs. La vanne est appuyée par les extrémités de son axe à deux piles et leur transmet un effort horizontal dont on désire connaître la valeur.
Déterminer aussi le poids minimum de la vanne, de façon à ce qu'elle ne soit pas soulevée par la poussée hydrostatique dans les conditions indiquées. On admet que le déplacement est possible et que le frottement correspondant est négligeable.
EMBED Word.Picture.8
Solution
Pour déterminer l'effort horizontal transmis aux piles, il suffit d'écrire l'équilibre horizontal des forces en présence.
Dans le bief de gauche, toutes les composantes horizontales des pressions sont dirigées vers la droite.
La section AE projetée sur un plan vertical devient la section A'E',
ÀAEÀ = 2 R sin 60°
EMBED Equation.3
Donc la résultante vaut :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8 .L
Fg = 1.500 EMBED Equation.3 R2 L.
Dans le bief de droite, les composantes horizontales agissant sur la section EMBED Word.Picture.8 sont dirigées vers la gauche, alors que celle agissant sur EMBED Equation.3 sont dirigées vers la droite!
Il faudra donc distinguer les 2 cas.
En projetant les sections DC et AC sur un plan vertical, on obtient respectivement les sections D'C' et C'F'.
On notera directement que les pressions horizontales s'exerçant sur C'F' sont égales et de sens opposé. Elles s'équilibrent donc.
Dès lors, on ne tiendra compte que des pressions agissant sur D'F'.
EMBED Equation.3
EMBED Word.Picture.8
d'où Fd = 0,375 EMBED Equation.3 .R² L
L'effet horizontal transmis aux piles sera dirigé de la gauche vers la droite et vaut:
E = Fg - Fd = 1,125 EMBED Word.Picture.8 .R² L
soit, pour R = 2 m et L = 10 m, E = 450 kN
Pour déterminer le poids minimum de la vanne, il faut écrire l'équilibre vertical des efforts à savoir le poids de la vanne et la poussée hydrostatique.
La poussée hydrostatique verticale se déduit par la poussée d'Archimède.
Le volume de fluide occupé par la vanne est hachuré ci dessous.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Donc pour ne pas que la vanne se soulève, il faudrait:
P > A donc 1,877 EMBED Word.Picture.8 R² L
Soit pour R = 2 m, L = 10 m, P > 751 kN
Le même résultat peut être obtenu en explicitant les expressions des composantes verticales de pression sur la surface immergée de la vanne, et en faisant la somme par intégration.
Remarque : par analogie avec l'exercice n°6,on peut intuitivement considérer la poussée d'Archimède comme étant un poids "négatif" de fluide qui se serait situé au-dessus de la surface considérée en l'absence de paroi.
Exercice n°8
Dans un réservoir hémisphérique de rayon R = 1 m, contenant un certain volume d'eau de poids P1 = 15 kN, flotte une sphère de rayon r = 0,5 m.
Quel doit être le poids P dans cette sphère pour qu'elle flotte de manière concentrique avec le réservoir ?
EMBED Word.Picture.8
Le volume d'une calotte sphérique est donné par : VABC = p h 2 (r - h/3)
EMBED Word.Picture.8 r
Solution
Pour calculer les volumes immergés et de fluide, il est nécessaire d'introduire 2 nouvelles inconnues "x" et "t" (cfr fig. 27.).
EMBED Word.Picture.8
En plus du poids, il y a donc 3 inconnues.
Or, il existe une condition géométrique de "concentrage" de la bille et du réservoir.
Elle s'exprime par : R = r - t + x
c-à-d X = R - r + t (1)
De plus, le volume d'eau dans le réservoir pèse 15 kN.
Donc EMBED Word.Picture.8 Veau = 15 kN avec Veau = V2 - V1 (2)
Enfin une condition de "flottaison" (équilibre vertical des efforts) s'écrit :
P = Arch. = EMBED Word.Picture.8 . V1 (3)
Nous disposons donc de 3 équations pour 3 inconnues.
Le volume d'eau Veau = V2 - V1
Veau = p[ x2 (R - x/3) - t2 (r - t/3) ]
En éliminant "x" par la relation (1) et en remplaçant R et r par les valeurs numériques, on obtient : Veau = p (0,75 t + 0,20833...)
Par la relation (2), on détermine aisément la valeur de "t", t = 0,359 m
La relation (3) nous permet de déduire : V1 = 0,153879 m³
et donc le poids P de la bille : P =1,539 kN
Exercice n°9
Un caisson flottant fait office de quai dans une rivière. Il est relié à la terre par une passerelle pouvant supporter le passage de camions.
