Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques - Session ...
CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. Corrigé
fourni par l'académie de Rennes. Session 2004. EXERCICE 1. Cet exercice ne ...
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CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES
Corrigé fourni par lacadémie de Rennes
Session 2004
EXERCICE 1
Cet exercice ne demandait pratiquement aucune connaissance mathématique précise mais il fallait savoir sorganiser. Cest un des deux exercices proposées par lAcadémie de Rennes à partir dun exercice un peu semblable en ce qui concerne la première question publié par lexcellent journal Tangente.
Euler est mort à lâge de 76 ans le jeudi 18 septembre 1783
Le texte nous dit quil a vécu plus de 50 ans et moins de 100 ans, compte tenu de ses dates naissance et de décès il est donc mort entre 1757 et 1806. Les années bissextiles entre ces deux années et la somme de leurs chiffres sont donc :
Année17601764176817721776178017841788179217961804Somme1418221721162024192313
La seule année qui convienne est donc 1784 et il est donc mort en 1783 à 76 ans
Remarque : les données étaient redondantes et on navait guère besoin de savoir comment se comportait lâge par rapport à 3, 5 ou 7. Dans ce genre dépreuve type olympiades les élèves sont également jugés sur cette capacité à trier les informations essentielles.
Pour trouver le jour du décès on choisit un point de départ certains ont choisi leur date anniversaire, dautres une date particulière ou tout simplement la date du jour - .
On a pris le parti de prendre pour remonter dans le temps la date du 24 mars 2004 qui était un mercredi.
Le raisonnement prend appui sur le principe suivant : lorsque lon rajoute à un jour de la semaine une semaine ( ou 7 jours ) on retombe sur le même jour de la semaine.
Il suffit alors de compter le nombre de jours depuis le 18 septembre 1783 jusquau 24 mars 2004 en tenant compte des années bissextiles :
Du 18/09/1783 au 31/12/1783 : 104 jours
Du 1/1/1784 au 31/12/2003 il y a parmi 220 années 53 années bissextiles
4 années bissextiles de 1783 à 1800
24 années bissextiles de 1801 à 1900
25 années bissextiles de 1901 à 2003
ce qui donne donc 220 x 365 + 53 = 80353 jours
Du 1/1/2004 au 24/03/2004 : 84 jours
Dou un total de 80541 jours soit 11505 semaines et 6 jours
Par conséquent Euler est mort un jeudi.
EXERCICE 2
Cet exercice donnait lopportunité de visualiser le problème en direct en découpant une feuille aux dimensions indiquées ou de dimensions proportionnelles. Il y a naturellement plusieurs façons de résoudre cet exercice , nous vous donnons celle proposée par le concepteur du sujet
La feuille format 4 EMBED Equation.3 6 constitue un rectangle ABCD. On plie cette feuille de sorte que le point A coïncide avec un point S du côté ]BC[. La feuille est pliée suivant le segment [RT] avec T EMBED Equation.3 [AD] et R EMBED Equation.3 [AB] et on pose x = AR et y = AT.
Encadrement de x : remarque (RT) est un axe de symétrie du quadrilatère ARST. Les positions extrêmes sont atteintes : x est maximal quand R est en B ( x = 4 ) et x est minimal quand T est en D ( y = 6). La valeur maximale de x est x = 4 .
Du fait de la symétrie (Figure 2) par rapport à (TR) on a DS = 6 et du triangle rectangle SCD on tire que SC² = 20. Comme CB = CS + SB = 6 on obtient que SB = 6 - eq \r(20). On a RB = 4 x et du triangle rectangle SBR on tire que SR² = RB² + SB². Du fait de la symétrie par rapport à (TR) on a SR = RA = x doù
EMBED Equation.3 = (4 x)² + (6 - eq \r(20))²
ce qui donne après simplification pour valeur minimale de x
x = 9 - 3 EMBED Equation.3 .
Figure 1
2- Relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC] :
Figure 3
Figure 2
On désigne par H ( Figure 3) le projeté orthogonal de S sur [AD]. On sait que :
SR = AR
BR = 4 - x
Doù SB = EMBED Equation.3
et comme AH = BS alors
HT = AT AH= y - SB = y - EMBED Equation.3 .
