La corrélation - Univ-lille1
Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés ... Le coefficient de
corrélation mesure l'écart entre les 2 droites de régression D et D'. ... Corrigé.
Dans ce cas, la variable x sera le lancer du bras gauche et la variable y sera le
lancer ...
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La corrélation
Pré requis
Notion qualitative de corrélation par interprétation de nuage de points
Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés
Formalisme
Droite de régression
Dans la réalisation d'un ajustement linéaire, on cherche à rendre minimale la somme des carrés des écarts Mi Pi afin d'obtenir la droite D d'équation y = ax + b.
y est exprimé en fonction de x
Dans lajustement linéaire les deux variables x et y nont pas un rôle symétrique.
Il y a une « entrée » x et une « sortie » y.
Dans de nombreux cas, cette orientation a un sens concret car une des variables est explicative de lautre ou il y a une causalité sous jacente.
Exemples : âge poids
Frais de publicité volume des ventes
Année chiffre daffaires
Mais dans dautres cas le problème nest pas orienté et les deux variables peuvent alternativement jouer le rôle d »entrée » et de « sortie »
Exemple : taille poids
On peut ainsi définir de la même façon une droite d'ajustement D' telle que la somme des carrés des écarts MiQi soit minimale.
On cherche alors la droite D' (x en fonction de y) d'équation x = ay + b
Cette droite D' s'appelle la droite de régression de x par rapport à y.
et D s'appelle la droite de régression de y par rapport à x.
Corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire est défini par EMBED Equation.2
a et a étant les coefficients directeurs respectifs des droites D et D', on les détermine par les formules :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Le coefficient de corrélation mesure l'écart entre les 2 droites de régression D et D'.
r est toujours compris entre -1 et + 1.
Il sera positif si les variables varient dans le même sens, négatif si elles varient en sens contraire.
Plus le coefficient se rapproche de 1 ou -1 meilleure est la corrélation.
a) r = 1 (ou r = -1) : Les points sont alignés sur une droite ascendante (respectivement descendante) et traduisent donc une variation des 2 variables dans le même sens (respectivement de sens contraire).
SHAPE \* MERGEFORMAT
b) r est proche de 1 (respectivement -1) : les 2 variables x et y montrent une liaison marquée et croissante (respectivement décroissante). La régression est dans ce cas intéressante.
On dit qu'il existe une forte corrélation entre x et y.
c) r = 0 ou proche de 0 :
Il y a absence de liaison linéaire ; la régression est alors peu justifiée. La dispersion des points Mi est dans ce cas maximale.
Quand r = 0 les droites D et D sont perpendiculaires
Rappelons quil ne faut pas confondre absence de corrélation linéaire et absence de toute corrélation. Il se peut que les points sorganisent autour dune courbe (parabole, exponentielle..).
Dans ce cas on se ramène par un changement de variable à un ajustement linéaire soit en utilisant du papier fonctionnel (semi log, loglog, gausso arithmétique)
Remarque : Un fort coefficient de corrélation n'implique par l'existence d'un lien de causalité entre les 2 variables. Les variations de ces 2 variables peuvent notamment être conséquence toutes deux des variations d'une 3ème variable (ex les ventes de lunettes de soleil et les ventes de glaces). Elles peuvent aussi n'avoir aucun lien logique entre elles.
En matière de corrélation, il faut donc se montrer extrêmement prudent quant aux conclusions relatives aux liens qui unissent éventuellement les 2 phénomènes étudiés.
Exercice dapplication
Situation : Le lancer de poids
Rependre lexemple du lancer de poids des gauchers.
AdolescentBras gaucheBras droit15,14,526,25,536,85,245,54,356,65,165,84,677,2685,54,595,74,5106,75,8
Déterminer sil y a une bonne corrélation entre le lancer du bras gauche et le lancer du bras droit
Corrigé
Dans ce cas, la variable x sera le lancer du bras gauche et la variable y sera le lancer du bras droit.
Il faut dabord calculer EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On organise les calculs dans le tableau suivant :
xy EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 5,14,51,02010,250,5056,25,50,00810,250,0456,85,20,47610,040,1385,54,30,37210,490,4276,65,10,24010,010,0495,84,60,09610,160,1247,261,188111,095,54,50,37210,250,3055,74,50,16810,250,2056,75,80,34810,640,4724,2893,343,36
La dernière ligne indique la somme des colonnes :
EMBED Equation.3
SHAPE \* MERGEFORMAT
droite D de régression du bras droit en fonction du bras gauche droite D de régression du bras gauche en fonction du bras droit
Si on superpose les deux droites dans le même repère, langle formé par les deux droites nest pas très important :
EMBED Equation.3
Le coefficient de corrélation a une valeur assez proche de 1, on peut dire quil y a une corrélation significative entre les deux lancers.
HYPERLINK "AT903.pdf" Interprétation du coefficient
Si votre calculatrice vous permet de faire des statistiques à 2 variables, vous avez la possibilité de visualiser le coefficient r.
Le logiciel Excel vous fournit quant à lui r² (coefficient de détermination).
Il suffit pour cela lors de linsertion de la courbe de tendance de cocher dans la rubrique « options » la case « Afficher le coefficient de détermination (R²) sur le graphique »
Si on mélange les deux populations droitiers et gauchers on obtient le graphique suivant :
EMBED Excel.Chart.8 \s
Dans ce cas les points sont trop dispersés et on ne peut pas faire dajustement.
Noter que lon retrouve visuellement les deux sous populations.
Dans tout ajustement vérifier quon a bien affaire à une même population et quil ny a pas une variable cachée qui partagerait la population en deux ou plusieurs sous populations (exemple : filles et garçons droitier ou gauchers
)
CUEEP Département Mathématiques E903 Corrélation p PAGE 12/ NUMPAGES 12
EMBED Unknown
