Exo1 Etude d'un oscillateur 5,5 pts Correction
On observera le phénomène de résonance lorsque le résonateur est excité par ...
Si la masse double alors la fréquence de vibration est divisée par racine de 2.
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Correction 09/2005 Polynésie EXERCICE I : ÉTUDE D'UN OSCILLATEUR (5,5 points)
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I - L'oscillateur harmonique http://labolycee.org ©
1. Le système étudiée est la masse. L'étude du mouvement de la masse est réalisée dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
La masse est soumise à 3 forces:
le poids EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4 vertical vers le bas , appliqué en G
la réaction du rail EMBED Equation.DSMT4 , verticale vers le haut car la masse se déplace sans frottement, appliquée en C.
La force de rappel du ressort EMBED Equation.DSMT4 , horizontale orientée vers le point O: EMBED Equation.DSMT4 = k.x. EMBED Equation.DSMT4 , appliquée au point A.
2. La deuxième loi de Newton, appliquée à la masse donne:
EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4
En projection suivant l'axe horizontal (Ox) orienté selon le vecteur unitaire EMBED Equation.DSMT4 , il vient:
0 + 0 k.x = m.ax = m. EMBED Equation.3
soit EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = 0
On constate que l'équation différentielle du mouvement s'écrit bien:
EMBED Equation.3 avec EMBED Equation.DSMT4
3. Montrons que l'expression x(t) = A.sin((0 t+ EMBED Equation.DSMT4 ) est solution de cette équation différentielle:
EMBED Equation.3 = A.(0.cos((0.t + EMBED Equation.DSMT4 )
EMBED Equation.3 = A.(0².sin((0 t + EMBED Equation.DSMT4 ) = (0².x
En reportant dans l'équation différentielle:
EMBED Equation.3 (0².x + (0².x = 0.
L'expression x(t) = A.sin((0 t + EMBED Equation.DSMT4 ) est bien solution de l'équation différentielle du mouvement.
4. Les conditions initiales sont: à t = 0 s, x0 = 2 cm et EMBED Equation.DSMT4 = 0
donc: x(0) = x0 = A.sin( EMBED Equation.DSMT4 )
et EMBED Equation.DSMT4 = 0 = A.(0.cos( EMBED Equation.DSMT4 ) donc cos( EMBED Equation.DSMT4 ) = 0 soit EMBED Equation.DSMT4 = ( ( / 2
Or x0 et A sont positifs donc sin( EMBED Equation.DSMT4 ) > 0 donc la seule valeur de EMBED Equation.DSMT4 possible est: EMBED Equation.DSMT4 = + ( / 2
Et x0 = A.sin((/2) soit x0 = A = 2 cm
Finalement, en exprimant x(t) en cm: x(t) = 2 sin((0.t + (/2) = 2 cos((0.t)
x(t) = 2 cos((0.t)
5. La période propre To des oscillations est telle que: x(t) = x(t + To)
cos((0.t) = cos((0.t + (0.To)
Une solution est: (0.To = 2( (modulo 2()
Donc: To = EMBED Equation.3 finalement: To = EMBED Equation.3
II - Etude énergétique
1. Soit EMBED Equation.DSMT4 une force extérieure appliquée au ressort qui maintienne le ressort avec un allongement x constant. Cette force est opposée à la force EMBED Equation.DSMT4 de rappel du ressort, donc EMBED Equation.DSMT4 = k.x. EMBED Equation.DSMT4
Pour provoquer un allongement supplémentaire très petit (x de l'extrémité du ressort (pour lequel EMBED Equation.DSMT4 est restée constante), il faut fournir le travail élémentaire (W tel que:
(W = EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.3 =k.x. EMBED Equation.DSMT4 . (x. EMBED Equation.DSMT4 = k.x.(x
Par intégration, le travail W effectué par la force EMBED Equation.DSMT4 pour un allongement x à partir de l'origine O est alors:
W = EMBED Equation.3 = ½.k.x² avec k constante.
Par méthode graphique:
Le travail élémentaire (W correspond à l'aire du petit rectangle, en gris foncé, de hauteur k.x et de largeur (x.
Le travail W correspond à l'aire du triangle en gris clair,
dont les cotés ont pour longueur x et kx.
Soit W = ½.k.x²
W est la somme des aires des petits rectangles.
2. L'énergie potentielle élastique Epe du système {masse - ressort} est égale au travail W de la force EMBED Equation.DSMT4 soit:
Epe = ½.k.x²
à une constante additive près choisie nulle ici.
3. L'expression de l'énergie cinétique est Ec = ½.m.vx²
L'expression de l'énergie totale du système est: Em = Ec + Epe = ½.m.vx² + ½.k.x²
4. L'énergie mécanique du système reste constante car la masse oscille sans frottement sur le rail.
À l'instant initial pour lequel x = x0 et vx = 0 m.s-1:
Em = ½ . k . x0²
III - application a la molecule de chlorure d'hydrogene
1. On a: To = EMBED Equation.3 .
Il faut exprimer m la masse d'un atome d'hydrogène en fonction des données. La masse molaire atomique est la masse d'une mole d'atomes d'hydrogène, soit la masse de NA atomes d'hydrogène.
Donc m = EMBED Equation.DSMT4 .
Alors To = EMBED Equation.3 Attention M à exprimer en kg.mol1
To = EMBED Equation.3
To = 1,13(1014 s
2. On observera le phénomène de résonance lorsque le résonateur est excité par une onde électromagnétique de fréquence EMBED Equation.DSMT4 égale à 1 /To:
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = 8,82.1013 Hz calcul effectué avec la valeur non arrondie de T0
3. Dans le vide, on a la relation: EMBED Equation.DSMT4 soit ( = c ( To
( = 3,00(108(1,13.10-14 = 3,40(106 m = 3,40 (m. calcul effectué avec la valeur non arrondie de T0
Sachant que les longueurs d'onde, dans le vide, des ondes lumineuses sont comprises entre 400 nm (violet) et 800 nm (rouge); soit 0,400 (m et 0,800 (m, la radiation de l'onde excitatrice correspond au domaine de l'infrarouge car ( > 0,800 (m.
4. Soit m' la masse du deutérium qui est le double de la masse de l'hydrogène: m' = 2.m, alors:
T 'o = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.DSMT4 .To.
La fréquence propre de vibration EMBED Equation.DSMT4 ' est alors: EMBED Equation.DSMT4 ' = EMBED Equation.DSMT4 ;
EMBED Equation.DSMT4 ' = EMBED Equation.DSMT4
Si la masse double alors la fréquence de vibration est divisée par racine de 2.
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G
O
x
EMBED Equation.DSMT4
A
C
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
kx
(x
EMBED Equation.DSMT4
x
x
T
O
x
x
O
T = k.x
EMBED Equation.DSMT4
