Série STG - Mathématiques | Académie de Dijon
Série STG : les mathématiques en situations ? Un choix d'exercices. Ce
document est ... Si t est le taux d'évolution de y1 à y2, exprimer en fonction de t le
taux d'évolution de y2 à y1. ..... Quelle population peut-on ainsi prévoir pour l'an
2010 ?
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Série STG : les mathématiques en situations Un choix dexercices
Ce document est un document de travail distribué à des professeurs enseignant en série STG. Il a été élaboré en vue des journées dinformation sur les nouveaux programmes de cette série, organisées en novembre 2006 par lInspection Régionale de Mathématiques de lAcadémie de Dijon. Il sagit dun recueil dexercices regroupés autour de quelques objets du programme (les pourcentages, les suites et les fonctions), utilisés dans certaines situations issues des Mathématiques Financières et de lEconomie.
Plusieurs exercices sont issus de la Banque dexercices émanant de lInspection Générale de Mathématiques, et sont étiquetés comme tels ; ils sont en général proposés avec un questionnement pouvant être utilisé en classe ainsi quune mention indicative sur la spécialité visée (« 2 heures » ou « 3 heures »), et le professeur aura toute la liberté pédagogique de les poser tels quels ou de les modifier. Les autres sont destinés dans leur forme actuelle à parfaire les connaissances du professeur, ou à mieux lui permettre dassimiler une notion mal connue. Il est souhaitable quils soient une source dinspiration pour la confection de sujets ou dactivités en classe, mais ils nécessitent une refonte de lénoncé actuel.
Ils sont regroupés en trois thèmes correspondant à des objets détude : les taux dévolution, les suites, et les fonctions.
A Les taux dévolution
Laspect mathématique
Exercice 1
Si t est le taux dévolution dune période y1 à une autre période y2 et t celui de y2 à y3, exprimer en fonction de t et t :
le taux dévolution de y1 à y3 ;
le taux moyen dévolution sur les deux périodes.
Si t est le taux dévolution de y1 à y2, exprimer en fonction de t le taux dévolution de y2 à y1.
Exercice 2 (Toutes spécialités). Banque dexercices du Ministère
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
On demande de cocher celle que vous pensez être correcte.
Le prix dun produit augmente de 5,4 % la première année et augmente de 30 % la seconde année.
1. À lissue de la première année, le prix du produit a été multiplié par :
¡% 0,946 ¡% 1,540 ¡% 1,054 ¡% 0,094
2. À l issue des deux années, le prix a augmenté de :
¡% 16,2 % ¡% 37,02 % ¡% 24,6 % ¡% 35,4 %
3. Le taux d évolution annuel moyen sur les deux années est de :
¡% 16,2 % ¡% 24,6 % ¡% 17,7 % ¡% 17,1 %
4. Si le produit avait augmenté de 5,4 % par an durant 6 ans, le taux d évolution pour ces six années
aurait été de :
¡% 32,4 % ¡% 37,1 % ¡% 38,3 % ¡% 35,4 %
Exercice 3 (Toutes spécialités) Banque d exercices du Ministère
Un magasin de chaussures a fait 300 000 ¬ de chiffre d affaires pour l année 2001. Ce chiffre d affaires a
évolué les années suivantes selon le tableau ci-dessous. La deuxième ligne donne le taux dévolution par
rapport à lannée précédente, la troisième ligne donne le chiffre daffaires pour lannée.
Année
2001
2002
2003
2004
2005
Taux dévolution
+ 25,0%
+ 16,0%
+ 12,2%
+ 5,3%
Chiffre daffaire (arrondi au millier deuros)
300 000
375 000
435 000
514 000
Les résultats seront arrondis au millier deuros.
Calculer le chiffre daffaires pour 2004.
Quel est le taux dévolution de lannée 2001 à lannée 2005 ?
a) Calculer le taux dévolution annuel moyen de lannée 2001 à lannée 2005 (donner la valeur arrondie à 0,1 %).
