Td corrigé une politesse aérodynamique - Numericable pdf

une politesse aérodynamique - Numericable

Elle est une pratique par laquelle le sujet laisse des traces de ce qu'il inscrit, ...... grapho-motrices des enfants et faciliter l'expression parla relation duelle. .... l'outil informatique renforce la motivation et favorise une attitude analytique à l'égard ...




part of the document



FORMES FUSELÉES 2D & 3D
DE TRAÎNÉE MINIMALE
ET TRAITEMENT DES EXCROISSANCES
ET CAVITÉS DIVERSES (avec leur Cx)

(ou Prière de refermer l'écoulement
après votre passage !)


Ce texte constitue la version in extenso (ou complète) du texte du Colloque de Cachan 2016. C’est celui-ci qu’il faut donc peaufiner. On devrait peut-être prendre comme première partie le texte de Cachan (éventuellement complété, ici et là) puis le faire suivre du reste, à savoir le Cx des excroissances
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Version du 11/07/16
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 HYPERLINK "http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/formes_fuselees_trainee_minimale.doc" \t "_blank" http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/formes_fuselees_trainee_minimale.doc


Le problème se pose souvent aux constructeurs amateurs d’aéronefs de devoir caréner tel ou tel appendice (jambes et roues de trains d’atterrissage, réservoir, haubans, têtes de boulons, excroissances diverses, etc.) :


Source Wikipédia :  HYPERLINK "http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Colomban_Cri-cri?uselang=fr" http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Colomban_Cri-cri?uselang=fr

Nous allons voir dans cet exposé que les formes à donner au carénage d’un objet ne vont pas forcément de soi et qu’elles dépendent, de plus, du nombre de Reynolds de l’écoulement dans lequel elles travaillerons.

Chacun connaît la fameuse forme dite, de façon abusive, en goutte d’eau . Dans ce texte, eu égard à sa promotion par Eiffel (dans les années 1910 vérifier ), nous oserons appeler Corps d’Eiffel ces corps profilés plutôt que d’utiliser l’expression fallacieuse en goutte d’eau.

On sait que cette forme en Corps d’Eiffel réalise la performance de refermer derrière elle l’écoulement que son avant a ouvert :

 SHAPE \* MERGEFORMAT 
ou :


Le champion Oscar Egg conçut en 1932 ce carénage de culot qui ne fut cependant pas couronné de succès.

On sait également que cette refermeture de l’écoulement est obtenue par une diminution progressive de la section du corps jusqu’à sa pointe arrière.

La sphère, par contre, bien qu’elle soit souvent vue comme un corps assez bien profilé par les débutants en aérodynamique, ne parvient pas, du fait de la trop brusque diminution de ses sections arrière En adjectif arrière est invariable : les roues arrière d'un véhicule, à refermer correctement son écoulement (écoulement que par ailleurs son hémisphère avant avait assez bien ouvert) :


Image Werlé
(sphère au "premier régime" ; le vent vient ici de la gauche)

Cet échec se traduit par un décollement général sur l’hémisphère arrière( comme le montre l’image ci-dessus), avec formation d’une zone tourbillonnaire en nette dépression.
Cette dépression agit alors sur l’hémisphère arrière pour se transformer en force de Traînée aérodynamique.


Ce qui manque donc à la sphère pour être aérodynamique (pour développer une faible Traînée) c’est d’être prolongée par un appendice, un arrière-corps, par exemple une queue conique, comme sur cette image due à Gustave Eiffel :




Source : Aérodynamique Eiffel

(le vent vient ici de la droite)

Eiffel, dans ses premières recherches sur les corps de Traînée minimale,  HYPERLINK \l "eiffel_resist_air_exp__labo_chp_de_mars" publiées en 1910, s’était en effet intéressé à ce type de corps qu’il nommait sphéro-coniques.
Le schéma ci-dessus donne le coefficient de Traînée K de l’époque mais nous y avons adjoint notre moderne Cx sans dimension (ou adimensionnel).

L’élancement de ce corps sphéro-conique, c.-à-d. le rapport entre sa longueur et son diamètre, est ici de 3,33.
Le Cx frontal moderne de ce corps présenté « gros bout en avant », 0,088, est à rapprocher des 0,05 obtenus avec de véritables corps d’Eiffel (aux formes plus progressives).


Définition du Cx :

Encore faut-il définir précisément ce qu’est le Cx d’un corps ! Le Cx d’un corps est défini comme honorant la loi bien connue :

T = ½ÁV² S Cx

& avec T la Traînée aérodynamique, Á la Masse volumique du fluide en écoulement, V la vitesse de cet écoulement, S une surface de référence et Cx le fameux coefficient de Trainée.

On en déduit la définition du Cx universellement adoptée (de nos jours), :

Cx =  EQ \f(T;½ ÁV2 S)

& définition où T est la Traînée aérodynamique (projection de la résultante des forces aérodynamique sur la direction de l écoulement), Á la Masse volumique du fluide, V la vitesse de l écoulement loin du corps, S la surface de référence, l’ensemble étant exprimé en unités cohérentes (par exemple N, Kg/m3, m/s et m2).
Ce Cx n’a pas de dimension (il est adimensionnel), c.-à-d. qu’il ne représente pas des mètres carrés, des euros ou des newtons.


Assez souvent, la surface de référence S choisie est la section frontale du corps (sa projection avant-arrière ou maître-couple), mais il arrive qu’on adopte d’autres surfaces de référence (nous y reviendrons)…
Quoiqu’il en soit d’ailleurs du choix de cette surface de référence, il est impératif de toujours en faire état sans ambiguïté. Dans ce texte, par exemple, lorsque nous parlerons du Cx frontal d’un corps, c’est parce que ce Cx a été établi en référence à la section frontale de ce corps.