On sait aussi que TS =TA = y et SH = BA = 4 et donc dans le triangle SHT rectangle en H on a :
y² = 4² + (y - EMBED Equation.3 )²
ce qui donne après développement, réduction et simplification
y = EMBED Equation.3 .
Valeur de x pour laquelle laire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale et nature du triangle AST
On désigne par S(x) laire de la partie repliée qui correspond au triangle rectangle RAT et on a S(x) = EMBED Equation.3 AR EMBED Equation.3 AT = EMBED Equation.3 xy. Doù en utilisant la valeur de y ci-dessus on obtient
S(x) = EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
La dérivée de S(x) est
S(x) = eq \s\do1(\f(x(3x 8); ( 2x 4) eq \r(2x - 4)))
qui a sur lintervalle de définition de x le même signe que 3x 8.
Ceci permet en utilisant le tableau de variation de S de voir que S admet un minimum en eq \s\do1(\f(8;3 )) et de conclure que laire minimale vaut eq \s\do1(\f(32 eq \r(3);9 )) unités daire.
Le triangle AST est évidemment équilatéral.
EXERCICE 3
Lobjectif de cet exercice, difficile, nest pas dobtenir une réponse mathématique rigoureuse mais de tester les capacités dinitiative face à un problème inhabituel et dont les réponses sont loin dêtre évidentes.
Lieu de rendez-vous lorsque les n points sont alignés
a- Réalisons une première approche en considérant 3 points alignés A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 et un point M du plan
On considère la somme
S EMBED Equation.3 (M) = MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3
et on cherche le ou les points P qui en réalise le minimum.
Or pour tout point M on a par l inégalité triangulaire,
MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3
il n y a égalité que si M appartient au segment [A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ], et donc
S EMBED Equation.3 (M) EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3 .
On a par ailleurs S EMBED Equation.3 ( A EMBED Equation.3 ) = A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 et donc pour tout M, S EMBED Equation.3 (M) EMBED Equation.3 S EMBED Equation.3 ( A EMBED Equation.3 ). La somme est minimale en A EMBED Equation.3 et alors égale à A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 .
b- Considérons maintenant 4 points alignés A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 et un point M du plan.
En appliquant deux fois linégalité triangulaire à
S EMBED Equation.3 (M) = MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3 + MA EMBED Equation.3
on obtient S EMBED Equation.3 (M) EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 + A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 .
Pour tout point P compris entre A EMBED Equation.3 et A EMBED Equation.3 ,
S EMBED Equation.3 (P) = PA EMBED Equation.3 + PA EMBED Equation.3 + PA EMBED Equation.3 + PA EMBED Equation.3 = A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 + A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3
donc S EMBED Equation.3 (M) est minimale pour tout point P du segment [A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ].
c- Il y a donc deux situations à considérer suivant la parité du nombre de points.
Cas de 2p + 1 points notés A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 ,
, A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 ,
, A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 et rangés dans cet ordre sans perdre de la généralité de la démonstration . En particularisant le point A EMBED Equation.3 et en regroupant les longueurs MAi et MA2(p+1) i on obtient
S EMBED Equation.3 (M) EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 + A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 +
+ A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3
or S EMBED Equation.3 (A EMBED Equation.3 ) = (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ) + (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ) +
+ (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 )
Ainsi le point A EMBED Equation.3 réalise le minimum.
Cas de 2p points notés A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 ,
, A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 ,
, A EMBED Equation.3 . En raisonnant de la même façon que précédemment on voit que pour tout point P compris entre A EMBED Equation.3 et A EMBED Equation.3 , on a S EMBED Equation.3 (P) = (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ) + (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ) +
+ (A EMBED Equation.3 A EMBED Equation.3 ) ce qui correspond au minimum.
En conclusion :
si le nombre de points est impair, le lieu de rendez-vous doit être le point central A EMBED Equation.3 ,
si le nombre de points est pair, le lieu de rendez-vous peut être nimporte quel point situé sur le segment [A EMBED Equation.3 , A EMBED Equation.3 ].
Cas de trois points non alignés : A, B et C forment alors un triangle
Pour tout point M extérieur au triangle, par exemple tel que M et B soient de part et dautre de la droite (AC), on a par alors, en désignant par M lintersection de (AC) et [MB],
MA + MC EMBED Equation.3 AC et AC = MC + MA et donc S EMBED Equation.3 (M) EMBED Equation.3 S EMBED Equation.3 (M) .