Si le taux dévolution du chiffre daffaires de lannée 2006 par rapport à celui lannée 2005
était égal à ce taux moyen, quel serait le chiffre daffaires en 2006 ?
Exercice 4 (Toutes spécialités) Banque dexercices du Ministère (partiel)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
On demande de cocher celle que vous pensez être correcte.
Le prix d une matière première a augmenté de 150 %. Il a été :
multiplié par 1,5 ¡% multiplié par 2,5 ¡% multiplié par 1,15 ¡% multiplié par 0,85 ¡%
Dans les cas suivants, quels sont les taux d évolution réciproques l un de l autre ?
30 % et 30 % ¡% 25 % et 20 % ¡% 150 % et 50 % ¡% 60 % et 40 % ¡%
Le prix du gaz a subi deux évolutions successives : "9 % en novembre 2003 ; +5,2 % en novembre
2004. Globalement, le prix du gaz a évolué environ de :
" 3,8 % ¡% 4,1 % ¡% " 4,3 % ¡% 4,3 % ¡%
Exercice 5 (Toutes spécialités) Banque dexercices du Ministère
Une étude dimplantation du nombre dordinateurs dans une commune a permis de constater quen 1995, il y avait 1203 ordinateurs, et quen 2005 on en dénombrait 3120.
Déterminer le taux dévolution du nombre dordinateurs de 1995 à 2005 dans cette commune.
Déterminer le taux dévolution annuel moyen du nombre dordinateurs de 1995 à 2005 dans cette
commune.
Sur la période 19952000 le taux dévolution annuel moyen était de 1,07 pour cette commune.
Déterminer le taux dévolution annuel moyen pour la période 20002005.
Exercice 6 (Toutes spécialités) Banque dexercices du Ministère
Le tableau ci-dessous donne lévolution du montant horaire brut du SMIC (Salaire minimum interprofessionnel de croissance) en France du 1er juillet 2000 au 1er juillet 2005.
Smic horaire brut en euros
1er juillet 2000
6,41
1er juillet 2001
6,67
1er juillet 2002
6,83
1er juillet 2003
7,19
1er juillet 2004
7,61
1er juillet 2005
8,03
SOURCE : (INSEE : TEF 2005-2006)
Quel était le Smic horaire brut au 1er juillet 1999 sachant quil a augmenté entre le 1er juillet 1999
et le 1er juillet 2000 de 3,2 %?
On construit un tableau dindices en prenant comme base 100 le 1er juillet 2000.
a) Recopier, puis compléter lextrait de feuille de calcul ci-dessous. Donner des valeurs décimales
arrondies au dixième.
A
B
C
D
E
F
G
1
Date
1/07/00
1/07/01
1/07/02
1/07/03
1/07/04
1/07/05
2
Smic horaire brut
6,41
6,67
6,83
7,19
7,61
8,03
3
Indices
100
125,3
b) Quelle formule, à recopier sur la plage D3:G3, peut-on entrer dans la cellule C3 ?
c) Déterminer le taux dévolution du Smic horaire brut entre le 1er juillet 2000 et le 1er juillet
2005.
Si la croissance relative du Smic horaire brut avait été constante entre le 1er juillet 2000 et le
1er juillet 2005, quel aurait été le taux dévolution annuel moyen du Smic horaire brut pour obtenir
le même niveau au 1er juillet 2005 ?
Quelques procédures de base en mathématiques financières
Intérêt simple, escompte rationnel, escompte commercial
Exercice 7
Un client veut emprunter une somme à sa banque pour une durée de 3 mois. Lintérêt est simple, au taux annuel de 8 %. Le client sait quil pourra rembourser 10 000 ¬ à l échéance.
