OPTIQUE GEOMETRIQUE
TD E6 : Filtres passifs. But du chapitre. Mettre en équation un filtre linéaire passif,
le caractériser et représenter son diagramme de Bode en amplitude et en ...
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tion.3 , utilise la propriété de circulation conservative du gradient & montre que le chemin optique ne dépend que des valeurs de la phase au départ & à larrivée & donc :
Le chemin optique est nul sur une surface d'onde ;
Les chemins optiques sur les rayons R1 & R2 limités aux surfaces d'onde (1 & (2 sont égaux (théorème de Malus) ;
B. Principe de Fermat : Enoncé :
Le trajet effectivement suivi par la lumière pour aller de A en B est tel que l'intégrale du chemin optique soit STATIONNAIRE (minimale, maximale ou inflexionnelle).
Conséquences :
a). D'après la première expression du chemin optique, le Principe de Fermat implique donc que la lumière emprunte le chemin le plus rapide.
b). Si l'intégrale est stationnaire de A vers B, elle l'est aussi de B vers A : c'est le Principe du Retour Inverse, traduisant le fait que l'équation d'onde ne fait intervenir que V2 (& donc autorise les deux sens de propagation).
c). Dans les milieux homogènes (seuls au programme), n = cste sort de l'intégrale & la longueur de AB doit être extrémale donc : dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite.
Remarque : dans les milieux non homogènes, les rayons lumineux se courbent pour passer par les zones où n est faible, donc v élevée, pour diminuer le temps de parcours : application aux mirages.
d). Si tous les rayons lumineux issus du point source A convergent au point B après traversée d'un système optique S quelconque, ce système est dit stigmatique pour le couple de points A & B (B étant alors l'image de A par S, rôles symétriques en vertu du Principe du retour inverse). A & B étant des surfaces d'onde de rayon nul, le théorème de Malus donne la condition de stigmatisme : LAB = cste.
e). Le Principe de Fermat régit toute l'optique géométrique (en échange, il ne peut expliquer le phénomène de diffraction), & en particulier il est possible d'en déduire les lois de Descartes : en écrivant que les chemins optiques ACB des deux figures sont stationnaires, on obtient :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER PBrush
INCORPORER PBrush
Il en résulte qu'on passe formellement de la réflexion à la réfraction en changeant n2 en - n1.
II. PRISME :
INCORPORER PBrush
Le prisme est un milieu réfringent homogène, d'indice n, faisant un dièdre de rectiligne A (angle du prisme), toujours placé dans l'air. Il provoque la déviation d'un faisceau monochromatique & (de plus) la dispersion d'une lumière blanche.
A. Formules du prisme :
INCORPORER Equation.3
Ces formules supposent une double orientation (cf figure), alors tous les angles sont positifs. Les deux premières traduisent la loi de la réfraction aux points I & I, la troisième & la quatrième que la somme des angles d'un triangle (respectivement II'M & IIN) vaut 180 degrés.
Remarque : pour les petits angles (cf plus loin conditions de Gauss), la loi de Descartes INCORPORER Equation.3 tend vers la loi de Képler : i = n.r.
B. Conditions d'émergence : si INCORPORER Equation.3 , alors r = l (angle limite) avec INCORPORER Equation.3 . Inversement, si on a INCORPORER Equation.3 , il y a réflexion totale car i' ne peut excéder 90°. On aura donc les conditions ( r = A - l si r' = l) :
INCORPORER Equation.3
C. Minimum de déviation : on différencie les formules du prisme à n & A constants. On obtient :
INCORPORER Equation.3
Il en résulte qu'au minimum de déviation, le trajet de la lumière est symétrique par rapport au plan bissecteur de A. La dernière formule est utilisée en Travaux Pratiques pour mesurer l'angle du prisme.
D. Dispersion : on différencie les formules du prisme à A & i constants (n variant par l'intermédiaire de la longueur d'onde (). On obtient :
INCORPORER Equation.3
où INCORPORER Equation.3 , valeur de i au minimum de déviation. Selon la loi de Cauchy : INCORPORER Equation.3 , où C1 & C2 sont des constantes positives, & donc INCORPORER Equation.3 , & donc : le violet est le plus dévié.
III. DIOPTRES & MIROIRS :
A. L'approximation linéaire de l'optique : la condition de stigmatisme rigoureux INCORPORER Equation.3 étant très forte (seul le miroir plan la réalise pour tout point), on recherche une condition moins forte, dite "stigmatisme approché', correspondant aux conditions de Gauss :
La condition de stigmatisme approché est vérifiée pour tous les rayons paraxiaux (faiblement inclinés sur l'axe), donc tels que : INCORPORER Equation.3 .
Conséquences :
a). La condition de Gauss est réalisée dans les objectifs photographiques du type télé - objectif, mais pas dans ceux du type grand-angle.
b). Si u devient trop grand, le rayon émergent ne passe plus par A' (cf figure).
c). Les surfaces des miroirs & dioptres (constituant les lentilles) ne peuvent être que planes ou sphériques (limitations du programme) ; dans les conditions de Gauss, si u est infiniment petit principal, IH est d'ordre 1 & SH d'ordre 2 (cf figure) & donc en négligera la courbure des surfaces dans les conditions de Gauss.
INCORPORER PBrush
INCORPORER PBrush
B. Dioptre sphérique : l'étude du dioptre sphérique n'est pas au programme (alors que celle du miroir sphérique l'est). C'est toutefois un excellent exercice d'application du Principe de Fermat que d'établir sa formule de conjugaison, ce qui permet alors d'en déduire celles du miroir sphérique, du dioptre & miroir plans.
a. Formule de Descartes : simple origine au sommet S. On pose alors (valeurs algébriques, cf conventions d'orientation sur la figure) : SA1 = p1, SA2 = p2, SC = R, SH = x. Le Principe de Fermat se traduit par INCORPORER Equation.3 pour x