À ces conditions, la connaissance du Cx d’un corps peut réellement être utile à la réflexion : elle permet par exemple de comparer la Traînée aérodynamique de deux corps de même forme mais de dimensions différentes (une grosse boule et une petite boule, par exemple) : en s’intéressant au Cx d’un corps, on s’affranchit donc, autant que faire se peut, de sa taille pour ne se concentrer que sur sa forme, ce qui peut être assez pratique.


Nous disions plus haut que la définition de notre Cx moderne adimensionnel est à présent universellement reconnue sur notre planète ; nous pourrions dire plus encore : que cette définition du Cx est probablement la même dans tous l’Univers ! En effet, le fait qu’elle soit adimensionnelle la préserve de toute influence des étalons locaux (étalons de forces ou de surface, par exemple). À cet égard, la courbe ci-dessous qui relate le Cx de la sphère en fonction du Nombre de Reynolds (nous y reviendrons) est valide dans toutes les civilisations de l’Univers :


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CX_SPHERE.png
Merde, pourquoi la définition de cette image (png, à l’origine) est-elle si médiocre Je l’ai copiée ci-dessus en jpg (c’est un peu meilleur) ?

(la publication de cette courbe a été effectuée avec la collaboration de Matthieu Barreau : le graphe fait également état du Cx de différentes balles de sport, de sphères plus ou moins rugueuses ou de différentes gouttes de brouillard ou de pluie)

Rappelons au passage la définition du Nombre de Reynolds : C’est le nombre sans dimension qui caractérise le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité existant dans l’écoulement d’un fluide autour d’un corps.

Sa définition mathématique est :

Re =  EQ \f(UD; ½) ,
& où :
U est la vitesse de l écoulement loin du corps
L est la dimension caractéristique du corps
½  est la viscosité cinématique du fluide

La viscosité cinématique du fluide est le quotient de sa viscosité dynamique par sa Masse Volumique. Pour l air, elle vaut, au niveau de la mer, 1,46 10-5 m²/s.


Valeur approchée du Reynolds :
Nous devons à nos camarades d’ HYPERLINK \l "inter_action_free" Inter Action la très commode simplification suivante permettant de calculer facilement le Reynolds d’un écoulement dans l’air, pour des applications courantes :

Re = 70 000 U L , U étant exprimé en m/s et L en mètres.


Revenons-en à notre  HYPERLINK \l "not_courbe_cx_sphere_wiki" graphe du Cx frontal de la sphère pour faire remarquer que le Cx de la sphère lisse (courbe rouge) ne peut être considéré comme à peu près constant que dans une plage limité du Nombre de Reynolds (disons de 10 000 à 300 000  ).

Remarquons surtout que, pour les Reynolds plus fort que ces 300 000, ce Cx de la sphère lisse connaît une brusque chute : c’est la fameuse crise de Traînée de la sphère (qui fut découverte par Eiffel et expliquée ensuite par Prandtl) : Sur une très petite plage de Reynolds (qui correspond, par exemple, à une augmentation de vitesse de 33 %) le Cx de la sphère est divisé par plus de cinq ! 
Que se passe-t-il sur cette plage ?
Il se passe que ce changement de Reynolds correspond à un changement du régime d’écoulement sur la sphère : on dit que la sphère passe, lorsque le Reynolds augmente, de son premier régime à son deuxième régime. Et à ce deuxième régime, on constate qu’elle s’est improvisé un certain carénage de culot :


Image Werlé
(sphère au deuxième régime ; le vent vient ici de la gauche)
(à comparer avec l’image de la sphère au premier régime  HYPERLINK \l "sphere_prem_reg_werle" déjà montrée)

Et cet auto-carénage a pu se faire parce que la Couche Limite qui entoure la sphère a réalisé sa transition depuis un régime laminaire (où toutes les couches de fluide de cette Couche Limite sont parallèles les unes aux autres) jusqu’à un régime turbulent (où le fluide de la Couche Limite est agité de tourbillons aléatoires).


Nous n’avons pas assez, jusque là, parlé de la Couche Limite.
Comme nous avons dressé un premier portrait de la Couche Limite dans notre texte  HYPERLINK \l "not_text_cx_sphere" LE Cx DE LA SPHÈRE selon son Reynolds et sa rugosité, nous ne nous étendrons pas plus que strictement nécessaire sur cette question dans le présent texte.


Sur l’image ci-dessous, on aperçoit l’épaisseur de la Couche Limite autour d’un corps profilé.
La zone où la Couche Limite effectue sa transition est indiquée, ainsi que la partie où la Couche Limite est devenue turbulente :



Image francisée, tirée de THE CALCULATION OF THE VISCOUS DRAG OF BODIES OF REVOLUTION
by Paul S. Granville, report 849, NAVY DEPARTMENT Washington

Pour nous, ladite zone de transition pourra être considérée comme réduite à un point .
D’autre part, cette zone de transition est d’autant plus en avant du corps (proche de son point d’arrêt) que son Reynolds est grand (donc sa vitesse) et que l’écoulement est turbulent (en particulier du fait de la présence d’une hélice).

