Td corrigé EXERCICE 3 (sur 2 points) pdf

EXERCICE 3 (sur 2 points)

Année. 1997. 1998. 1999. 2000. Nombre de clients. 950. 1 105. 2 103. 2 470 .... A long terme, déterminez le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année. Conservez l'énoncé. Page 4/4. Corrigé 1 .




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Term. ES & L (spécialité mathématiques) 9 février 2017
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES N°2
( Seule la calculatrice personnelle est autorisée. Les exercices sont indépendants.
Tout résultat fourni par l’énoncé peut être admis pour poursuivre. Bon travail !

nð Exercice 1 ...................................................................(pour tous ; 6 points)
Soit f la fonction définie sur Rð par : EMBED Equation.3 .
On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal.
On note f la fonction dérivée de f.

1. Calculez la valeur exacte de f(0), de f((2) et de f(2).
Donnez, de plus, une valeur approchée à 10(2 près si nécessaire.

2. Montrez que, pour tout x appartenant à Rð : f (x)  EMBED Equation.3 .

3. Déduisez-en les variations de f sur Rð. (Les limites ne sont pas demandées.)

4. Un dessin de la courbe C est donné ci-dessous. Les unités ont été effacées. Le point D est l intersection de C avec l axe des ordonnées et le point E est l intersection de C avec l’axe des abscisses. Le point F est le point de C d’ordonnée maximale.

a. Donnez la valeur exacte des coordonnées des points D, E et F.
b. Soit G le point de coordonnées (3 ; 2). La droite (DG) est-elle tangente à C en D ? Justifiez la réponse.

5. Montrez que, sur l’intervalle [0 ; 2], l’équation f(x) = 2 admet une unique solution ( puis donnez sans justifier un encadrement de ( au centième près.

6. Donnez l’expression de la dérivée seconde de f. Déduisez-en la convexité de f.
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nð Exercice 2 .................................................................. (pour tous ; 5 points)

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas une pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
On choisit au hasard au hasard dans le lycée.
On note L l’événement « l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi » et C l’événement « l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire ».
Si nécessaire, arrondissez les résultats obtenus à 10(4 près.

1. Décrivez cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Calculez la probabilité  EMBED Equation.3  de l’événement  EMBED Equation.3 .

3. Montrez que  EMBED Equation.3  = 0,5675.

4. Calculez  EMBED Equation.3 , la probabilité de l’événement L sachant l’événement C réalisé.

5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

a. Justifiez que X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.

b. Calculez la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

c. Calculez la probabilité qu’exactement deux des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire.



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nð Exercice 3 ............... (pour les non-spécialistes de ES et les L ; 5 points)
Les élèves de spécialité ES remplaceront cet exercice
par celui proposé par M Dutrievoz.

Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied. Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s’accumule ce qui fait que sa performance diminue de 1 % tous les jours.
Pour tout entier naturel n non nul, on note dn la distance en kilomètres parcourue durant le n-ième jour.

1. Calculez les distances d1, d2 et d3 parcourues durant les trois premiers jours.

2. a. Expliquez pourquoi, pour tout entier naturel n non nul :
dn+1 = 0,99dn.
b. Déduisez-en la nature de la suite (dn) et l’expression de dn en fonction de n.

3. Calculez en fonction de n le nombre total Ln de kilomètres parcourus au bout de n jours, c’est-à-dire :
Ln = d1 + d2 + .... + dn.

4. Déduisez-en la limite de Ln lorsque n tend vers +(.
Le globe-trotter peut-il gagner son pari ?

5. Que représente le résultat fourni par l’algorithme ci-après ? Implantez-le sur votre calculatrice et donnez sans justifier le résultat fourni.























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nð Exercice 4 .................................................................. (pour tous ; 4 points)

Le gérant d un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures. Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l’UNESCO et l’hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l’indique le tableau ci-dessous :
Année1997199819992000Nombre de clients9501 1052 1032 470
1. Déterminez le pourcentage d’augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.

Par ailleurs, depuis le 1er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l hôtel compte 1 200 nouveaux clients et que 70 % des clients de l année précédente reviennent.
On modélise cette situation par une suite (un)n(Nð  où un représente le nombre total de clients durant l’année 2000 + n. On a ainsi :
u0 = 2 470 et, pour tout entier naturel n :  EMBED Equation.3 0,7un + 1 200.

2. Déterminez le nombre total de clients durant l’année 2001.

3. Le gérant de l’hôtel souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3 900.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul donne l’année correspondante ; précisez lequel sans justifier et indiquez l’année cherchée sans justifier.
ALGORITHME 1 :

U prend la valeur 2 470
N prend la valeur 0
Tant Que U < 3 900
 U prend la valeur 0,7 ( U + 1 200
N prend la valeur N+1
Fin Tant Que
Afficher 2 000 + N


ALGORITHME 2 :

U prend la valeur 2 470
N prend la valeur 0
Tant Que U > 3 900
 U prend la valeur 0,7 ( U + 1 200
N prend la valeur N+1
Fin Tant Que
Afficher 2 000 + N


ALGORITHME 3 :

U prend la valeur 2 470
N prend la valeur 0
Tant Que U < 3 900
 U prend la valeur 0,7 ( U + 1 200
N prend la valeur N+1
Fin Tant Que
Afficher U
4. Soit (vn) la suite définie sur Nð par, pour tout entier naturel n : vn = un ( 4 000.
a. Démontrez que la suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,7 et précisez son premier terme.
b. Exprimez le terme général vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.
c. Déduisez-en que, pour tout entier naturel n : un = 4 000 ( 1 530 ( 0,7n.

