Cours d'initiation aux Statistiques
Un troisième type de Stats à la charnière entre S descriptives et inférentielles a
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Cours dinitiation aux Statistiques
(les termes anglais sont entre parenthèses et en italiques)
TOC \h \z \t "Titre 2;1;Titre 3;2" HYPERLINK \l "_Toc67298790" STATISTIQUES DESCRIPTIVES PAGEREF _Toc67298790 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc67298791" Distribution normale PAGEREF _Toc67298791 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc67298792" PROBABILITÉS PAGEREF _Toc67298792 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc67298793" Distribution binômiale PAGEREF _Toc67298793 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc67298795" STATISTIQUES INFÉRENTIELLES PAGEREF _Toc67298795 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc67298796" TEST DHYPOTHÈSE SUR UNE MOYENNE PAGEREF _Toc67298796 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc67298797" Distribution de t PAGEREF _Toc67298797 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc67298798" TESTS DHYPOTHÈSE SUR LA DIFFÉRENCE ENTRE 2 MOYENNES PAGEREF _Toc67298798 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc67298799" INTERVALLES DE CONFIANCE PAGEREF _Toc67298799 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc67298800" PUISSANCE DE TEST PAGEREF _Toc67298800 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc67298801" ANOVA À UN FACTEUR (one-way) PAGEREF _Toc67298801 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc67298802" Comparaisons post-hoc PAGEREF _Toc67298802 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc67298803" ANOVA À DEUX FACTEURS (two-way) PAGEREF _Toc67298803 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc67298804" CORRÉLATION PAGEREF _Toc67298804 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc67298805" Régression et prédiction PAGEREF _Toc67298805 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc67298806" Interprétation de r PAGEREF _Toc67298806 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc67298807" Coefficient de détermination PAGEREF _Toc67298807 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc67298808" Inférences sur la significativité du r PAGEREF _Toc67298808 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc67298809" CHI-2 (Ç2 ; chi-square) PAGEREF _Toc67298809 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc67298810" Applications du Ç2 PAGEREF _Toc67298810 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc67298811" STATISTIQUES NON-PARAMÉTRIQUES PAGEREF _Toc67298811 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc67298812" Coefficient de corrélation de Spearman (rs) PAGEREF _Toc67298812 \h 25
Létymologie ne nous apprend pas grandchose : « status »
Utilisées dans le passé pour la collecte des impôts par les états, les Stats prennent une importance majeure dans la recherche moderne. Ex : en 1987, la FDA donne le feu vert pour la mise sur le marché de lAZT en un temps record de 21 mois de recherche clinique (au lieu des ~9 ans habituels) étant donné la situation dramatique des victimes du SIDA. LAZT avait des effets secondaires mais la preuve statistique dune réduction du nombre de morts justifiait son utilisation.
On peut distinguer 2 sortes de Stats :
Stats descriptives : il sagit dorganiser et résumer des observations. On ne fait pas de comparaisons et on sintéresse en général à un seul groupe, échantillon ou population.
Stats inférentielles (ou inductives) : on peut ici viser 2 buts :
Déduire les propriétés dune population à partir de létude dun échantillon. Cest par ex le principe des sondages. Il est important que léchantillonnage soit fait au hasard (random). On met ici le doigt sur la notion de variabilité, principe inhérent à tout phénomène biologique.
Comparer 2 ou plusieurs populations ou échantillons ; si une différence existe, on se demandera si cette différence est due à la variabilité (hasard), ou à un facteur différenciant les groupes étudiés.
Un troisième type de Stats à la charnière entre S descriptives et inférentielles a trait aux notions de corrélation et prédiction (voir chapitre concerné).
Dans toute démarche utilisant les Stats, il convient dabord de poser une question « de recherche » (ex. AZT freine-telle la léthalité du SIDA ?), laquelle est différente de la question statistique où ce qui est traité, ce sont des données numériques. Les Stats font partie du plan (design) expérimental généré par la question de recherche. Ce plan fait en général intervenir 4 types de paramètres :
La variable indépendante : il sagit du X, ex. le stimulus dans une étude stimulus-réponse ; exx. influence du stress dans un test de labyrinthe.