1. Quelle somme peut-il emprunter, selon que :
a) l intérêt est compté sur la somme remboursée ? (Cet intérêt est appelé escompte commercial.)
b) l intérêt est compté sur la somme prêtée ? (Cet intérêt est appelé escompte rationnel.)
2. Quelle est la formule la plus avantageuse pour le client ?
Calculer le taux dintérêt effectif annuel avec chacune des deux formules.
Intérêt composé
Exercice 8
On considère que la vie augmente de 5 % par an. On considère un capital de 1000 ¬ le 01/01/07.
1. Quelle est la valeur acquise de ce capital au bout de n années ?
2. Quelle est la valeur de ce capital actualisée un an avant ? deux ans avant ?
3. Déterminer le capital équivalent le 01/01/05.
Exercice 9 (Toutes spécialités)
Le taux d intérêt composé annuel est de 6 %. Les questions sont indépendantes.
Si je place aujourd hui 2000 ¬ , combien aurai-je dans 5 ans ?
Si j emprunte aujourd hui 5000 ¬ , combien devrai-je rembourser dans 3 ans ?
Calculer le taux d intérêt sur 2 ans, sur 3 ans, sur 5 ans.
Exercice 10 (Spécialité « 3 heures »)
La capitalisation est annuelle, à intérêt composé. Les questions sont indépendantes.
Au taux annuel de 10 %, la valeur acquise d un capital au bout de 6 ans est 2 125,87 ¬ . Quel est le montant initial ?
Au bout de 7 ans, une somme de 5 000 ¬ a rapporté un intérêt de 2 769,93 ¬ . Quel est le taux annuel d intérêt ?
Au taux de 7,5 %, une somme initiale de 15 000 ¬ a rapporté un intérêt de 4 297 ¬ . Quelle est la durée du placement ?
Un investisseur doit choisir entre deux types de placement, pour un investissement initial de 100 000 ¬ :
le placement A, qui lui laisse une somme de 160 000 ¬ dans 5 ans ;
le placement B, qui lui assure une somme de 175 000 ¬ dans 6 ans.
Quel placement doit-il choisir ?
Taux financiers, taux équivalents
Exercice 11
La caisse dépargne propose aux particuliers des placements au taux annuel dintérêt composé de 2,5%. Sur une durée inférieure à lannée, elle pratique en fait une rétribution proportionnelle par quinzaine échue. Une personne place 15 000 ¬ pendant 6 mois.
1. Si l intérêt composé s appliquait, calculer la valeur acquise de ce placement à l échéance.
2. Calculer sa valeur acquise réelle.
3. Calculer le taux annuel réel.
4. Ce taux réel est-il plus intéressant pour le client ou pour le banquier ?
5. De façon générale, comparer le taux réel s au taux apparent r.
Exercice 12
Un emprunt de 1000 ¬ est remboursé en une seule fois au bout d un an. Le taux d intérêt annuel (ou taux nominal) est de 6 %. Les frais de dossier, d un montant de 40 ¬ sont déduits au départ de la somme empruntée.
Calculer le taux actuariel (ou TEG) de cet emprunt.
Comparer ce taux au taux nominal, en pourcentage.
Exercice 13
Le taux d intérêt est de 8 % et la capitalisation est annuelle.
Quelle est la valeur acquise d une somme de 1000 ¬ au bout de 2 ans ? au bout de 6 mois ? au bout d un mois ? au bout de 45 jours ? (On suppose que l année est découpée en 360 jours.)
Combien d années de capitalisation sont nécessaires pour disposer d une valeur acquise de 1 500 ¬ ? de 2 000 ¬ ?
Exercice 14
Une personne emprunte 5 000 euros. Elle rembourse 2 000 euros au bout de six mois, 2 000 euros à nouveau au bout d un an, et le solde (c est-à-dire la somme restante) au bout de 18 mois. Le taux d intérêt annuel est de 18 %.
Calculer le taux semestriel équivalent.
Quelle est la valeur actualisée à lorigine, de chacun des deux premiers remboursements ?
