Proportionnalité et fonction linéaire

3° - Exercice : Représenter graphiquement les fonctions linéaires : ... 3° ? Exercice : Soit f la fonction linéaire définie par f (2) = 1 ; déterminer le coefficient de ...

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Proportionnalité et fonction linéaire

Pré-requis : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de lune sobtiennent en multipliant les valeurs de lautre par un nombre constant.
En regroupant ces valeurs dans un tableau, on obtient un tableau de proportionnalité.

I La proportionnalité :
1° - Etude dune situation :

On a noté le volume contenu dans le récipient selon la hauteur du liquide quil contient. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :
h (cm)
0
6
12
18
24

V (L)
0
1,2
2,4
3,6
4,8

On passe de la 1ère ligne à la seconde en
On peut alors dire : ..
.

2° - Représentation graphique :

Représentez dans le repère orthogonal les points dabscisse x pour la hauteur du liquide et dordonnée y pour le volume.

EMBED Word.Picture.8

Que constatez-vous ?
.

.

Retenons :
.

.
3° - Activités :

Identifier les situations de proportionnalité. (Justifier votre réponse)

1er cas : Tarifs dun taxi2ème cas : Poids dune personne3ème cas : Montant dune remise

.
.

.
.

.
.
4° - Expression :

La situation de proportionnalité précédente peut se traduire mathématiquement par une relation. Sachant que x représente la hauteur du liquide et y le volume, déterminer cette relation :

On peut aussi écrire : où :

(

(

(

(

Conclusion : Comment nomme-t-on ce type de fonction ?.

II - .. :

1° - Définition :

.
.
.
.
.
.

2° - Représentation graphique dune fonction linéaire :

(
(
(
(

3° - Exercice : Représenter graphiquement les fonctions linéaires :
f (x) = - 2 x et g (x)= EMBED Equation.3 x
a Calculons les points par lesquels passe chaque droite :
On trace la droite d1 : y = - 2 x

Cette droite passe par les points :
x

y

On trace la droite d2 : y = EMBED Equation.3 x
Cette droite passe par les points :
x

y

b Représentation graphique :
EMBED Word.Picture.8

c Indique sur le graphique comment tu peux trouver par lecture, la valeur du coefficient « a » pour chacune des droites.
.
.

Remarques :
(

(
III - Détermination dune fonction linéaire :

1° Approche :

Quelle est la fonction linéaire qui permet de passer des euros aux francs en se basant sur la valeur approchée 6,56 F pour 1 ¬ ? Pour cela :

( Complète le tableau de proportionnalité :

Euro0120Franc
( Précise le coefficient de proportionnalité : & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

( La fonction linéaire est donc : & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..

2° Retenons :

.

.

3° Exercice : Soit f la fonction linéaire définie par f (2) = 1 ; déterminer le coefficient de proportionnalité puis représenter graphiquement cette fonction.
EMBED Word.Picture.8

IV Détermination de léquation dune droite représentée :

1° - Approche :

Soit le graphique ci-contre :

La droite d1 représente une fonction linéaire. On sait que léquation dune fonction linéaire est du type .

Le coefficient directeur « a » est donné en prenant la valeur de y pour x = +1 ; soit :
.

Léquation est donc : .
EMBED Word.Picture.8
2° - Exercice :

Trouvez les équations des droites représentant les fonctions linéaires du graphique suivant :

- p(x) =. - r (x) =.

- s (x) =. - q (x) =.

Travaux dirigés : Fonction linéaire

Exercice 1 : Soit f la fonction linéaire définie pour tout nombre réel x par f (x) = a x . Déterminer dans chaque cas, le coefficient « a » :
f (x) = x ; f (x) = - x ; f (x) = 8 x ; f (x) = -7 x ; f (x) = - EMBED Equation.3 x

Exercice 2 : Déterminer dans chaque cas, le coefficient « a » , puis lexpression de f (x)
f (1) = EMBED Equation.3 ; f (-3) = -1 ; f ( EMBED Equation.3 ) = 2 ; f (2) = 5 ; f (-1) = -3

Exercice 3 : Soit f la fonction linéaire définie pour tout nombre réel x par f (x) = -2 x .
1 - Calculer : f (-3) ; f (-2) ; f (1) et f (4) puis dresser un tableau de valeurs de f.
2 Déterminer léquation de la droite.

