Correction des exercices de préparation au brevet
Correction des exercices de préparation au brevet. Activités numériques : .... Je
peux donc utiliser le théorème de Thalès : { } = = d'où : = ; ED = = = 13. ED est ...
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EQ \s\do1(\f(1;4)) + EQ \s\do1(\f(3;4))×EQ \s\do1(\f(4;5)) soit EQ \s\do1(\f(17;20)) de la propriété.
b. Il lui reste EQ \s\do1(\f(3;20)) de la propriété invendue.
c. Soit s la superficie de départ, EQ \s\do1(\f(3;20)) de s vaut 6, soit EQ \s\do1(\f(3s;20)) = 6 donc s = EQ \s\do1(\f(20×6;3)) = EQ \s\do1(\f(120;3)) = 40
La superficie avant la vente était de 40 hectares.
Exercice n°3
E = (2x + 1)² - 4 = (2x)² + 2×2x×1 + 1² - 4 = 4x² + 4x + 1 4 = 4x² + 4x 3.
E = (2x + 1)² - 2² = (2x + 1 +2)(2x + 1 2) = (2x + 3)(2x 1).
(2x + 3)(2x 1) = 0. {C'est une équation produit}
Un produit est nul si l'un de ses ces facteurs est nul; ainsi :
2x + 3 = o ou 2x 1 = 0
2x = - 3 ou 2x = 1
x = - EQ \s\do1(\f(3;2)) ou x = EQ \s\do1(\f(1;2))
Les solutions de l'équation (2x + 3)(2x 1) = 0 sont - EQ \s\do1(\f(3;2)) et EQ \s\do1(\f(1;2)) .
D'après la question précédente,
pour x = - EQ \s\do1(\f(3;2)) , E vaut 0. (c'est l'une des solutions de l'équation produit)
Pour x = 0, E = 4×0² + 4×0 3 = - 3.
Exercice n°4
y = x + EQ \s\do1(\f(8;100)) × x = x + 0,08x = (1 + 0,08)x d'où : y = 1,08x
329 × 1,08 = 355,32. Le lecteur DVD coûte 355,32¬ après augmentation.
324÷ 1,08 = 300. Le lecteur DVD coûtait 300¬ avant augmentation.
Activités numériques :
Exercice 1 :
A = EQ \s\do1(\f(1;3)) EQ \s\do1(\f(1;3))× EQ \s\do1(\f(4;7)) = EQ \s\do1(\f(1;3)) - EQ \s\do1(\f(4;21)) = EQ \s\do1(\f(7;21)) EQ \s\do1(\f(4;21)) = EQ \s\do1(\f(3;21)) = EQ \s\do1(\f(1;7)) donc : A = EQ \s\do1(\f(1;7))
B = EQ \s\do1(\f(6;5)) ÷ (EQ \s\do1(\f(1;15)) EQ \s\do1(\f(1;5))) = EQ \s\do1(\f(6;5)) ÷ (EQ \s\do1(\f(1;15)) EQ \s\do1(\f(3;15))) = EQ \s\do1(\f(6;5)) ÷ (-EQ \s\do1(\f(2;15))) = EQ \s\do1(\f(6;5)) × (-EQ \s\do1(\f(15;2))) = - EQ \s\do1(\f(3×2×3×5;5×2)) = - 9. Donc : B = -9.
Exercice 2 :
C = (3x 1 )² - (3 x 1)(2 x + 3)
C = 9x² - 6x + 1 (6x² + 9x 2x 3)
C = 9x² - 6x + 1 6x² - 9x + 2x + 3 ; d'où :
C = 3x² -13x + 4
C = (3x 1 )² - (3 x 1)(2 x + 3) = (3x 1 )[ (3x 1 ) (2x + 3)] = (3x 1 )(3x 1 2x 3)
Donc : C = (3x 1 )(x 4)
(3x 1 )(x 4) = 0. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ; ainsi :
3x 1 = 0 ou x 4 = 0
x = ou x = 4
Conclusion : les solutions de l'équation (3x 1 )(x 4) = 0 sont EQ \s\do1(\f(1;3)) et 4.
