Agrégation Interne 1999
4h 30 C-TD-TP .... Définitions- Théorème de Rolle - Théorème des
accroissements finis ..... Théorème de Kennelly et applications (Charge et
décharge d'un ...
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On élimine le terme commun de couplage INCORPORER Equation.3 & on obtient le bilan sous la forme classique : INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 car le circuit est alimenté en permanence par le générateur E, INCORPORER Equation.3 traduisant les pertes électriques par effet Joule & les pertes mécaniques dues aux frottements, & INCORPORER Equation.3 qui représente lénergie stockée par le système, sous forme dénergie cinétique de translation, dénergie magnétique dans linductance & dénergie potentielle élastique dans le ressort.
3. En régime forcé sinusoïdal : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 doù on déduit, en introduisant les grandeurs complexes INCORPORER Equation.3 que : INCORPORER Equation.3 & de même :
INCORPORER Equation.3 . Par élimination de la vitesse, on obtient :
INCORPORER Equation.3 doù : INCORPORER Equation.3 en reportant dans léquation électrique (E). Il en résulte que limpédance mécanique est donnée par la relation :
INCORPORER Equation.3 , doù on déduit que : INCORPORER Equation.3 , & que :
INCORPORER Equation.3 .
4. Avec les notations de lénoncé, on obtient : INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 , où ( est une fonction de la pulsation (. Il résulte des expressions précédentes que ( est sans dimension, & que A est homogène à une résistance.
5 & 6. Le numérateur de Rm étant constant, cette quantité sera maximale si le dénominateur est minimal donc pour INCORPORER Equation.3 , soit pour ( = (o, pulsation propre correspondant à la résonance. Alors INCORPORER Equation.3 . Si INCORPORER Equation.3 , & si INCORPORER Equation.3 .
Pour INCORPORER Equation.3 . La bande passante est définie, selon lénoncé, par :
INCORPORER Equation.3 doù : INCORPORER Equation.3 , où (1 & (2 sont les frontières de la bande passante, ce qui conduit à léquation du second degré : INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 , dont les racines sont : INCORPORER Equation.3 . Il en résulte que la largeur de la bande passante vaut :
INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 facteur de qualité. On a donc :
INCORPORER Equation.3 , doù : INCORPORER Equation.3 , doù les courbes :
7. On a pour le moment la représentation de la courbe décrite par M en coordonnées paramétriques, & il sagit de passer en coordonnées cartésiennes, donc déliminer le paramètre (. Soit :
INCORPORER Equation.3 & on reporte dans X : INCORPORER Equation.3 , doù :
INCORPORER Equation.3 , équation dun cercle de rayon INCORPORER Equation.3 & de centre INCORPORER Equation.3 appelé cercle de Kennely. On a placé sur la courbe les valeurs remarquables de la pulsation.
Exo n°2 :
1. Force de Laplace élémentaire : INCORPORER Equation.3 . Sur les côtés horizontaux, les deux vecteurs du produit vectoriel sont colinéaires, donc il ne reste que les forces sur les côtés verticaux. Le champ INCORPORER Equation.3 étant constant, elles ont le même module INCORPORER Equation.3 , & en ce qui concerne leur direction, on se reporte à la figure. On en déduit le sens de rotation du cadre, & on vérifie que le couple résultant INCORPORER Equation.3 a bien le sens du vecteur unitaire INCORPORER Equation.3 . Les bras de levier sont identiques, donc le couple résultant vaut INCORPORER Equation.3 , & donc on en déduit que : INCORPORER Equation.3
2. On est dans le cas de Lorentz, & la méthode du champ électromoteur sera plus commode que lutilisation du flux coupé (car le flux magnétique à travers le cadre est toujours nul !). Soit :
INCORPORER Equation.3 , puis INCORPORER Equation.3 . Les orientations des vitesses sont données par les vecteurs forces de la figure. Il en résulte que : sur les côtés horizontaux, le champ INCORPORER Equation.3 est orthogonal au cadre, & donc sa circulation est nulle, alors que sur les côtés verticaux, INCORPORER Equation.3 est porté par le cadre, & de sens opposé au courant i, conformément à la loi de Lenz (car la machine est un moteur). En norme, on a : INCORPORER Equation.3 , la circulation se réduit aux côtés verticaux, donc : INCORPORER Equation.3 , & donc on obtient : INCORPORER Equation.3 , résultat cohérent avec INCORPORER Equation.3 , traduisant que la conversion dénergie sur le transducteur est idéale.