La variable dépendante : cest Y, ce que lon mesure, la réponse, le nombre de bons (ou mauvais) choix dans le labyrinthe.
Le ou les facteurs sujets détude : ex. effet dun tranquillisant sur les relations entre stress et performance dans le labyrinthe.
Variables parasites : ex. coton autour du muscle en TP de LSV2 ; influence du cycle jour/nuit sur un dosage hormonal. Il faut faire en sorte que les variables parasites soient les mêmes pour tous les groupes.
Après un test, on tire une conclusion statistique dordre quantitatif (ex. il y a 5% de chances que tel résultat soit dû au hasard). Il ne sagit pas dune estimation qualitative : on ne peut pas dire par ex. que les groupes A et B sont différents. Après exécution du plan expérimental, lequel comprend plusieurs tests (parfois un grand nombre), on peut espérer atteindre à une conclusion « de recherche » dordre qualitatif.
Les Stats mentent-elles ? En dehors de la manipulation délibérée, la possibilité existe de faire des erreurs de « design », par ex en ne contrôlant pas certaines variables parasites ou en effectuant inconsciemment un échantillonnage non-aléatoire. Dautre part, la quasi-totalité des résultats publiés dans les journaux scientifiques sont des résultats « positifs » obtenus en général avec un seuil de significativité (significance) de 0,05. Cela signifie que si 20 équipes travaillent sur le même sujet de recherche, dont 19 ne trouvent pas de résultat positif, il existe 1/20 chances quun résultat « faux » soit publié
! (ex des plannaires et des engrammes). Les erreurs déchantillonnage sont les plus communes, particulièrement en rapport avec la taille. Une trop petite ou trop grande taille déchantillon peut amener à des conclusions statistiques qui faussent la conclusion de recherche.
STATISTIQUES DESCRIPTIVES
Pour avoir un coup dil densemble sur un grand nombre de données, on peut les représenter en distributions de fréquences, dont une forme commune est lhistogramme de fréquence. Dans ce dernier, le rapport de laire de chaque barre sur laire totale de lhistogramme donne la fréquence de lintervalle par rapport au nombre total de cas dans la distribution. Un intervalle adéquat peut se calculer à partir de la formule de Sturge : 1+(3,3 log10 n) ; ou de Yule : 2,5 EMBED Equation.3 . Différents types de fréquences peuvent sexprimer :
Absolue
Relative : permet de comparer des groupes deffectifs différents. Attention aux non-sens sur des n faibles (ex. le fait quun des 2 mécaniciens dAspremont soit alcoolique ne veut pas dire que 50% des mécaniciens dAspremont sont alcooliques)
Cumulative absolue
Cumulative relative : permet de repérer les centiles (percentiles) dune distribution. La courbe a une allure sigmoïde dont laccélération centrale est due à la concentration des effectifs autour de la moyenne.
Trois paramètres suffisent à caractériser les distributions de fréquences :
Forme : Poisson (J inversé) ; asymétrique positive ou négative (skewed) ; rectangulaire ; bi- ou multimodale ; en cloche.
Tendance centrale
Mode (NB : le mode H" la mode) : toujours utilisé avec les échelles nominales.
Médiane : sépare l effectif en 2 moitiés. Formule compliquée mais facile à repérer sur une distribution de fréquences cumulatives.
Moyenne arithmétique : µ = EMBED Equation.3 pour la population ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 pour léchantillon. NB : i) EMBED Equation.3 ) = 0. ii) La moyenne est sensible aux extrêmes de la distribution. iii) Est utilisée pour les tests statistiques si la distribution est normale car cest le paramètre qui varie le moins dun échantillon à lautre. Dans une distribution asymétrique, la médiane est la meilleure représentation de la tendance centrale. iv) Dans une distribution symétrique, le mode, la médiane et la moyenne ont la même valeur.