Quel est le montant du solde ? (On calculera dabord la valeur actualisée de ce solde.)
(Réponse : 1 876,49 ¬ .)
Exercice 15 (Spécialité « 3 heures »)
On place un capital de 4 000 ¬ au taux annuel d intérêt composé de 10 %. On suppose que l année comprend 360 jours.
a) Calculer le nombre r tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer le taux trimestriel équivalent.
Quelle est la valeur acquise du capital au bout de 3 mois ? au bout de 15 mois ?
a) Calculer le nombre s tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer le taux mensuel équivalent.
Quelle est la valeur acquise du capital au bout dun mois ? au bout de 11 mois ?
Retrouver les résultats de la question1.c).
Comment peut-on calculer la valeur acquise du capital au bout de 225 jours ?
Exercice 16 (Toutes spécialités) Banque dexercices du Ministère
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
On demande de cocher celle que vous pensez être correcte.
On demande de cocher la bonne réponse.
Le prix dun produit est passé de 200 euros à 800 euros. Le taux dévolution est de :
100 %
¡%
200 %
¡%
300 %
¡%
400 %
¡%
Un produit subit une augmentation de 10 % suivie d une nouvelle augmentation de 5 %. Son prix de départ étant P, après ces deux augmentations son prix est de :
(P × 10 %) × 5 %
¡%
P + (P × 15 %)
¡%
P + 15 %
¡%
P ×1,1 × 1,05
¡%
Lors des élections, un parti a obtenu au premier tour 38 % des voix exprimées avec un taux de participation de 60 % et au second tour, 29 % des voix avec un taux de participation de 80 %. Le nombre de voix exprimées obtenu par le parti a connu, entre le premier et le second tour :
Une stagnation
¡%
Une diminution
¡%
Une augmentation
¡%
On ne peut pas répondre car on ne connaît pas le nombre de votants.
¡%
Le taux mensuel moyen équivalent à un taux annuel de 9 % dans le cas d un placement à intérêts composés, arrondi à 0,01 %, est :
0,75 %
¡%
1,20 %
¡%
0,72 %
¡%
1,01 %
¡%
Exercice 17 (Spécialité « 3 heures ») Banque d exercices du Ministère
On place un capital de 2 000 ¬ à intérêts composés au taux mensuel de 0,7 %.
a) Quelle est la valeur acquise au bout dun mois ? De deux mois ?
b) Quelle est la valeur acquise au bout de n mois ?
c) Quel est le taux dévolution du capital au bout dune année ?
a) Donner une valeur décimale arrondie à EMBED Equation.DSMT4 près du nombre réel t1 tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Pour un placement annuel au taux de 12 %, t1 est le taux mensuel équivalent.
b) Donner une valeur décimale arrondie à 10 - 5 près du nombre réel t2 tel que EMBED Equation.DSMT4 .
Pour un placement annuel au taux de 3 %, t2 est le taux mensuel équivalent.
c) Une publicité d un organisme bancaire annonce : « Pour un placement d un capital de 1 000 ¬
sur un an, le taux annuel est 12 % sur les deux premiers mois puis 3 % sur dix mois ».
Déterminer le taux dévolution du capital sur un an.
Exercice 18
Un capital est placé au taux annuel r dintérêt composé.
On suppose dans cette question que le taux est 10 %. Montrer quun capital de 1000 ¬ double environ en 7 ans. Est-ce vrai pour un capital quelconque ?
Dans cette question, le taux r est quelconque. On suppose qu un capital placé au taux annuel r double au bout de n années.
Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Lorsque r est petit, justifier lapproximation EMBED Equation.DSMT4 .
Si EMBED Equation.DSMT4 , en déduire que, pour r petit, on a : EMBED Equation.DSMT4 . Vérifier avec la question 1.
Déterminer le temps approximatif de doublement dun capital au taux de 7 % ; au taux de 14 %.
