TP n°1: PRISE EN MAIN DE MATLAB/SCILAB - Laurent DUMAS
TP SCILAB n°2 : ALGEBRE LINEAIRE. EPF 3ème année, 2007-2008. Dans cette
deuxième séance d'initiation à Scilab, l'accent est mis sur les différentes ...
part of the document
le chaque nouvel élément avec des affectations du type v=[v,2]
( en effectuant des opérations de somme (instruction +), de multiplication (instruction .*) et de division (instruction ./) terme à terme à partir de vecteurs simples
EXERCICE 1 : construire de trois manières différentes, le vecteur ligne de taille 100 qui comporte les 100 premiers carrés des nombres entiers.
2. Construction de matrices
Les vecteurs étant pour Scilab des cas particuliers de matrices de taille n*1 ou 1*n, il est naturel que la construction dune matrice A seffectue de manière similaire à celle dun vecteur, en loccurrence :
( lorsque la taille de la matrice est connue et petite, en écrivant par exemple A=[1,2,3 ;3,4,5] pour une matrice de taille 2*3
( en initialisant A à la matrice nulle (ou à la matrice identité avec eye) puis en effectuant une double boucle sur les indices avec des affectations du type A(i,j)=2
( en initialisant A à un vecteur ligne (ou colonne) puis en concaténant dans une boucle chaque nouvelle ligne (ou colonne) avec des affectations du type A=[A ;v] (respectivement A=[A,v]). A noter que cette méthode sétend à la concaténation entre matrices
( en effectuant des opérations de somme (instruction +), de multiplication terme à terme (instruction .*) ou de multiplication matricielle (instruction *), de division terme à terme (instruction ./) à partir de matrices simples
EXERCICE 2: construire sans effectuer de boucles la matrice 10*10 donnant les résultats de la table de multiplication
3. Extraction de sous-matrices
Il est possible dextraire facilement avec Scilab une sous matrice dune matrice quelconque simplement en construisant le vecteur formé par les indices de lignes et celui formé par les indices de colonnes à sélectionner. Par exemple, linstruction B=A(1 :2 :5,1 :3) extraira de la matrice A, les lignes 1,3 et 5 et les colonnes 1,2 et 3 pour former une matrice 3*3.
EXERCICE 3 : à partir de la matrice de lexercice 2, construire la matrice formée de la table de multiplication des 4 premiers entiers impairs (en ligne) par les 4 premiers entiers pairs (en colonnes).
4. Résolution de système linéaires
EXERCICE 4 : écrire une fonction u=fct_gauss(A,b) permettant de résoudre tout système cramérien Au=b par la méthode de Gauss avec stratégie de pivot. On pourra utiliser la fonction de remontée suivante pour résoudre un système triangulaire supérieur Au=b :
function u=remontée(A,b)
[n,m]=size(A);
u=zeros(n,1);
u(n)=b(n)/A(n,n);
for j=n-1:-1:1,
u(j)=(b(j)-A(j,,j+1:n)*u(j+1:n))/A(j,j);
end
endfunction
Appliquer cette fonction sur des exemples utilisant des matrices et des second membres aléatoires de taille élevé (100 par exemple) et comparer les résultats et les temps de calcul obtenus avec ceux issus de linstructions préprogrammée linsolve de Scilab (pour comparer les temps de calcul, on pourra utiliser linstruction timer).
EXERCICE 5 : Comparer les solutions obtenues par Scilab avec la méthode de Gauss avec ou sans stratégie de pivot pour le système Au=b avec A=[10-20,1 ;1,1] et b=[1 ;2]. Commenter.
Remarque importante : Linfluence des erreurs darrondis sur la précision du résultat dun système linéaire peut être quantifié par la valeur du conditionnement de la matrice A associée (en utilisant par exemple linstruction cond de Scilab). Il savère donc indispensable destimer cette valeur avant toute résolution de système linéaire par un logiciel de calcul numérique comme Scilab (même avec une méthode « exacte », comme la méthode de Gauss).