Moyenne géométrique de n valeurs : nème racine de leur produit MG = EMBED Equation.3 ; Log MG = EMBED Equation.3 (logX1 + logX2 +
+ logXn)
Dispersion (variabilité) Paramètre important pour les Stats inférentielles. Quantifiée par :
Etendue ou étalement (range) : max-min
Variance : comme EMBED Equation.3 ) = 0, on prend le carré des déviations : Ã2 = EMBED Equation.3 (pop) ; S2 = EMBED Equation.3 (éch ; NB : avec n-1 au dénominateur, on a un estimateur non-biaisé de la variance de la population, s2 ! voir + loin). EMBED Equation.3 , la somme des carrés (SC) des déviations de X par rapport à la moyenne, est fréquemment utilisée en statistiques. Son calcul, potentiellement fastidieux, peut être simplifié par la formule suivante : SC = £X2 - EMBED Equation.3 . Ex :
X - µ(X - µ)21-395+117+393-1116/4 = 4£ = 0£ = 20 ; Ã2 = 5Ecart-type (standard deviation) : ÃX = EMBED Equation.3 ; SX = EMBED Equation.3
Ecart réduit (z score) : z = EMBED Equation.3 ; NB : µZ = 0 et Ãz = 1.
Distribution normale
Propriétés : 95% des données sont comprises entre ± 1,96 et 99% entre ± 2,58 écarts-type. Ex : avec une moyenne et un écart-type de 100 ± 15, on sait que 95% des données sont comprises entre 70 et 130.
On peut consulter une Table daire sous la courbe pour dautres valeurs.
La courbe normale peut se décrire par un formalisme mathématique (sans grand intérêt ici) :
Y = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
PROBABILITÉS
Nombre de possibilités correspondant au critère X f
Définition : Proba(X) = =
Nombre total de possibilités N
(à condition que toutes les possibilités aient des chances égales)
Ex : pile ou face = ½ = 0,5. Exx : proba de sortir un pique = EMBED Equation.3 = 0,25. NB : 0 ou < µhypo), toute la zone de rejet (ex : 5%) est reportée sur une des extrêmités (tails) de la distribution au lieu dêtre répartie de chaque côté de la moyenne.
NB : il faut décider si on fait un test directionnel ou non-directionnel avant de recueillir les données. Sinon, si on fait par ex un test non-directionnel à ±0,05 et qu on passe ensuite à un test directionnel, on est passé en fait à ±0,1. Idem pour pour le niveau de significativité : on doit déterminer ± avant le recueil de données (mais voir NBB plus bas).
Erreur de type I : quand H0 est rejetée alors qu elle est vraie.
Erreur de type II : quand H0 est retenue alors qu elle est fausse.
NB : Erreur de type I = ± (ex 0,05) = proba de rejeter H0 quand elle est vraie.
NBB : au lieu de mentionner un seuil de significativité (ex p tcrit = ± 2 avec ± = 0,05 et DL = 48.
IC95 = 5x2 = 10 ( 2 d" EMBED Equation.3 d" 22, où zéro n apparaît pas&
En conclusion, l IC peut permettre de détecter une différence en plus de l information spécifique qu il apporte. La méthode apparaît donc supérieure dans bien des cas, en particulier quand il sagit destimer la variabilité dun paramètre. En général, on choisira la méthode H0 quand il y a une décision à prendre
PUISSANCE DE TEST
(+ détermination de la taille de léchantillon)
Comme un trop petit échantillon peut faire rater une différence importante, un trop grand échantillon peut révéler une différence sans importance bien quelle soit significative.
Ex : QI / taille des enfants corrélés (calculé a posteriori, r = 0,03 !) à p*B*UmHnHphÿuhÐV 0J mHnHuhÐV mHnHu jhÐV 0J UmHnHuh
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Si r = 0, Y= EMBED Equation.3 .
Equation de la régression : EMBED Equation.3 = r EMBED Equation.3 ( Y= (r EMBED Equation.3 )X - (r EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Méthode pratique de calcul :
Y = aX + b
a = EMBED Equation.3
b = EMBED Equation.3 - a EMBED Equation.3
Erreur-type destimation de Y en X (mesure de la variablité de Y par rapport à Y) :
SYX = EMBED Equation.3 = SY EMBED Equation.3
Si r = 1 ( SYX = 0 ; si r = 0 ( SYX = SY (écart-type de Y)
Attention : ne pas confondre SYX avec Sxy, covariance de X et Y.