3. e est une fcem, doù léquation électrique (E) : INCORPORER Equation.3 . Pour un système en rotation, léquation mécanique est donnée par le théorème du moment cinétique, soit (M) : INCORPORER Equation.3 , le signe traduisant un couple moteur.
4. On élimine le courant : INCORPORER Equation.3 , où lon a posé INCORPORER Equation.3 (constante de temps), & INCORPORER Equation.3 (valeur en régime permanent). Compte tenu des conditions initiales, on a INCORPORER Equation.3 , car cest une grandeur continue, doù : INCORPORER Equation.3 . En reportant dans (E), on obtient : INCORPORER Equation.3 . Interprétation des valeurs asymptotiques : à t = 0, ( est nul, donc e aussi, dans le circuit il ne reste que E & R, doù la valeur initiale du courant. Pour t -> (, ( croit & tend vers E/G, donc e tend vers E, & i tend vers 0.
AN : le RP est atteint à 10-3 près si INCORPORER Equation.3 avec la même précision, donc si INCORPORER Equation.3 , donc pour : INCORPORER Equation.3 .
5. On effectue les combinaisons homogènes à des puissances (E)*i & (M)*(, soit :
INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 , & on élimine le terme de couplage G(i :
INCORPORER Equation.3 . On reconnaît une équation de la forme : INCORPORER Equation.3 .
Le système reçoit en permanence la puissance E.i, ne peut stocker dénergie que sous forme cinétique de rotation, & leffet Joule est la seule cause de pertes.
6. Seule léquation mécanique est modifiée & devient (M) : INCORPORER Equation.3 . On élimine encore le courant : INCORPORER Equation.3 , ce qui peut sécrire aussi : INCORPORER Equation.3 , où lon a posé : INCORPORER Equation.3 (le régime transitoire est plus bref, le couple résistant permet datteindre le régime permanent plus vite) & INCORPORER Equation.3 (la vitesse limite en régime permanent est plus faible, à cause du couple résistant). Avec les mêmes conditions initiales, on aura donc :
INCORPORER Equation.3 loi du même type quavant, & pour le courant :
INCORPORER Equation.3 le courant ne sannule plus en régime permanent, mais tend vers la valeur : INCORPORER Equation.3 , doù les courbes.
AN : daprès le calcul de la question 4 : INCORPORER Equation.3 .
7. On effectue les combinaisons homogènes à des puissances (E)*i & (M)*(, soit : INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 , & on élimine le terme de couplage G(i. Il vient :
INCORPORER Equation.3 . On reconnaît une équation de la forme classique :
INCORPORER Equation.3 , où : INCORPORER Equation.3 (inchangée), INCORPORER Equation.3 (inchangée) &
INCORPORER Equation.3 , le second terme correspondant aux pertes mécaniques dues au couple résistant.
8. On retrouve la première équation mécanique (le système est toujours un moteur) (M) : INCORPORER Equation.3
La nouvelle équation électrique sécrit (E) : INCORPORER Equation.3 . On tire i de léquation mécanique : INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3 . Sous forme standard, on obtient :
INCORPORER Equation.3 , ce qui sécrit aussi : INCORPORER Equation.3 , où lon a posé : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , & toujours INCORPORER Equation.3 , solution en régime permanent à laquelle sajoute la solution en régime transitoire, solution de léquation homogène associée : INCORPORER Equation.3 .
9. On cherche une solution de la forme INCORPORER Equation.3 , ce qui conduit à léquation caractéristique classique :
INCORPORER Equation.3 , dont les solutions sont : INCORPORER Equation.3 . Suivant les valeurs relatives de ( & de (o, on obtient les régimes apériodique (( > (o), critique (( = (o), & oscillant amorti (( < (o).
