Reperage dans le plan - Maths-et-tiques
TP info : Lectures de coordonnées : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/
Lecture_coord.pdf. Coordonnées d'un vecteur. Activité conseillée Activité
conseillée ...
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REPERAGE DANS LE PLAN
Repère du plan
Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que lon peut noter (O, I, J).
Lorigine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).
Si on pose EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 , alors ce repère se note également (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ).
Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) où O est un point et EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont deux vecteurs non colinéaires.
- Un repère est dit orthogonal si EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé sil est orthogonal et si EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont de norme 1.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 1, 2 (page11)
p174 n°37, 38, 36
p173 n°39*, 40*
p179 n°93p182 n°109
p168 n°26
p170 n°63
p174 n°90, 91, 93
p181 n°133p174 n°92
p177 n°114 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP conseillé TP conseillé
TP Tice 1 page162 : Lire des coordonnées dans différents repèresp160 TP1 : Lire des coordonnées dans différents repères ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP info : Lectures de coordonnées :
HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Lecture_coord.pdf" http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Lecture_coord.pdf
Coordonnées dun vecteur
Activité conseillée Activité conseillée
p151 n°3 : Coordonnées de vecteursp149 n°3 : Coordonnées de vecteurs ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Définition : Soit M un point quelconque dun repère (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) et un vecteur EMBED Equation.DSMT4 tel que : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
Les coordonnées du vecteur EMBED Equation.DSMT4 sont les coordonnées du point M.
Si M(x, y), on note : EMBED Equation.DSMT4 (x, y) ou EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 .
Méthode : Déterminer les coordonnées dun vecteur par lecture graphique
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/8PyiMHtp1fE" https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Déterminer les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 par lecture graphique :
D B
A +2
+5 +3
C F
-1 +2
E
+3
Pour aller de A vers B, on effectue une translation de 3 carreaux vers la droite (+3) et une translation de 2 carreaux vers le haut (+2). On trace ainsi un « chemin » de vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 mis bout à bout reliant lorigine et lextrémité du vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
Ainsi EMBED Equation.DSMT4 = 3 EMBED Equation.DSMT4 + 2 EMBED Equation.DSMT4 .
Les coordonnées de EMBED Equation.DSMT4 sont donc EMBED Equation.DSMT4 .
De même, EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 3 à 5 (page11)
p174 n°41 à 43p174 n°44p168 n°27, 28
p174 n°94p168 n°29 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Propriété :
Soit A et B deux points de coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 dans un repère (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ).
Le vecteur EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3 .
Démonstration :
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 = - EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4
Comme - EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ont pour coordonnées respectives EMBED Equation.3 (voir propriété qui suit) et EMBED Equation.3 alors EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3 .
Méthode : Déterminer les coordonnées dun vecteur par calcul
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/wnNzmod2tMM" https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Retrouver les coordonnées des vecteurs par le calcul.
A EMBED Equation.DSMT4 , B EMBED Equation.DSMT4 , C EMBED Equation.DSMT4 , D EMBED Equation.DSMT4 , E EMBED Equation.DSMT4 et F EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
Propriétés :
Soit EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 deux vecteurs de coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 dans un repère
(O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) et un réel k.
- EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 équivaut à x = x et y = y
- Le vecteur EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3
- Le vecteur k EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3
Remarque :
Si EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3 alors - EMBED Equation.DSMT4 a pour coordonnées EMBED Equation.3 .
Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteurs
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/rC3xJNCuzkw" https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
Calculer les coordonnées des vecteurs 3 EMBED Equation.DSMT4 , 4 EMBED Equation.DSMT4 et 3 EMBED Equation.DSMT4 - 4 EMBED Equation.DSMT4 .
On a : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
3 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 , 4 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
3 EMBED Equation.DSMT4 - 4 EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
- Ex 6, 7 (page11)
p174 n°45
-p175 n°47, 48p175 n°46
p168 n°30, 32, 33
p175 n°96, 97p168 n°31 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Méthode : Calculer les coordonnées dun point défini par une égalité vectorielle
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/eQsMZTcniuY" https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Dans un repère, soit les points A EMBED Equation.DSMT4 , B EMBED Equation.DSMT4 , C EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
On a : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
Donc EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
Soit EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 8, 9 (page12)
p175 n°50, 51
p175 n°53
p177 n°83p175 n°49p168 n°34, 35, 37
p175 n°100p168 n°36 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Critère de colinéarité
Propriété :
Soit EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 deux vecteurs de coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 dans un repère
(O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ).
Dire que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy yx = 0.
Démonstration :
Si lun des vecteurs est nul alors léquivalence est évidente.
Supposons maintenant que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 soient non nuls.
Dire que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 sont colinéaires équivaut à dire quil existe un nombre réel k tel que EMBED Equation.DSMT4 = k EMBED Equation.DSMT4 .
Les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
xx yy Donc : xy = yx soit encore xy yx = 0.
Réciproquement, si xy yx = 0.
Le vecteur EMBED Equation.DSMT4 étant non nul, l une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que x `" 0. Posons alors k = EMBED Equation.DSMT4 . Légalité xy yx = 0 sécrit : EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4 = k EMBED Equation.DSMT4 .
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/eX-_639Pfw8" https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont colinéaires dans un repère (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ).
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3
a) 4 x 21 (-7) x (-12) = 84 84 = 0.
Les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que EMBED Equation.DSMT4 .
5 x (-7) (-2) x (15) = -35 + 30 = -5 `" 0.
Les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ne sont donc pas colinéaires.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 10 à 12 (page12)
p175 n°54, 57, 55*
p176 n°63p175 n°56p168 n°38, 39
p175 n°102, 104
p180 n°129*p169 n°40 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Méthode : Appliquer le critère de colinéarité
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/eX-_639Pfw8" https://youtu.be/eX-_639Pfw8
On considère (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) un repère du plan.