Sachant que C = 3x² - 13 x + 4, pour x = EQ \r(EQ 2) on a :
C = 3×( EQ \r(EQ 2))² -13× EQ \r(EQ 2) + 4 = 3 × 2 -13 EQ \r(EQ 2) + 4 d'où C = 10 - 13 EQ \r(EQ 2).
Exercice 3 :
Il faut calculer le plus grand diviseur commun à 182 et à 78.
Utilisons l'algorithme d'Euclide :
182 = 78 × 2 + 26
78 = 26 × 3 + 0. donc : PGCD(182 ; 78) = 26.
Ainsi, Julie pourra faire 26 bouquets identiques.
181÷26 = 7 et 78÷26 = 3. Chacun des bouquets comportera 7 brins de muguet et 3 roses.
Activités géométriques :
Exercice 1 :
Montrons que les droites (ED) et (AB) sont parallèles ; en effet :
Je sais que :
Les points C, E et B d'une part et les points C, D et A d'autre part sont alignés dans ce même ordre
avec CE = 5 ; CB = 7,5 ; CD = 12 et CA = 18.
Par ailleurs, calculons :
EQ \s\do1(\f(CE;CB)) = EQ \s\do1(\f(5;7,5)) = EQ \s\do1(\f(50;75)) = EQ \s\do1(\f(2;3))
EQ \s\do1(\f(CD;CA)) = EQ \s\do1(\f(12;18)) = EQ \s\do1(\f(2;3))
On constate que EQ \s\do1(\f(CE;CB)) = EQ \s\do1(\f(CD;CA))
On peut alors conclure, grâce à la réciproque du théorème de Thalès que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
Montrons que ED = 13
Je sais que
E ( (CB) ; D ( (CA) et que (ED) // (AB)
Je peux donc utiliser le théorème de Thalès :
{EQ \s\do1(\f(CE;CB)) } = EQ \s\do1(\f(CD;CA))= EQ \s\do1(\f(ED;BA)) d'où : EQ \s\do1(\f(2;3))= EQ \s\do1(\f(ED;19,5)) ; ED = EQ \s\do1(\f(2×19,5;3)) = EQ \s\do1(\f(39;3)) = 13.
ED est bien égal à 13.
CED est un triangle tel que CE = 5 ; CD = 12 et ED = 13
On a : ED² = 13² = 169 et CE² + CD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Donc ED² = CE² + CD²
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore le triangle CED est rectangle en C.
Le triangle CED est rectangle en C. On a donc :
tan EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );DEC) = EQ \s\do1(\f(CD;EC)) = EQ \s\do1(\f(12;5)) = 2,4. Donc : EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );DEC) ( 67°
Exercice 2 :
OA=OB (ce sont des rayons d'un même cercle), donc AOB est isocèle en O. Ainsi EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );OAB) = EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );OBA)= (180 50)÷2 = 65°.
De même dans le triangle COB : EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );OBC)= EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );OCB)= (180 150)÷2 = 15°.
Enfin dans le triangle OAC : AOC = 360 (50+150) = 160° ; OAC = OCA = (180 160 )÷2 = 10°
Par conséquent :
EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );BAC)= 10 + 65 = 75°.
EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );ABC)= 65 + 15 = 80°.
EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );ACB)= 10 + 15 = 25°.
Exercice 3 :
Problème
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm.
Première partie.