Lutilisation légitime de SYX dépend de 3 conditions :
Linéarité X-Y
Homoscédasticité (même variance de Y pour tous les X)
Distribution normale de Y pour tous les X
( Toujours inspecter les données brutes sur le graphe !
NB : la valeur de la prédiction dépend toujours de la taille de léchantillon.
NBB : si on trace 2 lignes parallèles autour de la droite de régression à des distances de 1 SYX, 2 SYX ou 3SYX, on devrait, si n est grand, trouver entre ces lignes respectivement 68%, 95% ou 99,7% des points du nuage.
Interprétation de r
SYX = SY EMBED Equation.3 ( r = EMBED Equation.3
( r nest pas seulement fonction de la dispersion de SYX (Y par rapport à la régression), mais du rapport EMBED Equation.3 .
Si SYX = 0 (corrélation parfaite) ( r = ±1
Si SYX = SY ( r = 0.
Notion de « gamme de talents » :
Ex : stress ou pollution / taille des villes : faire Aspremont ( NY plutôt que Nice, Bordeaux, Lille, etc
Avec SYX = constante (homoscédasticité), r est en proportion directe de SY.
Ex : r = EMBED Equation.3 ~0,9 ; r = EMBED Equation.3 ~0,7
( Quand SY (proportionnel à la gamme de talents) augmente, r augmente.
***
r est-il une indication de la pente dune droite de régression ?
Y = aX + b où a = pente.
Y = EMBED Equation.3 X + EMBED Equation.3 ( pente = r EMBED Equation.3 (appelé coefficient de régression)
( si SY = SX, r = pente ; mais dans la plupart des cas SY `" SX ( r indique de combien d écarts-type Y augmente quand X augmente d un écart-type (z Y = r zX en termes d écarts réduits).
Coefficient de détermination
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = variance totale de Y
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = variance de Y indépendante de X (= résiduelle)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = variance de Y associée aux X (= expliquée)
EMBED Equation.3 =
r2 = coefficient de détermination ( donne la proportion de la variance de Y associée avec le changement de valeur de X (corrélation).
NB : si r = 0,5 ( r2 = 0,25 = 25% ; si r = 0,71 ( r2 = 0,5 = 50%
Inférences sur la significativité du r
En prenant tous les échantillons possibles de taille n dune population, on obtient une distribution d échantillonnage des r dont la moyenne, Á, est le vrai coefficient de corrélation de cette population. L écart-type de cette distribution, Ãr = EMBED Equation.3 . On note que quand n ou Á augmentent Ãr diminue.
Déterminer la significativité du r revient à tester l hypothèse H0: Á = 0. Pour cela, on pourrait calculer tr = EMBED Equation.3 , et comparer à la valeur de t pour H0 avec n-2 DL et ±0,05 ou ±0,01, directionnel ou pas.
Une méthode plus simple consiste à comparer r directement dans une Table de significativité avec DL = n-2.
Vu que Ãr diminue quand n augmente, on peut, avec des échantillons très grands, trouver un r hautement significatif alors que Á est très faible. Inversement, avec un n très faible, on peut, par hasard, trouver un r élevé. Il vaudrait donc mieux donner l intervalle de confiance de r pour une estimation plus& objective. Malheureusement, quand Á`"0 la distribution de r n est plus normale (elle l est pour Á=0, ce qui légitime le test H0 ci-dessus).
( Il faut convertir r en zr de Fisher (attention : aucun rapport avec lécart réduit z !) :
zr = ½ ln EMBED Equation.3 ( distribution normale
La conversion est disponible dans une Table r ( zr.
Pour un IC de 95% : zr ± 1,96 EMBED Equation.3 , où lerreur-type de zr, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
On reconvertit ensuite les 2 limites zr en valeurs de r.
***
De même, pour déterminer si une différence entre 2 r est significative, il faut convertir en zr (valable pour des échantillons indépendants, plus complexe pour éch. dépendants).
z = EMBED Equation.3 , où l erreur-type de la différence entre les 2 zr, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
( Comparer ensuite à z = 1,96 pour ± = 0,05 ou 2,58 pour ± = 0,01.