Ce schéma montre que la Couche Limite devient très épaisse à l’arrière du corps fuselé. Il ne faut cependant pas prendre cet épaississement pour un décollement de l’écoulement car ce n’est pas le cas (du moins au culot d’un tel corps fuselé).
L’épaississement de la Couche Limite, à mesure que l’écoulement s’éloigne du point d’arrêt est tout à fait obligatoire et se produit d’ailleurs même sur les deux faces d’une simple plaque plane parallèle à l’écoulement.
Ceci étant, un phénomène simple, quasi-géométrique, exagère cet épaississement à la pointe des corps fuselés (voir à ce sujet notre texte  HYPERLINK \l "not_text_aero_corps_eiffel" Aérodynamique des Corps d Eiffel ) : nous ne tiendrons pas compte ici de ce phénomène.
Pour mémoire, une loi mathématique qui reflète correctement l épaisseur ´ d une Couche Limite turbulente sur une plaque plane (parallèle à l écoulement) est celle-ci :

´ = x*0,154 / Rx1/7 

& avec x l abscisse de l écoulement mesurée depuis l avant de la plaque et Rx le Nombre de Reynolds basé sur cette abscisse x (et bien sûr la vitesse de l écoulement).
Nous verrons plus loin qu Hoerner, pour les cas qui nous intéresse ici, propose une équation plus simple donnant cette épaisseur de la Couche Limite…



Profil de la Couche Limite :

Nous venons de suggérer qu’il existe deux types de Couche Limite : la Couche Limite laminaire et la Couche Limite turbulente. Proposons une comparaison des profils de vitesses dans ces deux types de Couches Limites, ces deux Couches Limites étant censées posséder la même épaisseur ´ et la même vitesse Uext en leur sommet :

 SHAPE \* MERGEFORMAT 

Sur ce schéma, le corps est hachuré et sa surface coïncide avec l axe des vitesses. Les flèches bleues et rouges ou tout autre symbolisme représentent la vitesse de l air à différentes distance y de la surface du corps en Couche Limite laminaire ou turbulente.
La distance ´ représente l épaisseur de la Couche Limite.
On note qu à y = ´ les vitesses bleue et rouge ou tout autre symbolisme valent H" Uext (ce qui est la définition de la Couche Limite ).
Au dessus de ´, la vitesse de l écoulement est, bien sûr, quasiment Uext.

Ce qui est important, c est de noter sur ce schéma que le profil de la Couche Limite turbulente (en rouge) est beaucoup plus "plein" que celui de la Couche Limite laminaire.


Nous venons de présenter une comparaison des profils des Couches Limites laminaire et turbulente, mais il est nécessaire de dire que le profil de la Couche Limite turbulente est un profil moyen, puisque cette Couche Limite turbulente est animée de fortes turbulences en son sein.
À titre d’exemple, citons le  HYPERLINK \l "module_1_arts_et_metiers_paris_tech_c_l" chapitre 4 du module 1 de l’UEE d’Arts & Métiers ParisTech qui donne ces représentations du profil de vitesse dans la Couche Limite turbulente à des instants espacés régulièrement dans le temps puis réunies dans le même schéma :


Tiré de :  HYPERLINK \l "module_1_arts_et_metiers_paris_tech_c_l" LA COUCHE LIMITE EN AÉRODYNAMIQUE, par Jean-Christophe ROBINET, Christophe CORRE 2009 – 2010

Les auteurs notent :
«L’évolution de l’écoulement [dans la Couche Limite] semble aléatoire. Cependant, si on superpose ces profils successifs, on peut faire apparaître un profil de vitesse moyen autour duquel l’écoulement fluctue au cours du temps. »

C’est ce profil moyen de vitesse que les mécaniciens des fluides retiennent donc pour la Couche Limite turbulente.



Une propriétés particulière de la Couche Limite turbulente :

Prandtl a expliqué la crise de Traînée de la sphère par la transition de sa Couche Limite (depuis le régime laminaire jusqu’au régime turbulent). Bien que ce phénomène de transition soit complexe, il est possible de le résumer par l’une de ses conséquences : La Couche Limite turbulente s’oppose beaucoup plus fortement au décollement de l’écoulement sur l’arrière des corps.
En simplifiant beaucoup, on dit parfois que cette Couche Limite turbulente est beaucoup plus visqueuse que la Couche Limite laminaire.
Donc, pour en revenir à la sphère, lorsque le Reynolds de l’écoulement sur la sphère dépasse le seuil de  HYPERLINK \l "not_courbe_cx_sphere_wiki" 300 000, la Couche Limite effectue sa transition en avant du point de décollement au premier régime (ce point de décollement, au premier régime, étant situé à 82° du point d’arrêt) : la Couche Limite turbulente s’opposant beaucoup plus fortement au décollement que la Couche Limite laminaire, il y a alors report du décollement vers l’arrière de la sphère avec diminution du diamètre de la zone décollée et donc diminution de la surface de la sphère soumise au ventousage que représente cette zone décollée …

Ce phénomène de transition de la Couche Limite comporte encore des mystères mais on peut dire qu’il s’applique pleinement lors de l’accroissement de Reynolds de l’écoulement sur les corps profilés 2D et 3D : ces corps connaissent donc également une crise de Traînée, à savoir une chute brusque de leur Cx lors de l’accroissement de leur Reynolds !
Ce qui signifie a contrario qu’en dessous d’un certain Reynolds (que l’on appellera le Reynolds critique, ces corps 2D et 3D, même s’ils sont correctement profilés, présentent de très mauvais Cx frontaux du fait de décollements sur leur partie arrière…



Nous comprenons donc mieux pourquoi est-il utile de caréner un corps en déplacement dans un fluide :

