limites et continuité
Limites et Continuité. I. Limites des fonctions de référence (cf feuille polycopiée).
x = +¥ x = ?¥. x2 = +¥ x2 = +¥. x3 = +¥ x3 = ?¥. = +¥. = 0 = 0. = 0. = +¥ = ?¥ ...
part of the document
Limites et Continuité
Limites des fonctions de référence (cf feuille polycopiée)
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) x = +SYMBOL 165 \f "Symbol" EQ \o(\s\do8(x ( -();lim) x = SYMBOL 165 \f "Symbol"
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) x2 = +SYMBOL 165 \f "Symbol" EQ \o(\s\do8(x ( ();lim) x2 = +SYMBOL 165 \f "Symbol"
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) x3 = +SYMBOL 165 \f "Symbol" EQ \o(\s\do8(x ( ();lim) x3 = SYMBOL 165 \f "Symbol"
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) EQ \r(;x) = +SYMBOL 165 \f "Symbol"
EMBED Equation.DSMT4 EQ \S\do2(\F(1;x)) = 0 EQ \o(\s\do8(x ( ( ();lim) EQ \S\do2(\F(1;x2)) = 0
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) EQ \S\do2(\F(1;EQ \r(;x))) = 0
EQ \o(\s\do8(x ( 0(+));lim) EQ \S\do2(\F(1;x)) = +SYMBOL 165 \f "Symbol" EQ \o(\s\do8(x ( 0());lim) EQ \S\do2(\F(1;x)) = SYMBOL 165 \f "Symbol"
Interprétation graphique
Ci-dessous lallure, obtenue à la calculatrice de quelques fonctions usuelles.
f(x) = xf(x) = x2f(x) = x3f(x) = eq \r(;x)
f(x) = EQ \S\do2(\F(1;x))f(x) = EQ \S\do2(\F(1;x2))Opérations sur les limites (cf feuille polycopiée)
1) Limite d'une somme
si f a pour limitesi g a pour limitealors f + g a pour limitell'l + l'l+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"lSYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"?????????FI?????????2) Limite d'un produit
si f a pour limitesi g a pour limitealors f SYMBOL 180 \f "Symbol" g a pour limitell'l l'l > 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"l > 0SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"l < 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"l < 0SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"0±SYMBOL 165 \f "Symbol"?????????FI?????????3) Limite d'un quotient
cas où g n'a pas pour limite 0
si f a pour limitesi g a pour limitealors f/g a pour limitell' SYMBOL 185 \f "Symbol" 0l/l'l ±SYMBOL 165 \f "Symbol"0si f a pour limitesi g a pour limitealors f/g a pour limite+SYMBOL 165 \f "Symbol"l' > 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"+SYMBOL 165 \f "Symbol"l' < 0SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"l' > 0SYMBOL 165 \f "Symbol"SYMBOL 165 \f "Symbol"l' < 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"±SYMBOL 165 \f "Symbol"±SYMBOL 165 \f "Symbol"????????FI?????????cas où g a pour limite 0
si f a pour limitesi g a pour limitealors f/g a pour limitel > 0 ou +SYMBOL 165 \f "Symbol"0 en restant > 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"l > 0 ou +SYMBOL 165 \f "Symbol"0 en restant < 0SYMBOL 165 \f "Symbol"l < 0 ou SYMBOL 165 \f "Symbol"0 en restant > 0SYMBOL 165 \f "Symbol"l < 0 ou SYMBOL 165 \f "Symbol"0 en restant < 0+SYMBOL 165 \f "Symbol"00????????FI?????????
Les résultats précédents mettent en évidence 4 formes indéterminées.
SYMBOL 165 \f "Symbol" SYMBOL 165 \f "Symbol" pour une somme ;
SYMBOL 165 \f "Symbol" SYMBOL 180 \f "Symbol" 0 pour un produit ;
SYMBOL 165 \f "Symbol"/SYMBOL 165 \f "Symbol" et 0/0 pour un quotient.
Limite en linfini dune fonction polynôme ou dune fonction rationnelle
Théorème
La limite en +SYMBOL 165 \f "Symbol" ou SYMBOL 165 \f "Symbol" dune fonction polynôme est la limite en +SYMBOL 165 \f "Symbol" ou SYMBOL 165 \f "Symbol" de son terme de plus haut degré.