Exercice 4 : On donne les représentations graphiques des fonctions f et g ;
1 Comment reconnaît-on quil sagit de fonction linéaire ?
2 La droite d1 représentée a-t-elle pour équation : y= 4 x; y= 2 x; y= 3 x ? Justifier votre réponse.
3 - La droite d2 représentée a-t-elle pour équation : y= - x; y= - EMBED Equation.3 x; y= -2 x ? Justifier votre réponse.
Exercice 5 : On donne la représentation graphique de la fonction f ;

1 Déterminer graphiquement f (3).

2 En déduire léquation de la droite représentative de la fonction f .

3 Déterminer lexpression de f (x).
Exercice 6 : Soit f la fonction linéaire définie pour tout nombre réel x par f (x) = EMBED Equation.3 x .
Point
Abscisse x
Ordonnée y= f (x)

A
0

B

1

C
4

D

3

E

EMBED Equation.3

F
-2

1 Compléter le tableau ci-contre.

2 A partir des résultats du tableau, placer les points de coordonnées (x ; y ) dans le plan muni dun repère orthonormal dunité graphique 1 cm.

3 Tracer la droite d passant par les points A;B;C;D;E; et F.

4 Déterminer graphiquement lordonnée du point M de cette droite qui a pour abscisse 10.

5 Déterminer graphiquement labscisse du point N de cette droite qui a pour ordonnée 4.
Exercice 7 : Le graphique suivant permet de déterminer le prix à payer pour une chambre de deux personnes dans un hôtel dune ville française en fonction du nombre de nuitées.

1 A laide du graphique, compléter le tableau suivant :
Nombre de nuitées
1
2

6

Prix à payer (en ¬ )

135

450

2 Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de nuits passées à l hôtel ?

3 Déterminer la fonction qui, au nombre de nuitées, fait correspondre le prix à payer.
Exercice 8 : Le tableau suivant représente le prix à payer en fonction des communications passées à partir d un portable.
Durée des communications ( en min )102560240480Prix à payer ( en ¬ )251248961 Le prix à payer est-il proportionnel à la durée des communications ? Si oui, en donner le coefficient de proportionnalité. Que signifie ce coefficient ?

2 Exprimer le prix à payer y en fonction de la durée des communications x.

3 Calculer pour une période donnée :
la durée des communications, en heures, si le prix à payer est de 72 ¬ .
Le prix à payer si la durée des communications est de 4h30min.

4 Représenter graphiquement cette fonction pour x&'34 1 2 3 8 O P

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&Fgd±gd± appartenant à l intervalle [0 ;100] dans un repère orthogonal d unités graphiques : en abscisse : 1 cm pour 10 min ; en ordonnée : 1 cm pour 2 ¬ .
Exercice 9 : Dans une crèche, il est proposé deux tarifs : un tarif à l heure ( Tarif A ) et un tarif à la semaine ( Tarif B ).

Tarif A : conseillé aux parents travaillant à temps partiel : 4 ¬ l heure de présence.
Tarif B : pour les parents mettant leur enfant à temps complet : 110 ¬ par semaine quel que soit le nombre d heures de présence.
1 Donner le prix à payer au Tarif A pour une présence hebdomadaire de 0 h ; 32 h ; 40 h.

2 Marion va à la crèche 32 h par semaine. Quel tarif ses parents vont-ils choisir ? Justifier ce choix.

3 On note x le nombre d heures de présence à la crèche par semaine. Exprimer en fonction de x le prix yA pour le tarif A.

4 Dans un repère orthogonal où sur l axe des abscisses, 2 cm représentent 5 h ; sur l axe des ordonnées, 1 cm représente 10 ¬ . Tracer la droite d1 d équation y= 4 x et la droite d2 , y= 110.

5 Déterminer graphiquement les coordonnées du point d intersection I des deux droites. Que représente-t-il ? Retrouver l abscisse de ce point par le calcul.

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Laurence Poisson - CAP

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Proportionnalité et fonction linéaire

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Other exersises: