Ex Parabole et produit scalaire
5- Calculer les coordonnées des vecteurs et et en déduire le produit scalaire . ...
7- A partir de l'expression trigonométrique du produit scalaire . , déterminer la ...
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EXERCICE DE MATHÉMATIQUE
L'étude mathématique s'appuie sur une antenne parabolique.
Pour la réception des ondes électromagnétiques, on utilise une des nombreuses propriétés de la parabole. La réflexion des ondes incidentes parallèle à l'axe de symétrie converge à son foyer. Le capteur est donc placé au foyer de la parabole..
Soit la fonction f définie sur [ 6 ; 6 ] par : f(x) = 0,04 x2 1.
Donner le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle d'étude[ 6 ; 6 ].
Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm (choisir les points judicieusement).
Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point P d'abscisse 5, puis tracer la tangente sur le graphique.
Placer dans le repère précédent les points P EQ \b(\a\ac\hs4\co1(5;0)), E EQ \b(\a\ac\hs4\co1(5;6)) et F EQ \b(\a\ac\hs4\co1( 0;5,25)).
Calculer les coordonnées des vecteurs EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE) et EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF) et en déduire le produit scalaire EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE) . EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF).
Calculer les normes des vecteurs EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE) et EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF), c'est à dire les longueurs PE et PF.
A partir de l'expression trigonométrique du produit scalaire EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE) . EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF), déterminer la valeur de l'angle EQ \o(\s\up5( EMBED Draw );EPF) arrondie au degré.
Déterminer l'équation de la perpendiculaire au point P de la tangente à la courbe représentative à la fonction f.
Considérer un point M de cette perpendiculaire et calculer les angles de sommet P, EQ \o(\s\up5( EMBED Draw );EPM) et EQ \o(\s\up5( EMBED Draw );MPF).
Vérifier que la mesure de l'angle incident est égale à la mesure de l'angle réfléchi aux erreurs d'arrondi près.
Correction de l'exercice sur l'antenne parabolique
Équation de la tangente : y = 0.4 x 2
Équation de la perpendiculaire à la tangente : y = 2,5 x + 12,5
Équation de la droite (PF) : y = - EQ \s\do1(\f(6;5)) x + 6 (inutile pour l'exercice)
9- On considère le point M EQ \b(\a\ac\hs4\co1(3;5)).
Les coordonnées du vecteur EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM) sont EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM) EQ \b(\a\ac\hs4\co1( 2;5)) et sa norme PM = EQ \r(29).
On calcule les produits scalaires EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM) et EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF).
L'expression analytique du produit scalaire donne : EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM) = 30 et EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF) = 36,25
L'expression trigonométrique permet d'exprimer le cosinus des angles de sommet P.
cos ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM)) = EQ \s\do1(\f( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM);PE SYMBOL 180 \f "Symbol"\h PM)) et cos ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF)) = EQ \s\do1(\f( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF);PM SYMBOL 180 \f "Symbol"\h PF))
soit cos ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM)) = EQ \s\do1(\f(30;6 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h EQ \r(29))) et cos ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF)) = EQ \s\do1(\f(36,25; EQ \r(29) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h 7,25))
ce qui donne : ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PE). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM)) = 21,80140949 ( EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PM). EQ \o(\s\up7(\d\fo2() SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 190\f Symbol \s5\h SYMBOL 174\f Symbol \s5\h );PF)) = 21,80140949
10- On retrouve bien l'égalité des angles d'incidence et de réflexion au degré près qui constitue la seconde loi de Descartes de l'optique géométrique.. Avec une précision bien supérieure on le vérifie encore. Le calcul exact de l'angle EQ \o(\s\up5( EMBED Draw );EPF) donne 43,60281897
T Ba date :
Ph. Georges Maths
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