1. ABCD est un rectangle donc ABM est un triangle rectangle en B, daprès le théorème de Pythagore on peut écrire : AM² = AB² + BM²
AM² = 6² + 2²
AM² = 36 + 4
AM² = 40
AM = EQ \r(40)
AM = EQ \r(4 ( 10)
EQ \x(AM = 2 EQ \r(10))
2. Aire AMCD = Aire ABCD Aire ABM Aire ADN
= AB ( BC EQ \s\do1(\f(AB ( BM;2)) EQ \s\do1(\f(AD ( DN;2))
= 6 ( 4 EQ \s\do1(\f(6 ( 2;2)) EQ \s\do1(\f(4 ( (6 2);2))
= 24 6 8
= 10 cm²
Deuxième partie.
1. Aire ABM =EQ \s\do1(\f(AB ( BM;2)) = EQ \s\do1(\f(6 ( x;2)) = 3x
2. a. N est sur le segment [DC] donc DC = DN + NC
(cas de légalité dans linégalité triangulaire)
6 = DN + x doù EQ \x(DN = 6 x)
b. Aire ADN =EQ \s\do1(\f(AD ( DN;2))
Aire ADN = EQ \s\do1(\f(4 ( (6 x);2))
Aire ADN = 2 ( (6 x)
Aire ADN = 12 2x
Activités numériques :
Exercice 1 :
A = (2x - 1)² - 4(2 x) = 4x² - 4x + 1 8 +4x = 4x² - 7
B = (x 1)² + (3x + 5)(x 1) = (x 1)( x- 1 +3x + 5) = (x 1)(4x + 4)
(x 1)(4x + 4) = 0 ; un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ; ainsi :
x 1 = 0 ou 4x + 4 = 0 ; soit x = 1 ou x = - 1.
Les solutions de l'équation (x 1)(4x + 4) = 0 sont 1 et 1.
Exercice 2 :
Calculons le PGCD de 1820 et 2730 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
2730 = 1820 × 1 + 910
1820 = 910 × 2 + 0, donc : PGCD(1820 ; 2730) = 910.
EQ \s\do1(\f(1820;2730)) = EQ \s\do1(\f(910 × 2;910 × 3)) = EQ \s\do1(\f(2;3)).
Exercice 3 :
Soit n le plus grand de ces deux nombres. L'autre est forcément a + 51. On a alors :
a + (a + 51) = 2003
d'où : 2a + 51 = 2003
2a = 2003 51
2a = 1952
a = 1952÷2
a = 976. D'autre part, a + 51 = 1027.
Conclusion : les nombres cherchés sont 976 et 1027.
Exercice 4 :
Calculons la taille moyenne des basketteurs :
EQ \s\do1(\f(165 + 175 + 187 + 165 + 170 + 181 + 174 + 184 + 171 + 166 +178 + 177 + 176 + 174 + 176;15)) = 174,6
la taille moyenne est de 174,6cm.
Ordonnons les tailles par ordre croissant :
165 165 166 170 171 174 174 - 175 176 176 177 178 181 184 187
Il y a 15 basketteurs au total, la médiane correspond à la 8ème valeur, c'est donc : 175.
Activités géométriques :
Exercice 1 :
De P1 à P2 : par symétrie orthogonale d'axe (d)
De P1 à P3 : par translation de vecteur EQ \o(\s\up9( EMBED Word.Picture.8 );AE).
De P3 à P4 : par rotation de centre C et d'angle 45°.
De P1 à P5 : par symétrie de centre B.
Exercice 2 :
Le triangle ABC étant rectangle en B, avec AB = 5cm et  = 60°. On a :
Cos  = EQ \s\do1(\f(AB;AC))
Cos 60° = EQ \s\do1(\f(5;AC)) donc : AC = EQ \s\do1(\f(5;cos 60°)) soit AC = 10 cm.
Exercice 3 :
SAB est un triangle rectangle en A; d'après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
SB² = SA² + AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 donc : SB = 5 cm.
V = EQ \s\do1(\f(AB² × SA ;3)) = EQ \s\do1(\f(3² × 4;3)) = 12 cm3.
P3
P4
P2
P1
F
B
A
E
O
P
B
A
D
C
M
N
B
A
D
C
M
N
x
x