Le ou les points recherchés sont donc à lintérieur du triangle ABC.
Lidée retenue est de transformer la somme S EMBED Equation.3 (M) en une somme de longueurs de segments « consécutifs ».
On prend un point M à lintérieur du triangle ABC. On construit le point D tel que MAD soit un triangle équilatéral tel que [MD] et [AC] soient sécants. On construit ensuite le point E dans le demi plan de frontière (AC) ne contenant pas B de sorte que CAE soit un triangle équilatéral.
Les triangles MAC et DAE sont isométriques :
par construction on a - pour les longueurs AC = AE ainsi que AM = AD.
- pour les angles EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 60°
et donc EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 doù EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On en déduit que MC = ED.
On peut alors remplacer la somme S EMBED Equation.3 (M) par la somme S EMBED Equation.3 (M) = ED + DM + MB. Or S EMBED Equation.3 (M) est minimale si les points E, D, M et B sont alignés dans cet ordre. Existe-t-il des points M tels que cette condition soit réalisée ? Si un tel point existe alors il se trouve sur la droite EB. Un raisonnement identique montre quun tel point M doit également être sur la droite FC où F est limage de B dans la rotation directe de centre A et dangle 60°
Cest donc le point dintersection de ces deux droites. Il reste à voir à quelle condition portant sur les angles cette intersection existe : langle A doit être inférieur à 120° et lun des deux autres supérieur à 30°. Quitte à changer le choix des angles de travail on peut considérer être dans cette situation.
Cas de quatre points non alignés.
On a en utilisant linégalité triangulaire S4 (M) EMBED Equation.3 AC + BD
Lorsque le quadrilatère ABCD est convexe AC et BD se coupant en un point P on a comme plus haut AC + BD = PA + PB + PC + PD et le point P réalise le minimum attendu.
Lorsque le quadrilatère ABCD nest pas convexe avec par exemple le sommet D à lintérieur du triangle ABC le minimum doit être inférieur à S4(D) = AD + BD + CD. Le point D est le point cherché.
EXERCICE 4
Deux réels distincts u et v sont interchangeables sil existe au moins un couple (a ; b) de réels tels que f(u) = v et f(v) = u où f est la fonction définie pour x EMBED Equation.3 - b par f(x) = a - eq \r(x + b )
Pour montrer que 2 et 3 sont échangeables il faut chercher deux réels a et b tels que :
f(2) = a - EMBED Equation.3 = 3 et f(3) = a - EMBED Equation.3 = 2
doù la condition nécessaire :
a = 3 + EMBED Equation.3 = 2 + EMBED Equation.3
doù 1 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 .
On doit chercher deux nombres dont la différence des racines carrées est égale à 1.
En prenant pour ces deux nombres 0 et 1, il vient b = -2 qui est solution de 2 + b = 0 et de 3 + b = 1. On en déduit a = 3 et f(x) = 3 - EMBED Equation.3 .
En est-il de même de 4 et 7 ? Si la réponse est oui il est nécessaire de trouver a et b tels que :
a 7 = EMBED Equation.3 et a 4 = EMBED Equation.3 .
On obtient alors :
(a 4)² - (a 7)² = 3
ce qui implique 3(2a 11) = 3 et a = 6. Mais dans ce cas EMBED Equation.3 = a 7 = -1 ce qui nest pas possible. La réponse est donc négative.
Condition pour que deux entiers n et m soient échangeables.
On considère deux entiers distincts m et n avec par exemple n < m.
Par équivalence il vient successivement :
(1) EMBED Equation.3
(2) (i) EMBED Equation.3 et (ii) EMBED Equation.3 ou compte tenu de lhypothèse a EMBED Equation.3 m.
Ensuite toujours par équivalence laccolade (i) est remplacée par (i) EMBED Equation.3 ou encore par EMBED Equation.3 .
La deuxième équation donne a = EMBED Equation.3 .
En résumé f échange n et m si et seulement si ( compte tenu de (ii))
a = EMBED Equation.3 et b =(a n)² - m et n + 1 EMBED Equation.3 m
Or on a supposé que n < m, cest donc que m = n + 1.
Deux entiers sont échangeables si et seulement si ces entiers sont consécutifs, de plus le calcul a montré que la fonction f est unique : f(x) = n + 1 eq \r(x n ).