AN : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 & on est donc dans le cas du régime critique, & la solution sécrit : INCORPORER Equation.3 . Il faut déterminer les deux constantes dintégration A & ( par les conditions initiales : INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 (système à larrêt). Soit : INCORPORER Equation.3 . On calcule : INCORPORER Equation.3 . A t = 0, il vient : INCORPORER Equation.3 , doù la solution définitive : INCORPORER Equation.3 .
Exo n°3 :
1.Sur le primaire, le générateur est u1, alors que sur le secondaire cest la fem induite INCORPORER Equation.3 , doù :
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
2. Dans le transformateur parfait, il ny a aucune perte, donc : INCORPORER Equation.3 (pas de pertes Joule), pas de pertes magnétiques donc la perméabilité µ du circuit magnétique est infinie, doù INCORPORER Equation.3 & les lignes de champ ne sortent pas du matériau, donc le flux à travers une section droite est conservé : INCORPORER Equation.3 . En introduisant les flux à travers les bobinages primaire & secondaire :
INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 , il reste :
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , doù on déduit la loi des tensions :
INCORPORER Equation.3 . Le théorème dAmpère sur la ligne de champ moyenne donne :
INCORPORER Equation.3 doù, avec H = 0 INCORPORER Equation.3 . On en déduit le rendement de la conversion de puissance : INCORPORER Equation.3 , logique puisquil ny a pas de pertes.
3. Limpédance dentrée vérifie : INCORPORER Equation.3 , car INCORPORER Equation.3 impédance de charge du secondaire. Sur la maille primaire : INCORPORER Equation.3 , soit aussi : INCORPORER Equation.3 . Une impédance ramenée au primaire est donc divisée par m², alors quune impédance ramenée au secondaire est multipliée par m².
4. Régime sinusoïdal forcé, avec INCORPORER Equation.3 , & en introduisant les grandeurs complexes INCORPORER Equation.3 avec le secondaire en court- circuit (u2 = 0) :
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 . En éliminant le courant secondaire : INCORPORER Equation.3 & on en déduit : INCORPORER Equation.3 donc : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3
Daprès la question précédente : INCORPORER Equation.3 donc INCORPORER Equation.3 car en principe on a :
INCORPORER Equation.3 car le secondaire est essentiellement inductif. Alors : INCORPORER Equation.3 . Dans le cas du couplage parfait, on a : INCORPORER Equation.3 car linductance est proportionnelle au carré du nombre de spires. Il en résulte que : INCORPORER Equation.3 , & la réactance du primaire est annulée (relèvement du facteur de puissance). La puissance dissipée dans Rm vaut :
INCORPORER Equation.3 , maxi pour INCORPORER Equation.3 , condition réalisable avec un auto - transformateur. Alors INCORPORER Equation.3 doù le rendement INCORPORER Equation.3 .
Exo n°4 :
1. Les champs magnétiques sont proportionnels aux courants : INCORPORER Equation.3 , & on associe à chaque vecteur plan (vecteur unitaire ou champ magnétique) un nombre complexe. Les racines cubiques de lunité correspondent aux vecteurs unitaires, & on exprime les sinus contenus dans les courants au moyen des formules dEuler, ce qui donne : INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 soit aussi :
INCORPORER Equation.3 & on a donc un champ tournant à la vitesse angulaire (, de module constant.
2. Dès quon établit le système de courants, le champ INCORPORER Equation.3 tourne, donc langle INCORPORER Equation.3 dépend du temps, le flux à travers la bobine aussi, doù création dune fem induite, dun courant induit, donc de forces de Laplace motrices qui font tourner la bobine.
3. On a : INCORPORER Equation.3 . On en déduit :
INCORPORER Equation.3 , où ( représente le flux à travers une spire, & où on a posé : INCORPORER Equation.3 valeur maximale de la fem alternative, qui nest différente de zéro que si INCORPORER Equation.3 , doù le nom de moteur asynchrone. Au synchronisme, il ny a plus de mouvement relatif, donc plus dinduction. En passant en complexes : INCORPORER Equation.3 . La loi dOhm donne :
INCORPORER Equation.3 car INCORPORER Equation.3 . Avec INCORPORER Equation.3 , on obtient :
INCORPORER Equation.3 , où lon a posé INCORPORER Equation.3 .