L'effort transmis par la passerelle est appliqué au centre du caisson et vaut Pp (240 kN/m)
(N.B. : l'effort est supposé réparti).
Le poids volumique de l'eau de la rivière vaut 10 kN/m3.
Le poids propre du caisson est de Pc (200 kN/m).
La hauteur totale du caisson est de 6 m, mais pour des raisons de travail et de stabilité, la hauteur immergée doit être comprise entre 3,5 et 5 m.
Pour ce faire, on se sert de ballasts compris dans le caisson(dans lesquels règne la pression atmosphérique).
1. Quelle est la surcharge maximale admissible Ps (en kN/m) sur la passerelle,
2.Quelle doit être la hauteur d'eau minimum dans les ballasts lorsqu'il n'y a pas de surcharge ?
3.Dans le cas d'une fuite au ballast droit (dans le cas sans surcharge), que vaudrait le moment de renversement subi parle caisson ?
EMBED Word.Picture.8
Solution
L'équation d'équilibre vertical traduisant la flottaison de caisson se déduit des efforts d'Archimède.
Elle s'écrit : EMBED Word.Picture.8
1/ .La charge maximale admissible correspondra à l'enfoncement maximal admis, à savoir: E = 5 m
Dans ce cas, les ballasts seront vidés pour que la poussée d'Archimède équilibrant les charges soit maximale, donc H = 0.
Dès lors, on a : Pc + Pp + Ps max = EMBED Word.Picture.8 (15 . E) - 2 . EMBED Word.Picture.8 . (3 . 0)
c-à-d. 200 kN/m + 240 kN/m + Ps = 750 kN/m
donc Ps max = 310 kN/m
2/ La charge minimale admissible correspondra à l'enfoncement minimal,
c-à-d. E = 3,50 m et à Ps = 0
Les ballasts seront remplis d'une hauteur H d'eau nécessaire pour garantir l'enfoncement requis.
Pc + Pp = EMBED Word.Picture.8 (15 . 3,5) - 2 . EMBED Word.Picture.8 (3 . H)
200 kN/m + 240 kN/m = 525 kN/m - 60 H
donc H = 1,42 m
3/.Dans le cas où une fuite se produisait dans le ballast droit, celui-ci se remplirait complètement et le volume supplémentaire créera un mouvement de renversement.
Les autres efforts sont tous soit axiaux, soit symétriques.
EMBED Word.Picture.8
F = EMBED Equation.3 . 3 m . (3m- 1,42 m) = 47,4 kN/m
Dð = 7,50 m - 1,50m = 6,00 m
Donc : M = 284,5 kNm/m, dans le sens horlogique.
Exercice n° 10
Un barreau cylindrique en acier (longueur L = 20 cm, diamètre = 8 cm) flotte dans un bain de mercure
(dð ð = 136 kN/m³).
On remplit ensuite avec de l'eau qui vient affleurer le bord supérieur du barreau cylindrique (dðeau =10 N/m³).
1) Quelle force faut-il appliquer pour maintenir le barreau dans cette position ?
2) Quelle est l'émersion maximale du barreau quand la force cesse d'agir ?
3)Quelle relation doit exister entre les divers poids spécifiques si l'on exige que le barreau ne peut pas quitter le bain de mercure lors de l'émersion ?
dða = poids spécifique acier = 78 kN/m3
4)La position initiale du barreau correspond-elle à un équilibre stable ou instable ?
EMBED Word.Picture.8
Wcyl. =p 8²/4 = 50,26 10 -4 m²
Wrés. = p 30²/4 = 706,86 10 -4 m²
1 + Wcyl./ (Wrés. - Wcyl. ) = 1,07655
1/.Dans la phase d'équilibre initiale, le barreau flotte dans le mercure.
Dès lors, son poids est équilibré par la poussée d'Archimède.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8 (1)
Après avoir rempli la hauteur restante avec de l'eau, l'équilibre est assuré par la force F appliquée à la surface supérieure du barreau cylindrique.
EMBED Word.Picture.8
Dès lors: F + Pbarreau = Arch.eau + Arch.mercure
soit : F = Wcyl. (l - t) ´eau + Wcyl. t ´m - Wcyl. l ´a
Or t ´m = l ´a (cfr (1))
Donc F = Wcyl. ´eau (l - t) (2)
On trouve F = 4,287 N
2/ Si la force sur la face supérieure cesse d'agir, l'équilibre est rompu.
Le barreau cylindrique va remonter sous l'effet de la poussée d'Archimède.
