Bac maths ES 2007 - National
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National ES 2007
QCM Statistiques doubles - Etude de fonction - Graphe - Fonction logarithme.
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BACCALAUREAT GENERAL Session 2007
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Ce sujet comporte 6 pages
Lutilisation dune calculatrice est autorisée. Lusage des formulaires de mathématiques nest pas autorisé
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.
EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats
QCM
Pour chaque question, une seule réponse A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification nest demandée.
NOTATION : une bonne réponse apporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, labsence de réponse ne rapporte et nen enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à lexercice est 0.
1) Pour tout nombre réel a et pour tout nombre réel b, on peut affirmer que EMBED Equation.3 est égal à :
Réponse A : EMBED Equation.3 Réponse B : e(a-b) Réponse C : ea - eb
2) On considère trois fonctions f, g et h définies sur R telles que pour tout nombre réel x, f(x) ( g(x) ( h(x).
Si lon sait que EMBED Equation.3 g(x) = +( alors on peut en déduire que :
Réponse A : EMBED Equation.3 f(x) = +( Réponse B : EMBED Equation.3 f(x) = -( Réponse C : EMBED Equation.3 h(x) = +(
3) On considère une fonction f définie et dérivable sur R, de dérivée f. On donne ci-dessous son tableau de variations.
Léquation f(x) = 1 admet dans R :
Réponse A : trois solutions Réponse B : deux solutions Réponse C : une solution
b. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni dune repère (O, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
La tangente à la courbe C au point dabscisse 0 peut avoir pour équation :
Réponse A : y = -3x + 2 Réponse B : y = 3x + 2 Réponse C : y = -4
EXERCICE 2 (5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spécialité
PARTIE A :
Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimées en millions deuros, est donné dans le tableau ci dessous :
Année200020012002200320042005Rang de lannée xi012345Montant des recettes touristiques yi en millions deuros24 49526 50029 40133 29933 67534 190
1) On utilise un ajustement affine. Donner, à laide de la calculatrice, léquation de la droite dajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
Les coefficients, obtenus à laide de la calculatrice, seront arrondis au centième.
2) En supposant que cet ajustement est valable jusquen 2007, calculer le montant que lon peut prévoir pour les recettes touristiques de lannée 2007, arrondi au million deuros.
PARTIE B :
On considère la fonction f définie pour tout nombre entier n par f(n) = e10,13 + 0,07n.
On utilise cette fonction pour modéliser lévolution des recettes touristiques de ce pays européen.
Ainsi f(n) représente le montant des recettes touristiques (exprimés en millions deuros) de ce pays européen pour lannée 2000+n.
1) Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que lon peut prévoir pour lannée 2007. Arrondir le résultat au million deuros.
2) a. Déterminer le nombre entier n à partir duquel f(n) > 45 000.
b. En déduire lannée à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 million deuros.
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi lenseignement de spécialité
La production journalière dune entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main duvre et lutilisation des machines. On désigne :
- par x la durée journalière de travail de la main duvre, exprimée en heures ; x appartient à lintervalle ]0 ; 10],
- par y la durée journalière dutilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à lintervalle ]0 ; 12].
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
f(x,y) = EMBED Equation.3 avec 0 < x ( 10 et 0 < y ( 12.
La figure ci-dessous représente la surface (S) déquation z = f(x,y) pour 0 < x ( 10 et 0 < y ( 12.
PARTIE 1 :
1) Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).
Déterminer graphiquement labscisse et la côte du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
2) interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de lentreprise.
PARTIE 2 :
Pour chaque heure, le coût du travail sélève à 4 milliers deuros, et le coût total dutilisation des machines sélève à 1 millier deuros.
Lentreprise décide de dépenser 36 milliers deuros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4x + y = 36.
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur lintervalle ]0 ; 10] par g(x) = EMBED Equation.3 .
1) On note g la fonction dérivée de g sur lintervalle ]0 ; 10], calculer g(x) et montrer que g(x) = EMBED Equation.3 .
b. Etudier les variations de la fonction g sur lintervalle ]0 ; 10].
2) a. En déduire la durée journalière de travail et la durée dutilisation des machines permettant dobtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers deuros.
b. Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.
EXERCICE 3 (5 points) Commun à tous les candidats
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre sentraîne sur un site internet.
40% des grilles de sudoku qui y sont proposée sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile.
Pierre sait quil réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40% des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les événements suivants :
F : « la grille est de niveau facile »
M : « la grille est de niveau moyen »
D : « la grille est de niveau difficile »
R : « Pierre réussit la grille » et EMBED Equation.3 son événement contraire.
1) Traduire les données de lénoncé à laide dun arbre pondéré.
2) a. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
b. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
c. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
3) Sachant que Pierre na pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
4) Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sur affirme : « Je pense que la grille était facile ».
Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse par un calcul.
EXERCICE 4 (6 points) Commun à tous les candidats
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.
PARTIE 1 : étude des coûts hebdomadaires de production.
1) Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit.
Une étude a montré que pour cette entreprise, lévolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie pour les nombres réels x de lintervalle [0 ; 10] par :
Cm(x) = x + EMBED Equation.3 .
(Cm(x) est exprimé en centaines deuros, x en kilogrammes).
Etudier les variations de la fonction Cm sur lintervalle [0 ; 10].
2) En économie, le coût marginal de la production correspond à la dérivée du coût total de production.
Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction Cm.
Déterminer la fonction C, primitive de la fonction Cm sur lintervalle [0 ; 10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicament comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que C(0) = 0.
PARTIE 2 : étude du bénéfice hebdomadaire.
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire dau moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines deuros) dépend de la masse x exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur lintervalle [1 ; 10] par B(x) = 9x 0,5 x2 16 ln(x+1).
La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni dun repère orthogonal et de la courbe (( ) donnée ci-dessous.
1) a. On admet que la fonction B est strictement croissante sur lintervalle [1 ; 7] et strictement décroissante sur lintervalle [7 ; 10].
En déduire la quantité de médicaments que lentreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines deuros) soit maximal.
b. calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines deuros (arrondir à leuro).
2) a. Utiliser la courbe (( ) pour déterminer un encadrement damplitude 0,5 de la plus petite quantité x0 de médicaments que lentreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre dargent.
b. Utiliser une calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x0 approchée au centième.
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