Les propos ci-dessus expliquent pourquoi il est important de caréner un corps en déplacement dans un fluide (un véhicule dans l’air ou dans l’eau, par exemple) : si ce corps n’est pas caréné, son aval sera victime de larges décollements de l’écoulement qui s’organiseront sous la forme de tourbillons de culot. Ces tourbillons de culot sont eux-mêmes le siège d’une forte dépression et cette dépression ventousera le corps en limitant sa vitesse et en augmentant sa consommation énergétique.
Bien sûr, il y a des exceptions à cette nécessité de caréner les corps : un parachute ne gagne pas à être caréné (son Cx atteint souvent 1,4) ; de même, les véhicules automobiles actuels ne peuvent pas être convenablement carénés car lorsqu’ils le sont ils déplaisent aux acheteurs (ceux-ci ayant une idée complètement erronée de la forme que doit adopter leur véhicule pour impressionner la galerie et accessoirement pour fendre l’air)…
Nous venons d’ailleurs d’utiliser l’expression fendre l’air : gageons que nos lecteurs commencent à sentir que la difficulté n’est pas tant de fendre l’air (ceci est assez facile) que de refermer cet air après qu’il ait franchi le maître-couple du corps : Ce que l’on va chercher à faire, au fond, c’est de laisser l’air dans l’état où il était avant le passage du corps !
Et ceci est beaucoup plus difficile. Dans les faits, on n’y arrive jamais totalement et il reste toujours, même après le passage du corps le plus aérodynamique, de légers mouvements de l’air : ceux-ci s’organisent sous forme de tourbillons qui ne représentent rien d’autre que l’énergie perdue par ce corps…


Passons à présent à la pratique : comment, par exemple, caréner les excroissances souvent obligatoires de l’avion de croisière : ses roues de trains d’atterrissage fixes !



Carénage des organes 3D tels que les roues de trains fixes. Les corps profilés 3D et le Nombre de Reynolds :

Nous venons de dire qu’en deçà d’un certain Reynolds critique, il se produit des décollement sur l’arrière des corps même correctement profilés.
Pour plus de précision, nous appellerons plage de Reynolds souscritique cette plage où se produisent des décollements sur les corps même correctement profilés.
Le lecteur devine d’ailleurs que pour les Reynolds supérieurs à cette plage souscritique ces corps connaîtront, du fait de la transition de leur Couche Limite jusqu’au régime turbulent, un recollement et une chute très nette de leur Cx.
Plus exactement, ces corps profilés admettent trois plages de Reynolds : la plage souscritique, la plage critique (où le Cx chute très nettement), et la plage supercritique…

Hoerner dresse de la crise des corps 3D de révolution un tableau auquel on doit évidemment attacher une grande valeur, même si le grand homme lui-même confesse le peu de connaissance disponible à l’époque au sujet du régime souscritique :
« Aucun renseignement n’a été trouvé par l’auteur sur les corps fuselés dans la condition réellement souscritique (en dessous de ReL = 105) ». 

Par comparaison avec les ellipsoïdes il propose cependant une équation donnant le Cx laminaire d’un corps 3D en référence frontale :

CxF = CfLam [3(L/D) + 3(D/L)1/2] + 0,33 (D/L) (équation 23)

Dans cette équation (23), le dernier terme, 0,33 (D/L), représente le Cx frontal dû au décollement de l’écoulement.

Prenant acte que la surface mouillée d’un corps profilé de révolution vaut en moyenne 0,75 LP (P étant le périmètre du corps, L sa longueur, p 114 de  HYPERLINK \l "fluid_dynamic_drag_hoerner" Drag), Hoerner transforme alors l’équation (23) en celle-ci donnant le Cx du corps en référence à sa surface mouillée :

CxSm = CfLam [1 + (D/L)3/2] + 0,11 (D/L)2 (équation 24)

…CfLam, le Cf laminaire à adopter ici étant celui donné par Blasius :

CfLam =  EQ \f(1,328; EQ \r(;Re)) , avec bien sûr Re le Reynolds longitudinal.



Hoerner dessine alors la figure 22 p. 112 donnant les Cx souscritique, critique et supercritiques de corps fuselés 3D de divers élancements (Cx référencé à la surface mouillée) :



Les corps d’élancement 1,8 (en jaune à gauche) et 2 (en orange au centre et à droite) sont trop courts pour être comparés à des corps d’Eiffel, mais les autres corps (en bleu clair, bleu dense et noir) rentrent bien dans le cadre de notre étude.
Pour comparaison, sont dessinés les Cf laminaire et turbulent de la plaque plane (courbes en traits mixtes épais).

Les segments de quasi-droites de gauche (en traits continus) représentent l’équation (24) d’Hoerner pour les différents élancements en souscritique.

À droite, les segments de quasi-droites (toujours en traits continus) représentent une autre équation proposée par Hoerner, sous le numéro (28) pour le supercritique :

CxSM = Cf [1 + 1,5 (D/L)3/2 + 7 (D/L)3 ]


Au centre, les courbes pointillées relatent le comportement des corps aux Reynolds « de crise » ; pour les dessiner, Hoerner disposait d’un nombre conséquent de résultats de soufflerie.


Comme précédemment, nous avons effectué le changement de surface de référence donnant accès au Cx frontal de ces corps.
Ce changement est basé sur la règle empirique cautionnée par Hoerner (équation 30, p 114) que le quotient de la surface mouillé sur la surface frontale vaut, en moyenne, 3 L/D : c’est cette règle qu’Hoerner lui-même, selon ses dires, a mis en application pour les courbes laminaires de gauche , ainsi (à notre sens) que pour certaines courbes pointillées et les courbes turbulentes de droite.
De même nous avons converti les Reynolds longitudinaux en Reynolds diamétraux : cela correspond à pratiquer une simple translation horizontale des courbes (au prorata de l’élancement L/D).
Cette fois encore, ce Reynolds diamétral n’a pas de signification physique ; mais il permet d’observer l’évolution du Cx d’un corps selon son élancement pour un certain Reynolds diamétral (c.-à-d. pour un certain diamètre de roue à caréner, par exemple) ; voici le résultat de ces conversions :



Le choix de référencer le Cx à la surface frontale du corps n’autorise plus la comparaison immédiate des courbes de Cx avec les courbes classiques de la friction de la plaque plane. Néanmoins, nous avons fait figurer ci-dessus ces courbes pour chaque élancement L/D (en référence à la surface frontale de chaque corps) : à gauche pour la friction laminaire (courbes vertes en longs tiretés pour L/D = 3 et 5) et à droite pour la friction pleinement turbulente (segments de droites pour L/D =3, 2, 5 et 8).
Il est d’ailleurs satisfaisant de constater que le Cx frontal de friction turbulente est minimum pour l’élancement 3 (segment vert) : pour les élancements plus forts, l’accroissement de surface mouillée apparaît donc comme néfaste.