B Les suites
Les notions mathématiques
Exercice 19 (Toutes spécialités La question 2 est réservée aux spécialités « 3 heures ».)
On considère deux suites de terme général : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , où r est un nombre donné.
Dans le cas où EMBED Equation.DSMT4 , afficher sur un tableur les valeurs successives de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , puis comparer et commenter lévolution de ces deux suites.
Recommencer lorsque EMBED Equation.DSMT4 , lorsque EMBED Equation.DSMT4 et enfin lorsque EMBED Equation.DSMT4 .
Quelle est la nature des suites EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ?
Calculer la dérivée de la fonction f définie par EMBED Equation.DSMT4 . Justifier alors lapproximation : EMBED Equation.DSMT4 , lorsque x est voisin de 0, et utiliser cette approximation pour interpréter à nouveau les résultats obtenus en 1.a).
Exercice 20 (Toutes spécialités) Banque dexercices du Ministère
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On a pu lire dans le livre « Voici venu le temps du monde fini » dALBERT JACQUARD laffirmation
suivante :
Un accroissement dune population de 2 % par an peut sembler bien faible, il correspond pourtant à un
doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans, à une multiplication par 7 en moins dun
siècle.
Les affirmations de lauteur sont-elles exactes ? Justifier la réponse.
Partie B
La feuille de calcul suivante, extraite dun tableur, donne la population mondiale en millions
dhabitants :
A
B
C
D
E
1
Année
Population
Taux dévolution arrondi à 0,1 %
n
un
2
1950
2500
0
2500
3
1960
3014
20,6 %
1
4
1970
3683
22,2 %
2
5
1980
4453
20,9 %
3
6
1990
5201
4
7
2000
6080
5
8
6
9
7
Quelle formule faut-il écrire en C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le
bas ?
a) Calculer le taux dévolution global de la population mondiale entre les années 1950 et 2000.
En déduire le taux décennal moyen entre les années 1950 et 2000.
On considère la suite géométrique u de premier terme u0 = 2500 et de raison q =1,195.
b) Quelle formule, à recopier vers le bas, peut-on écrire en E3 pour calculer les termes de la suite u ?
c) Si lon fait lhypothèse que la population mondiale évoluera au même rythme au delà de lan
2000, on peut estimer que la population mondiale de lannée (1950+10n) sera environ égale au
terme un de cette suite. Quelle population peut-on ainsi prévoir pour lan 2010 ? Pour lan 2050 ?
Par combien la population mondiale serait-elle ainsi multipliée en un siècle ?
Les annuités (ou rentes) et le remboursement des emprunts
Exercice 21 (Spécialité « 3 heures »)
Quelle somme une personne peut-elle peut emprunter sur une durée de 15 ans, sachant que sa capacité de remboursement, à annuités constantes, est de 20 000 ¬ par an ? (Le taux proposé par le banquier sur cette durée est de 4,5 %.)
(Réponse : 214 790,91 ¬ )
Exercice 22
Une personne achète un bien immobilier dont la valeur est 200 000 ¬ .
Le paiement s effectue par une rente mensuelle constante, au taux invariable de 0,4 % par mois.
Si la rente est payée pendant 20 ans, calculer le montant A dune mensualité.
Si la rente est perpétuelle, calculer le nouveau montant dune mensualité.
Exercice 23 (Toutes spécialités)
Un particulier veut emprunter une somme S, quelle remboursera en n années, avec des annuités constantes de 20 000 ¬ , à un taux d intérêt annuel r.
Les graphiques suivants représentent la somme empruntée S en fonction du nombre n d années de remboursement, pour plusieurs valeurs du taux r.
La personne veut rembourser en 20 ans. Quelle somme peut-elle emprunter avec un taux de 5 % ? avec un taux de 12 % ?
La personne veut emprunter 200 000 ¬ . Quel taux maximum semble lui permettre de réaliser cet emprunt ?
