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Il comprend deux (02) grands chapitres : cinématique du point matériel ;
dynamique du point ... Appliquer le théorème de la conservation de l'énergie
mécanique à un système ... Déterminer l'équation différentielle d'oscillateur
harmonique.
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PCSI. 06/07. 4heures.
Physique. Devoir surveillé N°4.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Système à deux miroirs sphériques.
Un système optique est constitué de deux miroirs sphériques, à faces réfléchissantes en regard : l'un M1 concave, de rayon R1, et percé d'une petite ouverture centrée sur son sommet S1, l'autre M2, convexe, de rayon R2, de sommet S2, et de même axe que M. On se placera dans le cadre de l'approximation de Gauss. Les rayons sont ici des grandeurs positives.
Les miroirs M1 et M2 sont concentriques (même centre O).
Ce système donne d'un objet ponctuel A, placé sur l'axe EMBED Equation.DSMT4 une image définitive A' après une réflexion sur M1 et une réflexion sur M2.
1. Etablir la relation de conjugaison qui lie EMBED Equation.DSMT4 .
2. Exprimer le grandissement du système en fonction de p et p'.
3. Calculer la distance focale EMBED Equation.DSMT4 du système optique équivalent à M1 et M2.
4. On donne l'encombrement EMBED Equation.DSMT4 = a = 4 m et le rayon R1 = 8,7 m. Calculer l'abscisse EMBED Equation.DSMT4 d'un petit objet lumineux AB pour que l'image A'B' se forme dans le plan de front de EMBED Equation.DSMT4 : déterminer alors le grandissement du système.
Exercice 2. Facteur de qualité.
En physique, il est très souvent intéressant de caractériser un système par un paramètre sans dimension, qui ne dépend que de la constitution du système.
Les deux parties, totalement indépendantes, traitent du facteur de qualité Q, l'une en électrocinétique, l'autre en mécanique. Après introduction du paramètre dans les équations, c'est l'interprétation énergétique de Q qui est favorisée.
Partie 1 : Le facteur de qualité en électrocinétique : étude d'un filtre passif.
On étudie le circuit linéaire ci-dessous.
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents Hubert\\Fénelon\\04-05\\DS 04-05\\DS4_04_05\\Circuit_RLC.bmp" \* MERGEFORMAT
Il est composé de trois dipôles en série : une résistance R, une inductance parfaite de coefficient d'induction L, et d'un condensateur de capacité C.
Il est soumis à une tension d'entrée sinusoïdale EMBED Equation.DSMT4 . On note s(t) la tension de sortie.
En notation complexe, on notera, pour e(t) par exemple, EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 , l'amplitude complexe.
A l'aide de deux schémas équivalents du circuit, l'un en hautes fréquences, l'autre en basses fréquences, donner la nature de ce filtre.
2.a Etablir la fonction de transfert EMBED Equation.DSMT4 de ce filtre. On posera : EMBED Equation.DSMT4 . Donner lordre de ce filtre.
2.b Si e(t) est une fonction quelconque du temps (non sinusoïdale), quelle est l'équation différentielle entre les fonctions s(t) et e(t) en fonction de Q et EMBED Equation.DSMT4 ? Pour quelle raison peut-on affirmer la convergence du régime transitoire ?
3. Exprimer le module de la fonction de transfert EMBED Equation.DSMT4 , en fonction de x et Q.
4. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 passe par un maximum pour EMBED Equation.DSMT4 . Comment appelle-t-on ce phénomène ? Déterminer, EMBED Equation.DSMT4 , la pulsation correspondant à ce phénomène, en fonction de Q et EMBED Equation.DSMT4 .
5. On appelle gain, la fonction GdB , telle que EMBED Equation.DSMT4 . Donner les équations des asymptotes de GdB aux basses fréquences et aux hautes fréquences. Exprimer GdB (x = 1).
6. Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain pour Q =10 et Q = 0,1 en fonction de X = log x. (Echelles : 1 carreau ou un cm : 10 dB ; 1 carreau ou un cm : X = 1).
7. Interprétation énergétique du facteur de qualité Q.
On suppose Q >> 1 et EMBED Equation.DSMT4 pour le déphasage de la tension dentrée.
7.a Montrer que si EMBED Equation.DSMT4 , alors EMBED Equation.DSMT4 . Donner lexpression de Im.
7.b Déterminer alors EMBED Equation.DSMT4 , la tension aux bornes du condensateur en fonction de C, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
7.c On note EMBED Equation.DSMT4 , l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance sur une période. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
7.d On note Wm , l'énergie maximale reçue par le condensateur. Montrer que EMBED Equation.DSMT4
7.e En déduire que EMBED Equation.DSMT4
Partie 2: Le facteur de qualité en mécanique : étude d'un oscillateur harmonique amorti
On considère le dispositif mécanique suivant, placé dans le référentiel du laboratoire EMBED Equation.DSMT4 , supposé galiléen.
Il est composé d'une bille M, supposée ponctuelle, de masse m qui glisse sans frottement sur un axe horizontal. Elle est reliée :
à un ressort de raideur k et de longueur à vide EMBED Equation.DSMT4 maintenu fixé à une de ses extrémités à un mur vertical.
à un dispositif « amortisseur » fixé au même mur, qui soumet la bille à une force de frottement de type fluide EMBED Equation.DSMT4 .
INCLUDEPICTURE "C:\\Documents Hubert\\Fénelon\\04-05\\DS 04-05\\DS4_04_05\\amortisseur.bmp" \* MERGEFORMAT
On note O, la position de la bille quand le ressort est à sa longueur à vide, et en prenant O comme origine, on repère la position de M par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Faire un bilan des forces et justifier que le système n'est pas conservatif en déterminant lexpression de la dérivée par rapport au temps de son énergie mécanique.
2. Déterminer léquation différentielle du mouvement en x en fonction de EMBED Equation.DSMT4 et Q. On posera : EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 est la période propre des oscillations dans le cas où h = 0.
3.a On se place dans le cas du régime pseudopériodique. Les solutions de léquation différentielle sont de la forme : EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer la condition sur Q pour être dans un tel régime. Donner lexpression de wð.ð Tracer l'allure de x(t).
3.b On se place dans le cas de l'amortissement faible Q >>1. Exprimer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de Q. Rappel : Développement limité à l 'ordre 1 en u : EMBED Equation.DSMT4 .
4. Interprétation énergétique de Q
Dans toute la suite, nous supposerons que wð = ðwðo et que Q >>1.
4.a Justifier que l'énergie potentielle de M peut s'écrire EMBED Equation.DSMT4 .
4.b Déterminer l expression approchée de l énergie cinétique de M. Montrer que l'énergie mécanique Em(t) est de la forme EMBED Equation.DSMT4 où l'on exprimera K1 en fonction de A et k , et K2 en fonction de wðo et Q .
4.c On définit la variation d'énergie mécanique par EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice 3. Recherche de positions déquilibre.
On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, de longueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre. On considère le référentiel terrestre galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: EMBED Equation.DSMT4 = g EMBED Equation.DSMT4 . Oz désigne la verticale descendante. Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés plans et repérés au cours du temps par l'angle ( = ( EMBED Equation.DSMT4 ).
Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force EMBED Equation.DSMT4 centrale de centre B, répulsive, de norme EMBED Equation.3 où k est une constante positive et r la distance entre B et P.
INCLUDEPICTURE "force%20F.bmp" \* MERGEFORMAT
On pose EMBED Equation.3 . Quelle est lunité de ( ?
Exprimer la distance r en fonction de a, b, et (.
Soit að l angle que fait le vecteur EMBED Equation.DSMT4 avec le vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de b, r et EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer la nouvelle équation du mouvement en (. On l'exprimec6 @ D d e Æ Ë Ì Í à á â í
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