4. La norme du champ magnétique étant uniforme, on peut écrire, comme pour un dipôle magnétique, que : INCORPORER Equation.3 , soit finalement :
INCORPORER Equation.3 . En utilisant (définition de la puissance active) que INCORPORER Equation.3 , on obtient la valeur moyenne du couple moteur :
INCORPORER Equation.3 en utilisant INCORPORER Equation.3 .
5. On pose INCORPORER Equation.3 appelé glissement. Cest la vitesse angulaire relative sans dimension, avec g = 0 au synchronisme, & g = 1 à larrêt.
On pose aussi INCORPORER Equation.3 , qui est le facteur de qualité (sans dimension) de la bobine à 50 Hz. Le rotor étant essentiellement inductif, on doit avoir Q² >> 1. Alors on peut écrire :
INCORPORER Equation.3 , où lon a posé INCORPORER Equation.3 .
* Si INCORPORER Equation.3 , couple moteur à larrêt ;
* Si INCORPORER Equation.3 , le couple moteur sannule au synchronisme ;
* Si INCORPORER Equation.3 , & donc il existe un maximum. On a : INCORPORER Equation.3 maxi si le dénominateur est mini, donc pour INCORPORER Equation.3 , donc dans le domaine du fonctionnement en moteur. Alors INCORPORER Equation.3 , indépendant de R. La puissance est donnée par :
INCORPORER Equation.3 & donc sannule pour g = 1 (moteur à larrêt) & pour g = 0 (synchronisme) : donc il existe un maximum. Il faut dériver : calcul pénible qui conduit à INCORPORER Equation.3 . Alors INCORPORER Equation.3 .
6. INCORPORER Equation.3 correspond au frottement statique, & INCORPORER Equation.3 au frottement dynamique (terme quadratique, comme leffet Joule, toujours résistant quel que soit le sens de rotation). On a :
INCORPORER Equation.3 , équation dune parabole dont le sommet correspond à g = 1 (arrêt).
Le système démarre seul si INCORPORER Equation.3 ; Sinon, on augmente le couple moteur à larrêt en diminuant Q, donc en augmentant R au moyen dun rhéostat de démarrage.
Daprès le théorème du moment cinétique : INCORPORER Equation.3 en régime permanent. Les points de fonctionnement correspondent donc aux deux intersections des courbes INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 . Le point de fonctionnement vérifiant INCORPORER Equation.3 est stable, puisque si le moteur accélère (( croit) g diminue, alors le couple résistant est le plus fort & ramène à létat initial. On montrerait de même que lautre point de fonctionnement est instable.
La vitesse limite correspond au synchronisme : INCORPORER Equation.3 .
Exo n° 5 :
1. Si 0 < t < (T : K' ouvert, donc E' ne joue pas. K fermé, donc on retrouve E aux bornes de L, soit :
INCORPORER Equation.3 en appelant Im la valeur initiale de iL. Si IM est la valeur à la fin de la phase, l'ondulation de iL vaut : INCORPORER Equation.3 .
* Si (T < t < T : K' fermé, donc L soumise à E - E' : INCORPORER Equation.3 . On a un fonctionnement périodique si la valeur finale en T correspond à la valeur initiale pour t = 0, soit :
INCORPORER Equation.3 .
2. On veut réaliser E' = 2E, donc ( = 0,5 & : INCORPORER Equation.3 .
3. iL (t) étant une loi linéaire, sa valeur moyenne vaut : INCORPORER Equation.3 . Il n'y a pas de puissance consommée dans L & les interrupteurs, donc :
INCORPORER Equation.3 , & avec la valeur minimale de L, on a aussi IM Im = 0,2 A. La résolution de ce système conduit à : IM = 4,1 A & Im = 3,9 A. Comme le courant iL ne s'annule pas, on a les fonctionnements suivants :
L'interrupteur fermé est parcouru par le courant iL. Quand K est ouvert, la tension est nulle aux bornes de K' fermé, donc on a E' aux bornes de K. Quand K' est ouvert la tension est nulle aux bornes de K fermé, donc on retrouve - E' aux bornes de K'. On pourra donc choisir une diode pour représenter K' (caractéristique) & un transistor pour représenter K.
