Td corrigé sujet de type bac - Colegio Francia pdf

sujet de type bac - Colegio Francia

26 févr. 2005 ... Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Donner la signification des évènements X=30 puis X=0 et calculer la ...




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SUJET DE TYPE BAC - MATHEMATIQUES

DURÉE DE L' EPREUVE : 4 heures - COEFFICIENT : 8
Samedi 26 février 2005
Chaque élève traitera 4 exercices notés A-B-C et D

La qualité de la rédaction et des graphiques, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.



Exercice A :  BAREME : …………… points
(exercice commun à tous les candidats )
Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent pour la journée un groupe de personnes dès le lever du jour.
L’été, il y a plus de demande que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille.
Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se présente pas est égale à  EMBED Equation.DSMT4 .
On admettra que les groupes inscrits se présentent ou non indépendamment les uns des autres.

Les probabilités seront arrondies au 100ème le plus proche.

1.a.
Montrer que les probabilités qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.

1.b.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours.
Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la signification des évènements X=30 puis X=0 et calculer la probabilité de ces évènements.
Préciser l’espérance de X.
Quelle signification peut on donner à ce résultat ?

1.c
Une somme de 1 Crédit ( la monnaie locale ) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade. Dans le cas où le groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne pas cette somme. On nomme S la variable aléatoire égale à la somme perçue par l’association un jour donné.
Calculer la probabilité que S soit égale à 11.
Préciser l’espérance de S.

2.a.
Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. Evidemment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13ème groupe sera dirigé vers une autre activité de l’association. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits pour l’association.
Quelle est la probabilité de l’événement A : « il n’y a pas de désistement » ?

2.b.
Soit r la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution. Préciser la loi de la variable aléatoire r et calculer son espérance mathématique.
( on ne se souciera pas ici du Crédit versé au départ )


Exercice B non Spé :  BAREME : …………… points
(exercice réservé aux élèves n’ ayant pas suivi la spé maths )

Le plan est rapporté à un repère (O ; EMBED Equation.DSMT4 ) d’unité graphique 2cm .
On considère les points A(2i) et B( EMBED Equation.DSMT4 )
a. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 
Déduire une relation entre les longueurs OA et OB
Déduire  EMBED Equation.DSMT4 
Déduire la nature du triangle OAB

2. a. Construire les carrés directs OADM et ONEB
En remarquant que D est l’image de O par une rotation de centre A, déterminer l’affixe de D.
En remarquant que N est l’image de B par une rotation de centre O, déterminer
l’affixe de N.

3. a. Justifier l’existence d’une rotation de centre ( et d’angle ( qui transforme N en O
et B en D ?
b. Cette rotation a pour expression complexe  EMBED Equation.DSMT4  avec a et b complexes.
Trouver a et b
c. Trouver ( et (



Exercice B Spé :  BAREME : …………… points
(exercice réservé aux élèves ayant suivi la spé maths )

On considère l’équation d’ inconnue (n ; m) élément de  EMBED Equation.DSMT4  : (1)  EMBED Equation.DSMT4 
Pourquoi cette équation admet-elle au moins une solution.
En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de (1)
Déterminer l’ensemble des solutions de (1)

On veut trouver dans cette partie le PGCD de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
a) Montrer que 9 divise  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
b) (n ; m) désignant un couple de solutions de (1) , montrer que l’on peut écrire
( EMBED Equation.DSMT4  )- 10 ( EMBED Equation.DSMT4 )=9
c) Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  divise  EMBED Equation.DSMT4  (on rappelle l’égalité  EMBED Equation.DSMT4  )
Déduire de la question précédente l’existence de deux nombres entiers N et
M tels que ( EMBED Equation.DSMT4 )N – ( EMBED Equation.DSMT4 )M = 9
Montrer que tout diviseur commun de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  divise 9
Déduire PGCD( EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 )







Exercice C :  BAREME : …………… points
(exercice commun à tous les candidats )

Partie 1 :
On considère l’équation différentielle suivante : (E)  EMBED Equation.DSMT4 
Soit une fonction ( définie et dérivable sur  EMBED Equation.DSMT4  et la fonction  EMBED Equation.DSMT4  telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer (’(x)-3((x) en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 ’(x).
Déterminer toutes les primitives de  EMBED Equation.DSMT4  (rappel :  EMBED Equation.DSMT4  )
Prouver que ( est solution de (E) si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4  est une primitive de  EMBED Equation.DSMT4 
En déduire toutes les solutions de (E)
Trouver la solution de (E) telle que ( (0)=  EMBED Equation.DSMT4 
Partie 2 :
On considère la fonction  EMBED Equation.DSMT4 
Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité de  EMBED Equation.DSMT4 
On désigne par C sa courbe dans un repère orthonormal d’unité graphique 2cm.
Déterminer les limites de  EMBED Equation.DSMT4 aux bornes de son domaine
Déduire l’existence d’ asymptote(s).
Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de  EMBED Equation.DSMT4 
Tracer le graphe de  EMBED Equation.DSMT4 