Quand on compare plus de 2 échantillons, il faut faire une analyse de covariance (ANCOVA ; voir par ex Scherrer : Biostatistique, 1984, p. 676). Ce type danalyse permet de rechercher, parmi plusieurs droites de régression, une différence de pente et/ou dordonnée à lorigine.
CHI-2 (Ç2 ; chi-square)
Permet d estimer si les fréquences de distribution d une population dans n catégories diffèrent des fréquences attendues selon une hypothèse quelconque. Ex : y-a-t il une préférence des étudiants en LSV pour certaine(s) des 4 options proposées ?
On pourrait ici tester par ex. H0: pA = pB = pC = pD = 0,25 (il n y a pas de préférence).
Conséquemment, le Ç2 permet de tester la qualité ou la validité d ajustement (goodness of fit) de données à une équation.
Ç2 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( Sommation, sur n catégories, des fréquences observées et attendues
(fa = N x p = N x 0,25). On compare ensuite le Ç2 à la valeur critique dans une Table pour un ± choisi et DL = nombre de catégories - 1. Si Ç2 > à la valeur critique, on rejette H0.
Notas :
Très employé par les généticiens qui attendent des fréquences particulières de reproduction (ex : apparition de phénotypes selon 9-3-3-1 ( 9/16-3/16-3/16-1/16).
Un prérequis est lindépendance des observations. Pour utiliser le Ç2 en mesures répétées, il faut prendre certaines précautions (Siegel & Castellan, 1988).
Applications du Ç2
1) Ajustement d équation
On a vu jusqu ici qu avec la plupart des tests on cherche une différence (rejet de H0). Quand on utilise le Ç2 pour estimer la qualité d ajustement, on cherche au contraire à démontrer qu il n y a pas de différence avec la distribution théorique (rétention de H0).
Ç2 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +& + EMBED Equation.3 où Y est la valeur observée pour un X donné, Y la valeur théorique déterminée par l équation pour ce même X, et à l erreur-type de Y.
DL = nombre de données - nombre de paramètres variables
2) Tableaux de contingence à 2 facteurs : permettent de tester l indépendance des groupes ou au contraire linteraction entre 2 facteurs. NB : variables qualitatives surtout utilisées. Ex :
PACAIdFNordLeg +fo221014fa3,52,87,7Leg -fo861226fa6,55,214,3Prélèvements10822
= 40 prélèvements
H0: la proportion de contamination est identique dans toutes les régions.
fa = 14/40 = 0,35 ( faPACA = 10 x 0,35 = 3,5 ; faIdF = 8 x 0,35 = 2,8 ; faNord = 22 x 0,35 = 7,7.
Ç2 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 & = 2,4. Avec DL = (col-1)(lignes-1) = 2, Ç2 = 6 pour ± = 0,05.
( On ne peut pas exclure que les prélèvements sont homogènes.
NB : quand Ç2 est significatif, on ne peut pas localiser l hétérogénéité, c-à-d déterminer quels groupes sont dissemblables. Il faut pour ça faire une transformation log complexe&
NBB : le Ç2 a beaucoup d autres applications possibles (voir plus bas par ex.).
STATISTIQUES NON-PARAMÉTRIQUES
Pour distributions non-normales.
Ne testent pas une différence entre moyennes (paramètre) mais entre distributions, et peuvent sadresser indifféremment à la tendance centrale, dispersion ou symétrie.
Adaptées aux petits échantillons.
Basées sur un classement des données par rangs. Ex :
Valeurs : 4 5 5 8 11 11 11 15 19
Rang : 1 2,5 2,5 4 6 6 6 8 9
moyennes des rangs
I. 2 groupes indépendants : Mann-Whitney U (équivalent du t)
H0: les 2 échantillons viennent de populations avec la même distribution.
NB : pour des formes et dispersions similaires, le test évalue surtout la tendance centrale, laquelle se rapproche plus de la médiane.
Procédure :
Classer toutes les valeurs (X, Y) par rangs.
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