4. R / / C est alimenté par le courant INCORPORER Equation.3 , où I représente sa valeur moyenne & i' son ondulation. L'ondulation de la tension US étant très faible, on peut considérer que I passe dans R, donc que lon a : INCORPORER Equation.3 , & que i' passe dans C, donc que : INCORPORER Equation.3 sur la première phase, puisqu' alors iK est nul (K' ouvert). Si INCORPORER Equation.3 est l'ondulation maximale (donc pour t = (T) de US, on obtient : INCORPORER Equation.3 . Or INCORPORER Equation.3 , d'où : INCORPORER Equation.3 .
Exo n°6 :
I. Etude du différenciateur :
1. Montage du soustracteur : on écrit le théorème de Millmann sur lentrée -, & le DDT sur lentrée + :
INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 . On traduit que lAO est idéal :
INCORPORER Equation.3
II. Etude du convertisseur tension courant :
2. Soit Us la tension de sortie de lAO. DDT : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , puis
INCORPORER Equation.3 , soit : INCORPORER Equation.3 .
III. Etude du capteur de vitesse :
3. Période de rotation du moteur : INCORPORER Equation.3 , correspond à N impulsions doù : INCORPORER Equation.3 .
4. Soit Us1 la tension de sortie de lAO1. LAO2 est monté en ampli inverseur : INCORPORER Equation.3 . Il en est de même pour lAO1 : INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 , ce qui donne :
INCORPORER Equation.3 . En éliminant Us1, on obtient léquation cherchée : INCORPORER Equation.3 , & on pose : INCORPORER Equation.3 .
5. Résolution de léquation différentielle :
* Sur la première phase : INCORPORER Equation.3 : Ud = E, INCORPORER Equation.3 . Daprès la figure E6, Ur est une fonction croissante sur cette phase, doù : INCORPORER Equation.3 . Avec lhypothèse INCORPORER Equation.3 , avec un DL, on obtient : INCORPORER Equation.3 . Le maximum est atteint en (, doù : INCORPORER Equation.3 .
* Sur la seconde phase : INCORPORER Equation.3 : Ud = 0, INCORPORER Equation.3 . Daprès la figure E6, Ur est une fonction décroissante sur cette phase, doù avec la linéarisation : INCORPORER Equation.3 , avec les conditions :
INCORPORER Equation.3 , doù : INCORPORER Equation.3 . Londulation est donc donnée par : INCORPORER Equation.3 . On combine avec : INCORPORER Equation.3 , ce qui donne : INCORPORER Equation.3 , puis : INCORPORER Equation.3 . Avec la condition INCORPORER Equation.3 , il vient : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 . Comme on a une loi affine, la valeur moyenne est donnée par : INCORPORER Equation.3
6. On remplace T . Il vient : INCORPORER Equation.3 .
IV. Etude du système complet :
7. On élimine le courant i entre léquation mécanique (M) & léquation électrique (E) :
(M) : INCORPORER Equation.3 , (E) : INCORPORER Equation.3 , ce qui donne :
INCORPORER Equation.3 .
8. En régime sinusoïdal forcé : INCORPORER Equation.3 , doù : INCORPORER Equation.3 représente la fonction de transfert de la chaîne bouclée, qui correspond à un filtre passe bas du premier ordre, avec un gain maximal (obtenu pour INCORPORER Equation.3 ) : INCORPORER Equation.3 , & une fréquence de coupure INCORPORER Equation.3 . En boucle ouverte : INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 , on vérifie bien que les chaînes ouverte & bouclée correspondent à des filtres de même type. Pour la boucle ouverte : INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 .
On doit vérifier la relation : INCORPORER Equation.3 . On vérifie également la propriété des filtres passe bas du premier ordre : INCORPORER Equation.3 , conservation du produit gain x bande passante. Le régime permanent est donc atteint plus vite en boucle fermée.
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