Soit A EMBED Equation.3 , B EMBED Equation.3 , C EMBED Equation.3 , D EMBED Equation.3 et E EMBED Equation.3 .
1) Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Démontrer que les points E, B et D sont alignés.
1) EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Comme les coordonnées de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont proportionnelles, on en déduit que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont colinéaires.
Les droites (AB) et (CD) sont donc parallèles.
2) EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
-2 x (-1) 2 x 1 = 0
Les coordonnées de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 vérifient le critère de colinéarité des vecteurs.
On en déduit que les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont colinéaires.
Les points E, B et D sont donc alignés.
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p176 n°64 à 66
p176 n°68
p176 n°69, 70*
p181 n°104*p176 n°67p169 n°46, 47, 49, 50, 52p169 n°48, 51 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Coordonnées du milieu dun segment
Propriété :
Soit A et B deux points de coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 dans un repère
(O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ). Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
EMBED Equation.3
Démonstration :
Considérons le parallélogramme construit à partir de O, A et B.
Soit M son centre.
Alors EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ).
EMBED Equation.DSMT4 (ou M) a donc les mêmes coordonnées que celles du vecteur EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ) soit : EMBED Equation.3
Méthode : Calculer les coordonnées dun milieu
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/YTQCtSvxAmM" https://youtu.be/YTQCtSvxAmM
Calculer les coordonnées de M, N et P milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
M ( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ) = (0 ; 2) N ( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ) = (2,5 ; 1)
P ( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ) = (0,5 ; 0)
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 13, 14 (page12)
p175 n°58
p176 n°72
p175 n°59*p181 n°102p169 n°41, 42
p179 n°127p169 n°53 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Distance dans un repère orthonormé
Propriété :
Soit A et B deux points de coordonnées EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 dans un repère orthonormé (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ) alors :
AB = EMBED Equation.DSMT4
(Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore)
Méthode : Calculer une distance dans un repère orthonormé
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/pP8ebg8W9o8" https://youtu.be/pP8ebg8W9o8
Soit A EMBED Equation.3 et B EMBED Equation.3 deux points dans un repère orthonormé (O, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ).
La distance AB (ou norme du vecteur EMBED Equation.DSMT4 ) est égale à :
AB = EMBED Equation.3
= EMBED Equation.DSMT4
= EMBED Equation.DSMT4
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p175 n°60 à 62
p176 n°74, 75*, 76*
p180 n°100*p176 n°73
p169 n°43, 44, 54, 55
p179 n°125p169 n°45 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
TP conseillé TP conseillé
TP algo2 p166 : Coordonnées et norme dun vecteur
TP algo3 p167 : Colinéarité, alignement
TP algo4 p167 : Triangles isocèlesp161 TP3 : Coordonnées et norme dun vecteur
p162 TP4 : Colinéarité, alignement
p164 TP8 : Triangles isocèles ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Soit un rectangle ABCD de centre O.
1) Donner les coordonnées des points A, B, C, D et O dans le repère EMBED Equation.3 .
2) Même question dans le repère EMBED Equation.3 .
2) Même question dans le repère EMBED Equation.3 .
Soit un carré ABCD de centre O.
1) On considère le repère EMBED Equation.3
a) Donner les coordonnées de A symétrique de A par rapport à C.
b) Donner les coordonnées de B symétrique de B par rapport à A.
c) Donner les coordonnées de O symétrique de O par rapport à A.
2) Même questions dans le repère EMBED Equation.3 .
a) Lire les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
b) Représenter les vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
a) Lire les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
b) Représenter les vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
c) Placer le point B tel que le vecteur EMBED Equation.3 ait pour coordonnées (1;2).
Soit un rectangle ABCD.
On considère le repère EMBED Equation.3 .
a) Donner les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
b) Placer le point E tel que le vecteur EMBED Equation.3 ait pour coordonnées (-1;2).
c) Placer le point F tel que le vecteur EMBED Equation.3 ait pour coordonnées (2;-2).
Soit A(2 ; 3), B(4 ; 1), C(2 ; 4) et D(5 ; 1) quatre points dans un repère du plan.
Calculer les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
Soit A(3 ; 2), B(4 ; 1) et C(6 ; 4) trois points dans un repère du plan.
Calculer les coordonnées des vecteurs EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Soit les points A(2 ; 3), B(5 ; 2) et C(6 ; 3).
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Soit les points A(2 ; 1), B(2 ; 0) et C(1 ; 2).
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Soit les points A(1 ; 4), B(3 ; 5), C(2 ; 1) et D(4 ; 2).
Démontrer que les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont colinéaires.
Soit les points A(2 ; 5), B(1 ; 3), C(1 ; 2) et D(3 ; 1).
1) Démontrer que les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 ne sont pas colinéaires.
2) Les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont-ils colinéaires ?
Soit A(2 ; 4), B(2 ; 3), C(1 ; 5) et D(2 ; 3) quatre points dans un repère du plan.
Les vecteurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont-ils colinéaires ?
Soit A(3 ; 2), B(1 ; 4) et C(1 ; 3).
Calculer les coordonnées des milieux I de [AB], J de [AC] et K de [BC].
Soit C(4 ; 3), D(5 ; 2) et E(3 ; 2).
Calculer les coordonnées des milieu I de [CD], J de [CE] et K de [ED].
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Yvan Monka Académie de Strasbourg HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr" www.maths-et-tiques.fr
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
I
J
O
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
Repère orthogonal
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
Repère orthonormé
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
Repère quelconque
J
I
0
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
B
O
M
A
J
I
0
A
B
CV
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
B
A
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