5. A long terme, déterminez le nombre de clients que le gérant de l’hôtel peut espérer avoir chaque année.
Conservez l’énoncé. Page 4/4
Corrigé 1 ......................................................................(Bac La Réunion 2008)
1. f(0) = 3e0 d’où : f(0) = 3. f((2) = (3 ( 2 ( ((2)) EMBED Equation.3  d’où : f((2) = 7e(1  EMBED Equation.3 ( 2,58.
f(2) = (3 ( 2 ( 2) EMBED Equation.3  d où : f(2) = (e ( (2,72.
2. f est dérivable sur Rð comme produit de fonctions dérivables sur Rð et, pour tout réel x :
u(x) = 3 ( 2x v(x) =  EMBED Equation.3   ; u’(x) = ( 2 v’(x) =  EMBED Equation.3 
f’(x)  EMBED Equation.3  d’où : pour tout réel x : f’(x)  EMBED Equation.3 .
3. Pour tout réel x :  EMBED Equation.3  > 0 donc f’(x) est du signe de  EMBED Equation.3 . f’(x) > 0 (  EMBED Equation.3  > 0 ( x <  EMBED Equation.3 .
f est donc strictement croissante sur  EMBED Equation.3  et strictement décroissante sur  EMBED Equation.3 (cohérent avec la courbe donnée !).
4. a) D’après 1. : D(0 ; 3). f  EMBED Equation.3  donc : F EMBED Equation.3 .
x(( ( EMBED Equation.3  +(f ’(x) + 0 (f(x)
  EMBED Equation.3 

(( N.B.  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  donc :  EMBED Equation.3  (cohérent avec la courbe donnée !). On obtient ce tableau de variations :
L’abscisse x de E vérifie :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 d’où : E EMBED Equation.3 .
b) Le coefficient directeur de la droite (DG) est :  EMBED Equation.3 .
Le coefficient directeur de la tangente à C en D est : f’(0)  EMBED Equation.3  .
Ces coefficients directeurs sont différents donc la droite (DG) n’est pas tangente à C en D.
5. f est continue sur [0 ; 2] et strictement décroissante sur [0 ; 2]. D’après les valeurs de f(0) et f(2) trouvées au 1., 2 est compris entre f(0) et f(2). Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution ( sur [0 ; 2].
f(0,84) ( 2,009 et f(0,85) ( 1,998 donc f(0,85) < f(() < f(0,84) ; or f est strictement décroissante sur [0 ; 2] donc : 0,84 0 (  EMBED Equation.3 > 0 ( x <  EMBED Equation.3 .
f est donc convexe sur  EMBED Equation.3  et concave sur  EMBED Equation.3  ; la courbe présente donc un point d’inflexion d’abscisse  EMBED Equation.3  (cohérent avec la courbe donnée !).

Corrigé 2 ..............................................................(Bac Antilles-Guyane 2015)
 1.











2. P EMBED Equation.3 P(L) ( PL(C) = 0,55 ( 0,95 d’où : P EMBED Equation.3 0,5225.
3. C est la réunion des deux événements incompatibles  EMBED Equation.3  et EMBED Equation.3 . D’après la formule des probabilités totales :  EMBED Equation.3 .
Or :  EMBED Equation.3  = 0,45 ( 0,1 = 0,045.
D’où :  EMBED Equation.3 0,5225 + 0,045 soit :  EMBED Equation.3 0,5675.

4. PC(L)  EMBED Equation.3  soit : PC(L) ( 0,9207 à 10(4 près.
5. a. On répète 4 fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli pour laquelle la probabilité d’un succès (l’élève est favorable à une répartition des cours plus étalée) est :  EMBED Equation.3 0,5675. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,5675.
Pour tout entier k compris au sens large entre 0 et 4 : P(X = k)  EMBED Equation.3 .
b. P(X = 0) EMBED Equation.3 .
La probabilité qu’aucun des quatre élèves ne soit favorable à une répartition plus étalée est donc : 0,43254 soit 0,0350 à 10(4 près.
c. P(X = 2) EMBED Equation.3 .
La probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition plus étalée est donc : 6 (  EMBED Equation.3  soit 0,3615 à 10(4 près.
Corrigé 3 ........................................................................(Bac Polynésie 2006)

1. Le globe-trotter peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée donc la distance parcourue le premier jour est : d1 = 50.
D’un jour au suivant, la performance diminue de 1 % donc est multipliée par 0,99 donc les distances en km parcourues durant les deuxième et troisième jours sont respectivement :
d2 = 0,99d1 = 0,99 ( 50 d’où : d2 = 49,5 ;
d3 = 0,99d2 = 0,99 ( 49,5 d’où : d3 = 49,005.
2. a) D’un jour au suivant, la performance diminue de 1 % donc est multipliée par 0,99 donc  pour tout entier naturel n non nul :
dn+1 = 0,99dn.
b) La suite (dn) est donc géométrique de raison q = 0,99.
Pour tout entier naturel n non nul : dn = d1 ( qn(1 d’où : dn = 50 ( 0,99n(1.
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