Le taux est de 10 %. Expliquer pourquoi, à partir d une certaine durée, il ne sert à rien d augmenter la durée du crédit.
Le taux est de 5 % et la personne emprunte 250 000 ¬ . Si ce taux augmentait de 1 %, de combien d années s allongerait la durée du remboursement ?
Construction du tableau d amortissement d un emprunt
Exercice 24
On considère des remboursements mensuels dun emprunt effectués sur n mois.
On note r le taux mensuel, V0 le capital emprunté, Vp le capital dû à lissue du mois n° p, Rp le montant de la p-ième mensualité, Ip lintérêt payé au mois n° p, Ap lamortissement au mois n° p (cest-à-dire la part du capital remboursée au cours de ce mois).
Exprimer une relation entre Ip et Vp 1.
Quelle relation peut-on écrire entre Ap, Rp et Ip ? entre Vp, Vp 1 et Ap ?
Que vaut Vn ?
Que vaut EMBED Equation.DSMT4 ?
Exercice 25 (Spécialité « 3 heures ») Banque d exercices du Ministère
Pour un achat immobilier, une personne emprunte 50 000 ¬ à intérêts composés (taux mensuel : 0,4 %).
Dans cette question, le remboursement seffectue en 60 mensualités égales.
a) Le montant de chaque mensualité est de 938,99 euros. Calculer le montant total des intérêts
pour ce prêt.
b) Voici un extrait du tableau damortissement, établi à laide dun tableur et fourni par la banque
pour les 12 premières mensualités :
A
B
C
D
E
F
1
Capital emprunté : 50 000 ¬
Taux mensuel : 0,4 %
2
3
n° de la mensualité
Capital restant dû en début de mois
Montant de la
mensualité en euros
Montant des
intérêts
Capital amorti
en euros
Capital restant
dû en fin de mois
4
1
50 000,00
938,99
200,00
738,99
49 261,01
5
2
49 261,01
938,99
197,04
741,95
48 519,06
6
3
48 519,06
938,99
194,08
744,91
47 774,15
7
4
47 774,15
938,99
191,10
747,89
47 026,26
8
5
47 026,26
938,99
188,11
750,88
46 275,37
9
6
46 275,37
938,99
185,10
753,89
45 521,48
10
7
45 521,48
938,99
182,09
756,90
44 764,58
11
8
44 764,58
938,99
179,06
759,93
44 004,65
12
9
44 004,65
938,99
176,02
762,97
43 241,68
13
10
43 241,68
938,99
172,97
766,02
42 475,65
14
11
42 475,65
938,99
169,90
769,09
41 706,57
15
12
41 706,57
938,99
166,83
772,16
40 934,40
Donner des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans chacune des cellules D4, E4 et F4
pour obtenir les colonnes D, E et F.
Dans cette question, le remboursement seffectue en n mensualités égales. On admet que le montant
A de chaque mensualité est donné par : EMBED Equation.DSMT4 .
a) Calculer le montant dune mensualité, si le remboursement seffectue en 120 mensualités (on
donnera la valeur décimale arrondie au centime deuro).
b) Lemprunteur estime que le montant de ses mensualités doit être inférieur ou égal à 460 euros.
Quel est le nombre minimum de mensualités nécessaires au remboursement de lemprunt ?
Quel serait alors le montant de chaque mensualité ?
Exercice 26
Une personne emprunte 50 000 ¬ qu elle rembourse en 60 mensualités (taux mensuel : 0,4 %).
Comme dans l exercice précédent, dresser un tableau d amortissement, dans le cas d un remboursement à amortissement constant. Calculer alors le coût du crédit.
Même questions dans le cas d un remboursement in fine.
C Les fonctions
Quelques situations liées aux pourcentages et aux mathématiques financières
Exercice 27 (Spécialité « 3 heures) Banque dexercices du Ministère
Partie A
Le prix dun article est de 120 euros. Ce prix subit une première évolution au taux de 25 %, puis
une seconde évolution qui le ramène à sa valeur initiale. Quel est le taux de la deuxième évolution ?