L’analyse de ce graphe est fort instructive :
En souscritique, d’abord, il apparaît que c’est l’élancement 5 qui est préférable aux élancements 3 et 8 jusqu’au Reynolds 7000 : le gain en CX est cependant léger et il est probable que la masse d’un carénage d’élancement 5 pourrait grever le gain attendu par rapport à un carénage plus léger d’élancement 3.
Au dessus du Reynolds 7000, les élancements 5 et 8 sont toujours préférables à l’élancement 3 (gain en Cx de ~0,035), même si le poids et l’encombrement de tels carénages peuvent se montrer rédhibitoires.

Dans la  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_3d_sub_trans_sup" zone de crise (courbes tiretées, au-dessus du Reynolds diamétral de 20 000), les élancements 5 et 8 sont toujours préférables, même si l’installation d’un anneau rugueux turbulateur sur le corps d’élancement 3 précipiterait sans doute la transition de sa Couche Limite et son accession à des Cx fronteaux plus faibles…
Au-dessus du Reynolds 100 000, par contre, l’élancement 5 ne présente plus qu’un faible avantage par rapport à l’élancement 3.

Dans la  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_3d_sub_trans_sup" partie droite du graphe (au-delà du Reynolds 1,5 Millions), des Cx de 0,04 ou 0,05 sont obtenus naturellement par le corps d’élancement 3 du fait de la transition de sa Couche Limite jusqu’au régime turbulent (c’est une chose classique)…

En conclusion : en dessous du Reynolds 100 000, l’élancement de moindre Traînée frontale n’est pas 3 mais plutôt 5.

Hoerner écrit d’ailleurs, page 6-16 de la version anglaise de son ouvrage  HYPERLINK \l "hoerner_drag_en_français" Drag, sous sa figure 22 : « Si l’on considère la traînée sur la base de la surface frontale, l’élancement optimal L/D serait de 5 au Reynolds longitudinal de 105 [donc au Reynolds diamétral de 2 104]. » 
Ceci dit, des dispositifs turbulateurs pourraient anticiper l’accession d’un carénage d’élancement 3 à des Cx plus favorables (Cx en Couche Limite pleinement turbulente), ce qui permettrait sans doute des gains en poids et en encombrement par rapport à un carénage d’élancement 5…


Carénage des grands organes : trains, jambes de trains, etc. :
Les corps profilés 2D et le Nombre de Reynolds :

Des corps tels que le cylindre et la sphère ne sont pas des cas isolés en aérodynamiques : tous les corps 2D et 3D connaissent la même crise de Cx !
S’agissant des corps profilés 2D (c.-à-d. les profils), Hoerner fait état de cette non-constance du Cx à la page 97 de son ouvrage  HYPERLINK \l "fluid_dynamic_drag_hoerner" Drag, à travers un graphe qui rassemble les données de Traînée, à portance presque nulle, de profils symétriques et d’entretoises fuselés (également symétriques) ; nous avons saisi ce graphe en le limitant aux épaisseurs relatives supérieures à 25 % :



Les ordonnées représentent le Cx référencé à la surface alaire des profils (leur surface portante, c.-à-d. le produit de la corde par l’envergure).

La crise du cylindre (en fuchsia, sur le graphe) a été également représentée sur ce graphe par Hoerner et le lecteur devra reconnaître l’étroite proximité des comportements de tous les autres profils avec celui dudit cylindre, la chute de Cx due à la crise des profils étant cependant plus forte (de l’ordre d’une division par 10, comme on peut le lire) que la chute de Cx existant sur le cylindre.

Hoerner commente ainsi ce graphe :

« a) En dessous [d’un Reynolds basé sur la corde du profil] Rc = 105, c’est la région de l’écoulement entièrement laminaire de la Couche Limite. Des profils avec des épaisseurs relatives moyennes et élevées montrent de forts coefficients de traînée dus au décollement de l écoulement sur la partie arrière. [c est nous qui soulignons]
b) Dans le domaine entre Rc H" 5 104 et H" 5 105, les profils montrent une diminution critique de leur coefficient de traînée, diminution produite par la transition de laminaire en turbulent de l’écoulement dans la couche limite. Avec des profils plus épais, le coefficient tombe jusqu’au 1/3 ou même le 1/10 de la valeur atteinte en-dessous du nombre de Reynolds critique. […]
c) […] Avec un écoulement laminaire le long de la partie avant, le coefficient de traînée varie proportionnellement au coefficient de traînée de frottement laminaire sur la plaque plane [c.-à-d. parallèlement à la droite vert fluo, ce qui est plus particulièrement net pour les profils les plus minces que nous avons exclus de ce graphe par raison de simplification ].
d) Puis vient une autre phase critique (au voisinage de Rc = 106). Ici, le point de transition se déplace régulièrement en avant, augmentant ainsi le coefficient de traînée, d’une façon analogue à celle du coefficient de frottement [c.-à-d. en suivant la courbe de transition]. »

Une chose que l’on peut effectivement remarquer sur ce même  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_sub_trans_et_supercrit" graphe, c’est que le début de la crise de tous les profils qui nous intéressent (d’épaisseur allant de 25 à 66 %) se produit à un Reynolds à peu près constant (à peu près 0,1 million), ceci bien que la survenue de cette crise soit évidemment très liée à la turbidité de l’écoulement dans les souffleries utilisées. Sur nos aéronefs, la survenue de cette même crise sera également précipitée à cause de la turbulence du souffle de l’hélice et de la proximité d’autres corps.


