Correction - Colegio Francia - Caracas
Calculer et en déduire que les droites (IB); (IC) ; (ID) sont deux à deux
orthogonales. (Déterminer les coordonnées des vecteurs et calculer le produit
scalaire.
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Exercice I
Soit ABCD un tétraèdre régulier. On note G le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) et I le milieu de [AG].
Démontrer que G est le centre de gravité du triangle BCD.
(Démontrer que GB =GC =GD)
Déterminer les coordonnées de G et de I dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
(utiliser les barycentres)
Calculer EMBED Equation.DSMT4 et en déduire que les droites (IB); (IC) ; (ID) sont deux à deux orthogonales.
(Déterminer les coordonnées des vecteurs et calculer le produit scalaire. Attention, le repère n'est pas orthonormé.)
Correction exercice1
Comme le tétraèdre est régulier, (AG) est perpendiculaire à la base, et AB = AC =AD et en utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles AGD, AGB et AGC on déduit que BG = CG = DG.
G est l'isobarycentre des points B, C et D donc :
EMBED Equation.DSMT4
donc EMBED Equation.DSMT4
de plus on a I milieu de [AG] donc EMBED Equation.DSMT4
Dans le repère EMBED Equation.DSMT4 , B(1;0;0) et C(0;1;0) donc
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
on sait que AB²=AC²=AD²et que EMBED Equation.DSMT4
donc EMBED Equation.DSMT4
les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 sont donc orthogonaux et on montrerait de même pour EMBED Equation.DSMT4 et pour EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice II
Soient les points A(2;3;4) ; B(3;1;2), et le vecteur EMBED Equation.DSMT4 (1 ; 2 ; 3)
D est la droite passant par A et de vecteur directeur EMBED Equation.DSMT4 .
P est le plan passant par B et perpendiculaire à D.
Déterminer une représentation paramétrique de D.
Déterminer une équation cartésienne de P.
a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur P.
b. Calculer la distance du point A au plan P.
a. Quel est le projeté orthogonale de B sur D.
b. Calculer la distance du point B à la droite D.
Correction
1. L'équation paramétrique d'une droite est de la forme :
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est un vecteur directeur de D.
Pour t= 0, on obtient un point de D.
donc le système :
EMBED Equation.DSMT4 avec t réel est une représentation paramétrique de la droite D.
2. Puisque P est perpendiculaire à D, le vecteur EMBED Equation.DSMT4 (1 ; 2 ; 3) est normal à P et donc une équation de P est :
x + 2y + 3z + d = 0
Les coordonnées de B(3;1;2) vérifient cette équation donc
(3) + 2(1 + 3(2 + d = 0 ou encore d = 11 et on obtient : P : x + 2y + 3z -11 = 0
Autre méthode :
Soit M(x;y;z) un point de P, les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 (1 ; 2 ; 3) et EMBED Equation.DSMT4 (x + 3 ; y 1 ; z 2) sont orthogonaux, c'est-à-dire EMBED Equation.DSMT4 ou encore
(x + 3) + 2(y 1) + 3(z 2) = 0 ou P : x + 2y + 3z -11 = 0
On préfèrera d'ailleurs cette méthode plus "élégante".
3.a. H étant le projeté orthogonal de A sur P, il est donc à l'intersection de P et de D.
Il existe donc un t particulier tel que :
EMBED Equation.DSMT4 et xH + 2yH + 3zH 11 = 0 soit :
(t + 2) + 2(2t 3) + 3(3t + 4) 11 = 0 ( t 2 + 4t 6 + 9t + 12 11 = 0 ( 14t = 7 ( EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
b. La distance de A à P est la distance de A à son projeté orthogonal sur P, c'est-à-dire la distance AH.
A(2;3;4) et EMBED Equation.DSMT4 , donc EMBED Equation.DSMT4 d'où
EMBED Equation.DSMT4
4.a. Le projeté orthogonal de B sur D est le point H.
b.
Il suffit de calculer la distance BH et on trouve EMBED Equation.DSMT4
Exercice 3.
1. Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts de l'espace.
Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si :
AC² + BD² = AD² + BC².
On pourra, par exemple, exprimer AC² AD² et BC² BD² sous forme de produits scalaires.
2. On considère un tétraèdre ABCD tel que (AB) est orthogonale à (CD) et (BC) est orthogonale à (AD).
Démontrer que les droites (BD) et (AC) sont orthogonales.
Correction
1. EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
or on sait que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales, donc le produit scalaire EMBED Equation.DSMT4
on a donc AC² AD² = BC² BD² ou encore AC² + BD² = AD² + BC².
2.
(AB) ( (CD) ( AC² + BD² = AD² + BC².
(BC) ( (AD) ( BA² + CD² = BD² + CA².
conclusion : AD² + BC² = BA² + CD² ( (AC) ( (BD)