Le prix dun article est de 120 euros. Ce prix subit une première évolution au taux de "20 %, puis
une seconde évolution qui le ramène à sa valeur initiale. Quel est le taux de la deuxième évolution ?
Partie B
D une façon générale, un prix P subit deux évolutions successives, la première à un taux de x, et la
deuxième à un taux de y. Il revient alors à sa valeur initiale P.
Montrer que x et y vérifient la relation : (1 + x )(1 + y) = 1. On admet alors que : EMBED Equation.DSMT4 .
On veut étudier sur l intervalle ["0,5 ; 2] la fonction f telle que EMBED Equation.DSMT4 . Soit (C) la courbe
représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
a) On note EMBED Equation.DSMT4 la fonction dérivée de la fonction f . Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
b) Déterminer les variations de la fonction f sur l intervalle ["0,5 ; 2] et dresser le tableau de
variations de f sur cet intervalle.
À l aide de la représentation graphique de la courbe (C) donnée en annexe, ou à l aide d un calcul,
répondre aux questions suivantes :
a) Quelle évolution faut-il faire subir à un prix augmenté de 50 % pour retrouver le prix initial ?
b) Quelle évolution faut-il faire subir à un prix diminué de 50 % pour retrouver le prix initial ?
Annexe :
Exercice 28 (Spécialité « 3 heures ») Banque dexercices du Ministère
Partie A
On considère la fonction f définie, sur lintervalle [0 ; 0,6], par EMBED Equation.DSMT4 .
La courbe représentative (C) de la fonction f dans un repère du plan est donnée en annexe.
1. Soit EMBED Equation.DSMT4 la fonction dérivée de f .
On admet que, pour tout nombre réel x de lintervalle [0 ; 0,6], EMBED Equation.DSMT4 .
a) Calculer f (0) et EMBED Equation.DSMT4 .
b) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point O. Tracer cette
tangente sur le graphique de lannexe.
2. Justifier le fait que f est strictement croissante sur lintervalle [0 ; 0,6].
3. Tracer la droite (D) déquation y = 3x sur le graphique de lannexe.
4. a) On admet que (C) et (D) ont un unique point dintersection dont labscisse a appartient à
lintervalle ]0; 0,6]. Déterminer a avec la précision permise par le graphique de lannexe.
b) Léquation EMBED Equation.DSMT4 admet une unique solution sur lintervalle ]0 ; 0,6]. En donner
une valeur approchée arrondie au centième. Expliquer la méthode utilisée.
Partie B
Un entrepreneur envisage un projet où il investira 12 000 ¬ et recevra pendant 4 ans à la fin de chaque
année un flux de trésorerie de 4 000 ¬ . Pour cela, il étudie la valeur actuelle des quatre flux de trésorerie.
Il utilise la formule EMBED Equation.DSMT4 qui donne la valeur actualisée d un flux a re+CDEGHy£¼
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hCphCpCJUVaJmHnHuhCphCpCJaJ%En utilisant cette approximation et des résultats obtenus à la partie B, déterminer :
a) le pourcentage des ménages équipés dun ordinateur au début de lannée 2012 ;
b) lannée à partir de laquelle 80 % des ménages seront équipés dun ordinateur ;
c) une valeur approchée du pourcentage moyen des ménages qui se sont équipés dun ordinateur entre
le début de lannée 2000 et la fin de lannée 2006.
Série STG Page PAGE 15 sur NUMPAGES 17 Journées de novembre 2006
Les Mathématiques en situation Inspection Régionale de Mathématiques
r = 0,12
r = 0,10
r = 0,08
r = 0,07
r = 0,06
r = 0,05
r = 0,04
Nombre dannées n
Somme empruntée S
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