Exercice D :  BAREME : …………… points
Vous entourerez dans chaque questions la réponse A,B ou C qui vous semble correcte sans justifier.
Vous aurez 0,5 point par réponse exacte / -0,25 points par réponse fausse/ 0 pour absence de réponse

1.
Soit la suite (Un) définie par :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
La suite est A
CroissanteB
Décroissante
C
Ni l´un , ni l´autre2.
Dans le développement de  EMBED Equation.3 , le coefficient devant  EMBED Equation.3  est A
280B
70C
4 3.
Une solution de l´équation différentielle  EMBED Equation.3  =5 est A
 EMBED Equation.3 B
 EMBED Equation.3 C
 EMBED Equation.3  4.
Soit les nombres complexes suivants :  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 A
 EMBED Equation.3 B
 EMBED Equation.3 C
 EMBED Equation.3  
Correction Exercice A :
1.a : A l’événement « le groupe se présente » j’associe la variable X=1 et p(X=1) =  EMBED Equation.DSMT4 .
A l’événement « le groupe ne se présente pas » j’associe la variable X=0 et p(X=0) =  EMBED Equation.DSMT4 .
X suit une loi de Bernoulli  EMBED Equation.DSMT4 
On répète 12 fois de manière indépendantes cette expérience avec les 12 groupes différents. Y compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de groupes qui se présentent, Y suit une loi Binomiale  EMBED Equation.DSMT4 
La probabilité que tous les groupes se présentent est donc p(Y=12)=  EMBED Equation.DSMT4 
Donc la probabilité est bien entre 0,20 et 0,21

1.b. A l’événement « les 12 groupes se présentent » j’associe la variable G=1 et p(G=1) =  EMBED Equation.DSMT4 .
A l’événement contraire , j’associe la variable G=0 et p(G=0) =  EMBED Equation.DSMT4 .
G suit une loi de Bernoulli  EMBED Equation.DSMT4 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours. Cela revient à répéter 30 fois l’expérience de Bernoulli de manière indépendante
donc X suit une loi binomiale  EMBED Equation.DSMT4 
X=30 signifie que 30 jours de ce mois ( tous les jours ) les 12 groupes se sont tous présentés.
X=0 signifie que 0 jour de ce mois ( jamais ) les 12 groupes se sont tous présentés
p(X=30)=  EMBED Equation.DSMT4  au centième près
p(X=0)=  EMBED Equation.DSMT4  au centième près
Cela signifie qu’il est pratiquement impossible qu’aucun jour du mois ou au contraire tous les jours du mois,les 12 groupes se présentent.

E(X)=  EMBED Equation.DSMT4 . En moyenne, 6 jours par mois les 12 groupes se présentent.

1.c
S la variable aléatoire qui compte la somme perçue par l association un jour donné donc S ( {0 ;1 ;&  ;12}
p(S=11)= p(Y=11)=  EMBED Equation.DSMT4  donc il y a 35% de chance que l on gagne 11 ¬ .
E(S) =  EMBED Equation.DSMT4  ¬ . L association gagne en moyenne 10,5 ¬
2.a.
On a 13 groupes, T compte le nombre de présents, T suit une loi binomiale  EMBED Equation.DSMT4 
p(« tous présents »)=p(T=13)=  EMBED Equation.DSMT4 
2.b.
Soit r le coût qui prend les valeurs 2 ou 0 avec p(r=2)= 0,18 et p(r=0)=,82 E(r)=2 x 0,18= 0,36 ¬
Exercice B non Spé :
Soit A(2i) et B( EMBED Equation.DSMT4 )
1. a. Calculons  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  ( OA = OB
 EMBED Equation.DSMT4 = arg( EMBED Equation.DSMT4 )= arg( EMBED Equation.DSMT4 )= EMBED Equation.DSMT4 
OA=OB et AÔB=60° donc OAB est équilatéral.
2. a. carrés directs OADM et ONEB
 EMBED Equation.DSMT4 et AO=AD donc D est l’image de O par rotation de centre A et angle - EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4 
De même N est l’image de B par rotation de centre O et angle - EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4 

3. a. [NB] et [OD] sont les diagonales de 2 carrés de côtés égaux donc mesurent la même longueur don il existe une rotation de centre ( et d’angle ( qui transforme N en O et B en D
b. Cette rotation a pour expression complexe  EMBED Equation.DSMT4  avec a et b complexes.
r(N)=O donc  EMBED Equation.DSMT4 
r(B)=D donc  EMBED Equation.DSMT4 
Cherchons a :
0-(-2+2i)=  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
(  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 
(  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 