En marron tireté, nous avons ajouté la courbe du Cx souscritique que présenterait, selon Hoerner , un profil d’épaisseur relative 30 % (soit un élancement de 3,33 , assez proche de l’élancement optimum des corps d’Eiffel 2D en pleinement turbulent : on voit qu’ici, en souscritique, le Cx de ce profil de 30 % est très élevé (> 0,1 en référence à la surface alaire, ce qui fait > 0,33 en référence frontale) : c’est normal puisqu’il y a décollement de l’écoulement sur l’arrière du corps. …

Toujours sur ce même  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_sub_trans_et_supercrit" graphe, le lecteur aura noté la présence des courbes donnant la friction sur la plaque plane en fonction du Reynolds (friction en régime laminaire à gauche en vert fluo, et en pleinement turbulent en bleu à droite).
Ces deux courbes constituent comme d’habitude des limites pour les profils lorsqu’ils deviennent très minces .


À la page 99 du même ouvrage Drag, Hoerner écrit encore :

« Les haubans fuselés et les mâts de compression  […] sont souvent utilisés dans le domaine des nombres de Reynolds relativement bas. […] le décollement laminaire a lieu [sur l’arrière de ces corps] dans cette plage [de Reynolds], et la traînée est essentiellement due aux différences de pression. »

Ainsi que nous l’avons dit, le  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_sub_trans_et_supercrit" graphe d’Hoerner ci-dessus rassemble les Cx de profils 2D calculés en référence à la surface alaire de ces profils (produit de la corde par l’envergure), mais il nous est beaucoup plus facile qu’il l’était à Hoerner de proposer pareillement le graphe des Cx frontaux des mêmes profils :


attention au tracé orange dans Word
Contraste augmenté à 70 %, luminosité passée à 47 % et « Encadré » dans « Bordure et trame ».

À nouveau la courbe en gros tiretés marron représente l’épaisseur relative 30 % (élancement 3,33).

Il est patent qu’à la droite de ce graphe tous les profils qui nous intéressent voient leur Cx frontal supercritique réduit à presque rien (en dessous de 0,05 ce qui représente d’ailleurs une valeur un petit peu trop faible en regard de la courbe 2 du graphe classique) :



On pourrait d’ailleurs penser, à lecture du graphe précédent, que les Cx supercritiques de tous les profils d’épaisseur relative inférieure à 25  % vont se valoir (en adoptant la valeur plancher de 0,05) ; mais ce serait une erreur, car il y a un optimum d’épaisseur pour ce qui est d’obtenir une moindre traînée en supercritique à surface frontale donnée (cet optimum d’épaisseur relative tourne autour de 1 / 3,5, comme l’indique la courbe ( du  HYPERLINK \l "graphe_guilie_cx_corps_eiffel_selon_el" graphe classique soit 29 % d’épaisseur relative) .


Ce comportement supercritique rappelé, et si l’on en revient au  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_sub_trans_super" graphe ci-dessus mais dans sa partie gauche (souscritique), on peut noter que les Cx y sont incomparablement plus forts qu’en supercritique (d’un facteur 8, en ordre de grandeur).


Il est quand-même visible que le Cx frontal souscritique d’un corps fuselé d’épaisseur relative 30 % (soit un élancement de 3,33), par exemple, se fait quand-même très inférieur au Cx souscritique d’un cylindre (grosso-modo d’un facteur un peu supérieur à 3), ce qui signifie que caréner un hauban cylindrique même avec un carénage d’élancement non optimal va diviser son Cx frontal par plus de 3 en souscritique, (en tenant compte du fait que le Reynolds longitudinal de ce carénage est trois fois plus fort que le Reynolds diamétral du hauban cylindrique).
À titre d’exemple, le tracé orange ci-dessus symbolise le profilage d’un hauban cylindrique de Reynolds diamétral 3 104 par un carénage d’élancement 3,33 (et donc de Reynolds longitudinal nécessairement multiplié par ces 3,33) : la longueur de la flèche correspond à une multiplication du Reynolds par 3,33 et le Cx final se trouve au bas de la verticale orange de droite, un peu au dessus du prolongement de la courbe de l’épaisseur 30 % (ou élancement 3,3) :
Avec ce carénage, le Cx passe donc de ~ 1,2 à ~ 0,34, ce qui n’est pas à dédaigner…


Cependant, afin de faciliter la réflexion sur le carénage des cylindres, il nous est aisé de tracer un graphe dont les abscisses seraient les Reynolds frontaux (basés sur l’épaisseur des cylindres à caréner et donc des profils).
Bien sûr, ce Reynolds frontal n’a alors plus de signification physique, mais il permet de simplifier l’étude du carénage d’un cylindre de diamètre donné (et donc de Reynolds diamétral donné) ; voici ce graphe :



Ce graphe est tiré du précédent par simple translation horizontale des courbes (translation inversement proportionnelle, pour chaque profil, à son épaisseur relative).
Nous y avons fait figurer en jaune le Cx frontal des carénages 2D d’épaisseur relative optimale selon le Reynolds basé sur l’épaisseur (Cx frontal minimal qu’on peut obtenir en adoptant l’épaisseur relative optimale pour chaque Reynolds basé sur l’épaisseur, nous y revenons plus bas).
Nous avons également fait figurer, en vert, le Cx frontal de la palette, proche de 2.