Cependant, en remontant, il laisse un vide qui se comble ensuite et dont résulte un abaissement de l'interface "eau-mercure" noté "u" et de la surface libre, qui ne peut être négligé ici vu les faibles dimensions du réservoir!
La poussée d'Archimède subie par le barreau fluctue donc et devra être exprimée en fonction de l'élévation "x" par rapport à sa position initiale.
EMBED Word.Picture.8
Par continuité, le volume laissé libre par l'élévation "x" correspond à une diminution "u" du niveau de l'interface et de la surface libre (en supposant que le barreau reste immergé en partie dans le mercure).
Donc x . ©cyl. = u (©rés. - ©cyl.) (3)
D'autre part t = x + y + u
et donc y = t - x - u
Par la relation (3), on peut écrire :
EMBED Word.Picture.8
La force ascensionnelle s'exerçant sur le barreau cylindrique correspond à la poussée d'Archimède moins son poids.
Fascens. = Arch.- Poids
Donc : F(x) = ©cyl . y dðm + ©c (l - t) dðe - ©cyl . l . dða (5)
Or EMBED Equation.3
D'où
EMBED Word.Picture.8
En remplaçant y et t en fonction de x par les relations (1)et (4), on obtient :
EMBED Word.Picture.8 x
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Posons : F(x)= - ax + b
où : EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8
La position maximale atteinte par le barreau peut se déduire grâce au théorème de l'impulsion qui traduit l'équivalence entre l'impulsion et la variation d'énergie cinétique.
EMBED Word.Picture.8
c.-à-d. EMBED Word.Picture.8
ou encore :
EMBED Word.Picture.8
Il reste donc : EMBED Word.Picture.8
c-à-d. : EMBED Word.Picture.8
On obtient dès lors par intégration l'équation suivante dont la résolution nous permettra de trouver xmax.
EMBED Word.Picture.8 (8)
Deux solutions sont possibles :
xmax = 0, ce qui correspond à la position initiale et
EMBED Word.Picture.8
L'émersion maximale, c.-à-d. la différence de niveau entre la face supérieure du barreau et la surface libre de l'eau, se calcule aisément par :
EMBED Word.Picture.8
Pour que le barreau ne quitte pas le bain de mercure lors de l'émersion, il faut imposer la condition suivante : y > 0
Donc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Il faut donc EMBED Equation.3
Pour que xmax < 0,1065 (ce qui était bien le cas ici), il faut donc :
EMBED Equation.3
et on obtient ainsi la relation devant exister entre les deux poids volumiques :
L'équilibre est instable. En effet, bien que le centre de poussée de la force d'Archimède dans le plan initial et le centre de gravité du barreau soient alignés sur une même verticale, le centre de gravité est situé plus haut que le centre de poussée (centre de gravité du liquide déplacé),puisque le barreau cylindrique est supposé homogène.
Exercice n° 11
On constitue un manomètre sensible au moyen d'une cloche cylindrique d'axe vertical de rayon R = 100 mm et d'épaisseur e = 1 mm munie d'un contrepoids et dont la partie inférieure, ouverte, plonge dans l'eau et emprisonne un gaz dont on veut mesurer la pression p.
Calculer le déplacement vertical de la cloche lorsque la pression du gaz augmente de 1 mm d'eau.
EMBED Word.Picture.8
Solution
La cloche est en équilibre vertical sous l'action :
- du poids de la cloche et son contrepoids P - C
- des forces de pression due au gaz emprisonné Fg
- des forces de pression hydrostatiques sur la couronne inférieure Fh
En calculant la pression à la base de la cloche au point A, on déduit Fh càd la force totale hydrostatique verticale. La force verticale du eau gaz emprisonné est le produit de la pression du gaz et de la section intérieure de la cloche.
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
Donc, par équilibre : EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
En dérivant :
EMBED Word.Picture.8
Donc :
EMBED Word.Picture.8
Si e/2 est négligeable par rapport à R :
EMBED Word.Picture.8
(N.B. : le rapport EMBED Equation.3 joue le rôle d'amplificateur et détermine la sensibilité du manomètre.)
D'où si EMBED Equation.3 =1mm d'eau , alors dZ = EMBED Equation.3 mm
Exercice n° 12
Dans une presse hydraulique, une tige filetée de diamètre d = 3,5 cm et de pas h = 1 cm est vissée à l'aide d'une roue de rayon a = 15 cm à travers un bourrage étanche dans un cylindre dont le diamètre intérieur est D = 25 cm et la hauteur H = 20 cm. Le cylindre est rempli avec de l'eau. Sous l'effet d'une augmentation de pression d'une unité, l'eau se comprime de 1/e de son volume (e = 2,13 x 108 kg/²).