Exemple
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) (2x2 7x - 5) = EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) (2x2) = +SYMBOL 165 \f "Symbol"
Théorème
La limite en +SYMBOL 165 \f "Symbol" ou SYMBOL 165 \f "Symbol" dune fonction rationnelle est la limite en +SYMBOL 165 \f "Symbol" ou SYMBOL 165 \f "Symbol" des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
Exemple
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) EQ \S\do2(\F(4 x2;2x2 + 1)) = EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) EQ \S\do2(\F( x2;2x2)) = EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) EQ \S\do2(\F(1;2)) = EQ \S\do2(\F(1;2)).
Limites par composée et par comparaison
1) Limite dune fonction composée
Théorème
a, b et c désignent soit des nombres réels, soit +( ou SYMBOL 165 \f "Symbol".
Si EQ \o(\s\do8(x ( a);lim) u(x) = b et si EQ \o(\s\do8(X ( b);lim) v(X) = c, alors EQ \o(\s\do8(x ( a);lim) v(u(x)) = c.
Exemple : Soit f la fonction définie par f(x) = EQ \R(x2 - 5x + 7).
Pour déterminer, éventuellement, les limites en l'infini, déterminons Df :
( = -3 < 0 donc le trinôme est toujours du signe de a, ici 1, donc le trinôme est toujours positif et Df = (.
Posons u(x) = x2 - 5x + 7. EQ \o(lim;\s\do8(x ( -())u(x) = +( (monôme de plus haut degré) et limite EQ \o(lim;\s\do8(X ( +())EQ \R(X) = +( donc
EQ \o(lim;\s\do8(x ( -())f(x) = +(. De même en +(.
2) Limites par comparaison
Théorème
Soit f une fonction.
Sil existe une fonction g et un nombre réel A vérifiant :
pour tout réel x SYMBOL 179 \f "Nombre" A, f(x) SYMBOL 179 \f "Nombre" g(x) ;
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) g(x) = +SYMBOL 165 \f "Symbol"
alors : EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) f(x) = +SYMBOL 165 \f "Symbol"
Énoncé analogue en SYMBOL 165 \f "Symbol".
Exemple
Soit f la fonction définie sur ( par
f(x) = eq \r(;9x2 + 1) 2x
pour tout réel positif x , 9x 2 + 1 ( 9x 2
donc eq \r(;9x2 + 1) ( 3x
ainsi pour tout réel positif x f (x) ( x et EQ \o(lim;\s\do8(x ( +())f(x) = +(.
Théorème (dit des gendarmes)
Soit f une fonction.
Sil existe deux fonctions u et v, et un nombre réel A vérifiant :
pour tout réel x SYMBOL 179 \f "Nombre" A, u(x) SYMBOL 163 \f "Nombre" f(x) SYMBOL 163 \f "Nombre" v(x) ;
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) g(x) = l et EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) h(x) =l
alors : EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) f(x) = l
Limites : les interprétations graphiques
1) Asymptotes parallèles aux axes
a) Lorsque la fonction f a pour limite le nombre l en +SYMBOL 165 \f "Symbol" (resp. en SYMBOL 165 \f "Symbol"), on dit que la droite déquation y = l est asymptote à la courbe représentant f au voisinage de +SYMBOL 165 \f "Symbol" (resp. SYMBOL 165 \f "Symbol").
EMBED Sketch
Graphiquement, lorsque les valeurs de x tendent vers +SYMBOL 165 \f "Symbol", les distances PM tendent vers 0.
b) Lorsque la fonction f a pour limite +SYMBOL 165 \f "Symbol" ou SYMBOL 165 \f "Symbol", en un point a, on dit que la droite déquation x = a est asymptote à la courbe représentant f au voisinage de a.
EMBED Sketch
Graphiquement, lorsque les valeurs de x se rapprochent de a, les distances HP tendent vers +SYMBOL 165 \f "Symbol" et les distances PN tendent vers 0.
2) Asymptotes obliques
Cf désigne la courbe représentative dune fonction f dans un repère donné.