Cette réduction du Cx frontal des cylindres par carénage n’est, semble-t-il, mise en œuvre sur le Piper Cub que pour les corps de grande épaisseur frontale (fourreaux souples visibles entre les roues dans le médaillon qui renferment les sandows de suspension du train principal classique) :


D’après Wikipédia (Piper Cub)

…mais pas pour les petits cylindres qui les prolongent…


Un autre exemple classique de réduction de Traînée de corps 2D est évidemment le profilage des haubans de monoplans (que l’on peut deviner également sur le Piper Cub ci-dessus).
Voici un exemple de profilage de tels haubans en cours de réalisation par Thierry Pujolle pour son ULM :


 HYPERLINK "http://www.ulminimalist.sitew.com/#Projet_minimaliste.B" http://www.ulminimalist.sitew.com/#Projet_minimaliste.B

Dans la vignette, on voit les haubans cylindriques avant leur profilage (donc de Cx ~ 1,2) lors d’un essais de charge sous sacs de sables…


Mais revenons-en au HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_sub_super_re_ep"graphe d’Hoerner remis en forme par nous. Devant l’importance des Cx souscritiques par rapport aux Cx supercritique , Hoerner constate l’inadéquation de la forme profilée classique (qui est celle des corps d’Eiffel 2D) en écrivant (toujours p. 99 de  HYPERLINK \l "fluid_dynamic_drag_hoerner" Drag) :
« On suppose qui ni les formes fuselées conventionnelles, ni les profils elliptiques ne sont optima dans cette plage de nombre de Reynolds. Des formes plus efficaces pourraient être développées chaque fois que des applications en valant la peine se présenteraient »
Le maître continue ses investigations en proposant des équations (tirées comme toujours de réflexions théoriques et de constats effectués en soufflerie).
Page 105, il les résume par un graphe (consacré aux seuls carénages 2D de cylindres), graphe donnant l’épaisseur relative e/c optimale (de moindre Traînée) selon le Reynolds longitudinal de l’écoulement (Reynolds basé sur la corde du carénage, donc).
Nous avons effectué la conversion de ce Reynolds longitudinal en Reynolds basé sur l’épaisseur du cylindre à caréner (ce cylindre pouvant d’ailleurs être un prisme à base carrée) :


Contraste augmenté à 70 % dans Word

À gauche de ce graphe, en souscritique, apparait en trait mixte bleu dense l’équation 11 de la même page 105 du Hoerner Drag, équation censée représenter l’optimum de l’épaisseur relative e/c en souscritique :
D’après nous, Hoerner (ou son collaborateur) a mal dessiné cette courbe mathématique sur ce graphe. Ce qui explique l’écart entre la courbe rouge (représentant l’épaisseur optimale telle que voulue par le maître) et la courbe mathématique bleu dense (les deux étant converties ici en Reynolds diamétraux). Cet errement minime est sans importance. 

À droite du graphe, en régime délibérément supercritique, Hoerner préconise une épaisseur optimale de 27 % (tiretés bleu dense, soit un élancement c/e de 3,7, assez proche de celui prôné par le HYPERLINK \l "graphe_guilie_cx_corps_eiffel_selon_el"graphe classique (courbe nommée « Mâts torpédo »).

À gauche du graphe, la courbe verte représente le Cx frontal souscritique à attendre du carénage d’épaisseur relative optimale selon le Reynolds basé sur l’épaisseur : ce Cx doit être lu sur l’axe de droite. Pour déterminer cette courbe des Cx nous avons utilisé l’équation (2) proposée par Hoerner à la page 99 de Drag .


Dans le domaine critique des Reynolds, au centre  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" du graphe, des réserves doivent évidemment être posées concernant l’utilisation pratique de ces courbes puisque c’est la transition de la Couche Limite sur le carénage qui va commander l’évolution du Cx : dans le doute, ou en l’absence de résultats, des dispositifs turbulateurs devront être utilisés pour forcer cette transition.


Toujours sur ce  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" même graphe, nous avons reporté en bas à droite en vert le Cx frontal supercritique du carénage 2D (à lire également sur l’axe de droite). L’évolution de ce Cx supercritique est légèrement décroissante avec le Reynolds…
Cette courbe verte supercritique est calée sur l’ordonnée 0,05 tirée de la  HYPERLINK \l "graphe_guilie_cx_corps_eiffel_selon_el" courbe classique (mât torpédo) à l’abscisse 0,18 millions (Reynolds basé sur l’épaisseur).

Il apparaît que les deux courbes vertes des Cx sous et supercritique de  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" notre graphe se visent raisonnablement. De fait, dans la zone critique (entre ces deux courbes vertes), un relevé des Cx des profils optimaux 12 % au Reynolds 2 104 et 25 % au Reynolds 1,4 105 sur le  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_sub_super_re_ep" graphe général des Cx frontaux (selon les Reynolds basés également sur l’épaisseur) donne des marques (en  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" vert fluo) qui assurent une continuité raisonnable entre les deux courbes vertes.
Il convient d’ailleurs de se remémorer que ce même  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_cx_front_sub_super_re_ep" graphe général est établi d’après des profils sans turbulateurs et que des turbulateurs décalerait les deux marques  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" vert fluo vers la gauche  : la crise des profils dans cette zone critique pourrait donc créer une discontinuité (favorable) entre les deux courbes vertes (avec un moindre Cx pour un certain Reynolds).

Force nous est cependant de constater que s’il nous informe dans  HYPERLINK \l "graphe_hoerner_ep_opt_carenage2D" ce graphe des épaisseurs relatives optimales des carénages 2D en souscritique Hoerner ne nous éclaire pas tellement sur les formes idéales à leur donner : en l’absence d’autres renseignements, on s’en tiendra donc à des homothéties de la forme classique.

