exercice III: Des lois de Kepler à l'étude d'un astéroïde 4pts Correction
09/2007 Métropole.
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EXERCICE 1 : DES LOIS DE KEPLER À L ÉTUDE D UN ASTÉRODE&
En hommage à Kepler
Planètes en orbite elliptique
1.1.1. D après la première loi de Kepler (loi des orbites), dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est lun des foyers. La figure 10 montre bien le Soleil confondu avec le foyer F1.
1.1.2. Daprès la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le rayon vecteur EMBED Equation.DSMT4 balaie des surfaces égales pendant des durées égales. Laire A1 est égale à laire A2.
1.1.3. Vitesse moyenne entre M2 et M2 : v2 = EMBED Equation.DSMT4
Vitesse moyenne entre M1 et M1 : v1 = EMBED Equation.DSMT4 .
La distance M1M1 est plus petite que la distance M2M2, or ces distances sont parcourues pendant la même durée (t. Donc v1 < v2, la vitesse moyenne entre les points M1 et M1 est inférieure à celle entre les points M2 et M2.
Planètes en orbite circulaire
force de gravitation EMBED Equation.DSMT4 exercée par le Soleil
sur une planète quelconque du système solaire
de masse m dont le centre dinertie est situé
au point M3.
point dapplication : M3
direction : (OM3)
sens : de M3 vers O
EMBED Equation.DSMT4
En appliquant la deuxième loi de Newton au système {planète}, dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen, la seule force exercée sur la planète étant EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
1.2.4. EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont des vecteurs de même valeur car G et MS sont constantes, de plus r = OM3 = OM4. Voir figure ci-dessus.
1.2.5. Le vecteur accélération est radial (porté par le rayon r), centripète (de sens planète vers Soleil), de valeur constante donc le mouvement est circulaire uniforme.
1.2.6. La courbe représentative de T² en fonction de r3 est une droite passant par lorigine. Donc T² est proportionnelle à r3. En accord avec la troisième loi de Kepler qui indique EMBED Equation.DSMT4 = k avec k constante.
1.2.7. On prend le point, sur la droite, de coordonnées (r3 = 4,0(1035 m3 ; T² = 1,2(1017 s²).
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = 3,0(1019 s².m-3 résultat en accord avec la valeur donnée.
1.2.8. T = 6,521 ans à convertir en s.
EMBED Equation.DSMT4 = 3,0(1019 donc r = EMBED Equation.DSMT4
r = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = 5,2(1011 m séparent les centres du Soleil et de Rhea.
La troisième loi de Kepler comme balance cosmique
2.1. EMBED Equation.3 T période de révolution du satellite autour de Rhea Sylvia, en s,
r distance entre le centre du satellite et le centre de Rhea Sylvia, en m,
M masse de Rhea Sylvia, en kg,
G constante de gravitation universelle : EMBED Equation.3 G sexprime en m3.s-2.kg-1
2.2. Utilisons les données relatives à Romulus : T = 87,6 h à convertir en s et r = 1360 km à convertir en m.
EMBED Equation.3
donc M = EMBED Equation.3 .
M = EMBED Equation.3
M = 1,497(1019 kg = 1,50(1019 kg masse de Rhea Sylvia.
EXERCICE 2 : Défi Foly à La Clusaz
Etude du mouvement
Entre A et B, il y a : - Le poids P, vertical, vers le bas, de valeur P = m.g
La réaction normale du support, perpendiculaire au support, vers lobjet et de valeur R.
La force de frottement f, parallèle au support, opposé au mouvement de valeur f.
Entre B et C, il y a : - Le poids, vertical, vers le bas, de valeur P = m.g
La réaction normale du support, perpendiculaire au support, vers lobjet et de valeur R.
La force de frottement F, parallèle au support, opposé au mouvement de valeur F.
Les forces sont conservatives si leur travail ne dépend pas du chemin suivi : ici le poids.
La réaction du support ne travaille pas car elle est 4% au déplacement (cos(90) =0).
La force de frottement F et La force de frottement f sont non conservatives.
Entre A et B :
WAB( P ) = m.g.(zA-zB) et WAB( f ) = f . AB = f.d.cos(f,AB) = - f.d
WAB( R ) = 0
Entre B et C :
WAB( P ) = 0 avec (zC = zB) WAB( R ) = 0 et WAB( F ) = - F.D
EPPA = m.g.zA = m.g.d.sin±
Sur ces deux trajets l énergie mécanique diminue car il y a des frottements. Entre A et B toute l énergie potentielle ne se transforme pas en énergie cinétique à cause des frottements.
Entre B et C, l altitude ne change pas alors que la vitesse diminue donc l énergie mécanique diminue.
Em = EmB - EmA = (½mVB2 + m.g.zB) (½mVA2 + m.g.zA)
Or VA= 0 m.s-1 et zB = 0 m donc Em = ½mVB2-m.gzA = -f.d
Em = Emc - EmB = -½mVB2 = - F.D
Donc entre A et C : Em = -f.d - F.D
D après la question d) on peut écrire(®°²îðüþ<
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