1/ Quelle est la pression exercée par l'eau, si la tige a fait n = 10 tours.
2/ A quelle poussée Q est soumis le fond de la presse.
3/ Quelle force P faut-il appliquer à la circonférence de la roue ?
EMBED Word.Picture.8
Solution
EMBED Equation.3 est la relation principale concernant les fluides compressibles.
Toute variation relative de volume engendre une variation de pression fonction du coefficient de compressibilité du fluide EMBED Word.Picture.8
Dans ce cas, le volume initial occupé par le fluide correspond à celui de l'enceinte :
EMBED Word.Picture.8
1/ La variation du volume laissé au fluide est produite par l'introduction de la tige filetée de section EMBED Equation.3 sur une profondeur de 10 fois le pas de la vis.
Donc : EMBED Word.Picture.8
Dès lors :
EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8
= 2,0874 106kgf/m² = 208,74 kgf/cm²
P = 204,77 105 Pa
La pression est constante dans toute l'enceinte, et vaut 204,77 bars de plus que la pression initiale (= 0 (pression relative)).
2/ La poussée "Q" sur le fond de la presse vaudra donc cette pression appliquée sur la surface EMBED Word.Picture.8
Donc : EMBED Word.Picture.8
Q = 1005,16 kN soit environ 100 tonnes !
3/ Pour déterminer la force P à appliquer sur la roue, il suffit d'exprimer et d'égaler le travail moteur et le travail résistant.
EMBED Word.Picture.8
Lorsque l'on tourne la roue d'un angle d¸, on effectue un travail élémentaire moteur:
dÄm = P . a . d¸
Le travail résistant élémentaire est fonction de la pression régnant dans l'enceinte à ce moment.
Or EMBED Word.Picture.8
où y est l'enfoncement de la tige dans l'enceinte.
Dès lors : EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
donc : EMBED Word.Picture.8 = K y dy avec K = 197,0156 kN/m
En égalant les travaux moteur et résistants :
EMBED Word.Picture.8 = P a d q = K y dy = EMBED Word.Picture.8
Or : EMBED Word.Picture.8
Donc : EMBED Word.Picture.8
P(y) = 2,0904 kN/m . y
A la fin des 10 tours, l'enfoncement "y" vaut 10 cm.
L'effort final P à fournir est donc de 209,04 N.
On notera que cet effort augmente linéairement avec l'enfoncement de la tige.
Exercice n° 13
Pour effectuer des essais de traction, on utilise un vérin dont le piston a un diamètre de 105 mm et actionne une tige de diamètre 55 mm.
La pompe qui commande ce vérin a un piston de diamètre 18mm mû par un levier dont les distances au point fixe ont pour valeurs 0,1 et 1 mètre.
Calculer, pour un effort de traction de 105 newtons, la pression p dans le circuit hydraulique et l'effort F à l'extrémité du levier de commande de la pompe.
Quel déplacement x donne-t-on à la pièce en essai lorsque l'on abaisse cette extrémité de 0,1 m ?
EMBED Word.Picture.8
Solution
Admettons que la pression au-dessus du piston est proche de la pression atmosphérique.
L'équilibre vertical des efforts sur le piston s'écrit :
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
d'où p = 159,5 105 Pa
Pour le levier de la pompe, l'effort à fournir correspond à vaincre la pression s'exerçant sur la base du piston de la pompe.
f = p s = 159,5 105 Pa . EMBED Word.Picture.8 (0,018)2 = 4058,8 N
Donc l'effort F à exercer au bout du levier sera dans le rapport des bras du levier.
f . 0,1 m = F. 1m
donc F = 405,88 N
Si l'on abaisse le levier de 10 cm, le piston du vérin se déplacera d'une distance "x" que l'on peut déterminer:
- soit par conservation du travail,
- soit par conservation du volume.
La conservation du travail, en l'absence de pertes, s'écrit: F . 0,10 m = x . 105 N
Donc
EMBED Word.Picture.8
La conservation du volume du fluide s'écrit:
volume déplacé par le piston de la pompe = EMBED Equation.3
volume déplacé par le piston du vérin = EMBED Equation.3
En égalant ces 2 volumes, on trouve: x = 0,405 mm
Statique des fluides : exercices résolus
Notes rédigées par le L.H.M. service du Professeur A. LEJEUNE et corrigées en décembre 1999 I. 2..