En page 102 de son ouvrage  HYPERLINK \l "fluid_dynamic_drag_hoerner" Drag, Hoerner propose en effet une définition graphique des formes de moindre Traînée. La voici :

 SHAPE \* MERGEFORMAT 
La construction de l’avant-corps est évidemment celle d’une ellipse, la construction de l’arrière-corps celle d’un cosinus ; les points de l’arrière-corps construits ci-dessus sont régulièrement espacés (de la longueur l ) et issus des rayons verts régulièrement espacés également, angulairement parlant.

Il apparaît que selon le choix de la longueur k par rapport à l , on peut placer l’épaisseur maximale où on le désire, ceci bien qu’un placement au tiers de la longueur du corps soit le plus souvent rencontré.

Si l’on préfère manipuler des chiffres, la formulation analytique de l’extrados de l’avant-corps est :

Y =  EQ \f(0,5*EpRelat;XépMax)  EQ \r(;2X*XépMax –X²)

…où EpRelat est l’épaisseur relative du profil (par exemple 0,25) et XépMax est l’abscisse relative de l’épaisseur maximale du profil (par exemple 0,33).

La formulation de l’extrados de l’arrière corps est :

Y = 0,5*EpRelat Cos[  EQ \f((XépMax – X) À;2 (1-XépMax)) ]

& X prenant des valeurs entre 0 et 1 (Y se trouvant alors calculé en demi-épaisseur relative, c.-à-d. prenant des valeur entre 0 et EpRelat/2)


Nous avons demandé à notre tableur de dessiner la forme ellipsoïdo-sinusoïdale ainsi définie. Voici le tracé que nous obtenons pour un corps d’élancement 3 dont l’épaisseur maximale est située au tiers de la longueur :



Bien que cela ne soit guère pédagogique, nous livrons ci-dessous, dans la langue d’Excel, la formulation permettant le dessin de l’extrados de ce corps idéal (l’intrados lui étant symétrique) :

SI(D65h hÊK­0J5\h~\ÌhÊK­0J5\hú hÊK­5hÊK­h|hÊK­5CJaJ hÊK­5(DFHJLNhjntv¦VZ\^†–šœÒîòô%,OPQVWX\`abehijˆïëãØëÔëãÍÈëÄ븯ë«ëãë§ëãëÔ뢛¢”›¢ëˆë„|r„nhtsNhÕ-¯h’-55H*hÕ-¯h’-55h’-5 ht0ò5H* ht0ò5 hÊK­5H* hð_œhÊK­ hÊK­5hÞ+çhÊ!ªhÊK­0J5\h~\ÌhÊK­0J5\h!Y häAq5 häAqhäAqhäAqh|hÊK­CJaJhú hÊK­5hÊK­jhô/hÊK­5CJU\)JLeåæçºÚ Û ‘"’"“"Å$Æ$È$þ$Ž%%‡&ÌÇÇÇÅÅÅÅÅÅÅÅÅŹ©¹ÅÅ$„5„]„5`„a$gdvLÞ $„`„a$gdíkûgdÊK­2„0„ „êÿ$d%d&d'dNÆÿOÆÿPÆÿQÆÿ]„0^„ `„êÿgdÊK­ˆ•–½Ýâäåæçöùú'/GYf–£¹º  * 8 V m n o p q r ÷óïëïëçß×ÏÇÏÇϽµÏ¨Ï “Ï Ï Ï‹ƒ‹ß‹{‹ß‹n`h¨1Àh¨1À5B*H*phh¨1Àh¨1À5B*phhäAqB*phhœpkB*phh¨1ÀB*phhäAqhzî6B*phhzîB*phh?{h×xè6B*phh!Y B*phht0ò5B*phht0òB*phh×xèB*phh’-5B*phh/WMB*phhÊK­hœpkh’-5htsNhtsNhtsN6%r s z {  š › œ  ¢ Ä Ì Î Ò Ù Ú þ ÿ !!!!!ˆ!¤!¥!°!±!å!ü!ý!þ!""""÷ê÷â÷ÕÇ÷¿÷ê÷â÷·¯§¯šŒ¯§¯„|¯|„|oa|¿|¿h¸nËh¸nË5B*H*phh¸nËh¸nË5B*phh¸nËB*phhX ˜B*phht0òht0ò5B*H*phht0òht0ò5B*phhh\…B*phht0òB*phh×xèB*phhäAqB*phh¨1Àh¨1À5B*H*phh¨1Àh¨1À5B*phh/WMB*phh¨1Àh¨1À>*B*phh¨1ÀB*ph#"!"9":";"?"G"p"""‘"’"“"Å"Æ"Ç"Ð"Ý"####S#T#U#Z#o#{#|#„#ž#7$÷ê÷âÚÒÚâÚʺ⭟â”⌄Œ|oa|Y|Q|º|hT®B*phh»H‘B*phh…^ãh…^ã5B*H*phh…^ãh…^ã5B*phh…^ãB*phhh*3B*phhh\…B*phh…^ãhäAqB*phhäAqhäAq5B*H*phhäAqhäAq5B*phhãGüB*phh×xèB*phht0òB*phh?{B*phh¸nËB*phhäAqB*phhÇxshÇxs>*B*phhÇxsB*ph7$B*UphhäAqB*phh»H‘B*phhíkûB*phh…^ãh…^ã5B*H*phh…^ãh…^ã5B*phh…^ãB*phhT®B*ph‡&ˆ&m'n''' ((v(Î($)&)4*5*6*U*;+›hÝo™CJaJhÝo™3*4*6*U*s*t*—*˜*™*¥*¦*+L+O+P+b+e+i+j+n+t+v+w+x+Œ++¸+¹+º+¿+Ä+ùõéàÓàÃÓ¸Óଠ–à–à–à–à–àŒõwõlwf]hcgšhÝo™0J(
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