Cherchons b :
 EMBED Equation.DSMT4 
Bilan :  EMBED Equation.DSMT4 

c. Trouver ( et (
L’angle de rotation est ( = EMBED Equation.DSMT4  et le centre est (( EMBED Equation.DSMT4 )
or  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 


Exercice B Spé :
1. Dans  EMBED Equation.DSMT4  : (1)  EMBED Equation.DSMT4 
a) Cette équation admet des solutions car 11 et 24 sont premiers entre eux donc d’après le th. de Bézout il existe un couple d’entiers relatifs u et v tels que 11u+24v =1 donc il existe un couple (u ;-v) solution de (1)
b) 24 – 11 x 2 = 2 x (-5)
11 – 5 x 2 = 1
- 5 x 24 + 10 x 11 + 11 = 1 donc 11 x 11 – 5 x 24 = 1 donc (11 ;5) st solution de (1)
c) 11n – 24 m = 1
11x11 – 5 x 24 = 1
donc 11 (n-11) + 24(5-m) = 0 donc 11 (n-11) = - 24(5-m) donc 11 ( - 24(5-m)
or 11 et –24 sont premiers enter eux donc d’après le th. de Gauss 11 ( 5-m
donc 5-m = 11k (  EMBED Equation.DSMT4  avec k( EMBED Equation.DSMT4 
d’où 11(n-11)= - 24 x (5-5+11k) (  EMBED Equation.DSMT4 
Les solutions de l’équations sont les couples (11-24k ; 5-11k)

2. a) 10 ( 1 [9] donc 1011 – 1 ( 111 – 1[9] ( 0 [9] donc 9 divise  EMBED Equation.DSMT4  de même 9 divise  EMBED Equation.DSMT4 
b) (n ; m) est un couple de solutions de (1) donc  EMBED Equation.DSMT4  d’où
( EMBED Equation.DSMT4  ) - 10 ( EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
c)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  divise  EMBED Equation.DSMT4 
et de même  EMBED Equation.DSMT4  divise  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  divise  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  = A x ( EMBED Equation.DSMT4  )
 EMBED Equation.DSMT4  divise  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  = B x ( EMBED Equation.DSMT4 )
or ( EMBED Equation.DSMT4  ) - 10 ( EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 ( il existe N=A et M=10B tel que
( EMBED Equation.DSMT4 )N – ( EMBED Equation.DSMT4 )M = 9
e) Soit d un diviseur commun de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc d ( ( EMBED Equation.DSMT4 )N – ( EMBED Equation.DSMT4 )M donc d ( 9
f) 9 (  EMBED Equation.DSMT4  et 9 (  EMBED Equation.DSMT4  d’après le 2.a donc 9 ( PGCD( EMBED Equation.DSMT4  ; EMBED Equation.DSMT4 )
tout diviseur commun de  EMBED Equation.DSMT4  et 9 (  EMBED Equation.DSMT4  divise 9 donc PGCD( EMBED Equation.DSMT4  ; EMBED Equation.DSMT4 ) ( 9

Bilan :
PGCD( EMBED Equation.DSMT4  ; EMBED Equation.DSMT4 )= 9


























Exercice C : 
Partie 1 :
Soit (E)  EMBED Equation.DSMT4  et soit  EMBED Equation.DSMT4  telle que  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
1. (’(x)-3((x)=  EMBED Equation.DSMT4 
2. Primitivons  EMBED Equation.DSMT4 
je pose  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  donc EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4  avec k( EMBED Equation.DSMT4 
( est solution de (E) (  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 
(  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 (  EMBED Equation.DSMT4  est une primitive de  EMBED Equation.DSMT4 

Déduisons-en les solutions de (E) :
est solution de (E) et  EMBED Equation.DSMT4 (  EMBED Equation.DSMT4  et f est une primitive de h
(  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 
Trouvons la solution de (E) telle que ( (0)=  EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  donc k= e
donc  EMBED Equation.DSMT4 
Partie 2 :
On considère la fonction  EMBED Equation.DSMT4 
a) Df = { EMBED Equation.DSMT4  1+e-3x( 0 } or e-3x>0 ( x( EMBED Equation.DSMT4  donc Df =
de plus f est la composée d’une fonction rationnelle et d’une foncti-.e{|N O d  € © # $ % & ‡ ° ³ Ä Å M æ ;>Ü#>?¥¦½¾¿ÀÿüöîäüîüÙÑÙȸ©¸Â–Ž–üÂü‡ÂüÙÑÙÈüüpfüjÆhïk«EHöÿUjقÈE
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