Dire que la droite déquation y = ax + b (avec a SYMBOL 185 \f "Symbol" 0) est asymptote oblique à la courbe Cf au voisinage de +SYMBOL 165 \f "Symbol", signifie que
EQ \o(\s\do8(x ( +();lim) (f(x) (ax + b)) = 0
Interprétation graphique
EMBED Sketch
Pour un nombre x dans lensemble de définition de f , notons M et P les points dabscisse x respectivement sur Cf et sur SYMBOL 68 \f "Symbol". Alors PM = (f(x) (ax + b)(
Pour les grandes valeurs de x, la courbe Cf et la droite SYMBOL 68 \f "Symbol" sont très proches lune de lautre.
Algébriquement, on peut dire que, pour x grand, f(x) est très peu différent de ax + b, autrement dit que ax + b est une approximation affine de f(x) au voisinage de +SYMBOL 165 \f "Symbol".
Continuité et équation
1) Définition
Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa courbe se trace dun « trait continu », sans lever le crayon.
Exemples graphiques
Continue sur [1 ; 3] Continue sur [1 ; 3] Non continue sur [ 1 ; 3]
Autrement dit, quand une fonction est continue, sa courbe représentative na pas de sauts, ce qui ne lempêche pas de présenter des « points anguleux ».
2) Exemples
Continuité et fonctions usuelles
La fonction racine carrée est continue sur lintervalle [0 ; +([.
La fonction carré est continue sur (.
La fonction inverse est continue sur ]( ; 0[ ou sur ]0 ; +([ et non sur ]( ; 0[ ( ]0 ; +([.
Une fonction affine est continue sur (.
On admet que toutes les fonctions obtenues par opérations ou composition à partir des fonctions usuelles sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
En particulier, une fonction polynôme est continue sur (. Une fonction rationnelle, quotient de deux fonctions polynômes, est continue sur chacun des intervalle où elle est définie. Une fonction irrationnelle est continue sur son ensemble de définition.
Nous admettrons aussi que toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
Contre-exemple : la fonction partie entière
La fonction partie entière E est la fonction qui à tout réel x associe sa partie entière, cest-à-dire lentier qui lui est immédiatement inférieur.
Plus précisément, soit x un réel tel que n ( x < n + 1 : alors E(x) = n.
Ainsi E(5,234) = 5 ; E(() = 3 ; E( 6) = 6 ; E( 4,56) = 5.
La fonction E nest pas continue sur (.
3) Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Autrement dit, quand la fonction est continue sur [a ; b], toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b) sont prises au moins une fois.
En particulier si f(a) et f(b) sont de signes contraires, la valeur 0 est une valeur intermédiaire entre f(a) et f(b) : il existe au moins un c de lintervalle [a ; b] tel que f(c) = 0. Autrement dit, léquation f(x) = c admet au moins une solution dans [a ; b].
4) Cas dune fonction continue et strictement monotone
Dans un tableau de variation, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie dune fonction sur un intervalle.
Dans ce cas où la fonction est continue et strictement monotone sur [a ; b] il est clair que léquation f(x) = k possède une solution x0 et une seule dans lintervalle [a ; b].
Exercice : Déterminer le nombre de solutions de l'équation x3 + 3x2 - 1 = 0 sur [0;+([, en donner un encadrement d'amplitude 10-2.
x ( x3 + 3x2 - 1 est continue sur ( comme fonction polynôme (ou comme somme de trois fonctions continues).
Etudions plus précisément sur [0;+([ :
La fonction f définie ainsi est une fonction strictement croissante de [0;+([ sur [-1;+([ (comme somme de deux fonctions croissantes et f(0) = -1 et EQ \o(lim;\s\do8(x ( +())f(x) = +(.)
Comme 0([-1;+([ (0 se trouve dans l'intervalle d'arrivée), 0 possède un unique antécédent et f(x) = 0 possède une unique solution dans [0;+([.
f(0) = -1 < 0 et f(1) = 3 > 0 donc, d'après le T.V.I., la solution ( se trouve dans [0;1].
En procédant de même et à l'aide de la calculatrice, on trouve l'encadrement ((]0,53;0,54[.
PAGE \* MERGEFORMAT 4
LINK Excel.Sheet.8 "C:\\Arie\\BULLETINS\\GRAPHEUR.XLS" "CourbeReprésentative![grapheur.xls]CourbeReprésentative Graphique 13" \p
l
Cf
O
f(x)
x
P
M
H
a
Cf
f(x)
P
N
x
O
M
P
SYMBOL 68 \f "Symbol"
x
O
Cf
