1.2. Le calcul des coefficients saisonniers et la correction ... - Free.fr
TRAVAUX DIRIGES. STATISTIQUE DESCRIPTIVE. TD 9. LES SERIES
CHRONOLOGIQUES. LA CORRECTION DES VARIATIONS SAISONNIERES ...
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ifier certaines écritures.
Les hypothèses :
Hypothèse 1: La décomposition de la série
Nous admettrons que la série chronologique nest constituée que de trois composantes, qui sont :
la tendance notée Tt
la saisonnalité notée St
le résidu noté Rt
Hypothèse 2: Les modèles
Nous nous intéresserons à trois types de modèles :
le modèle additif,
yt = Tt + St + Rt
le modèle multiplicatif général,
yt = Tt (1+St) + Rt
le modèle multiplicatif particulier de la forme :
yt = Tt*St*Rt
ce dernier modèle devient additif lorsque nous appliquons un logarithme :
ln(yt) = ln(Tt) + ln(St) + ln(Rt)
Si nous posons le changement de variable :
y't = ln(yt) T't = ln(Tt) S't = ln(St) R't = ln(Rt)
alors le modèle peut être traité de façon additive :
y't = T't + S't + R't
Hypothèse 3: La composante tendancielle
Nous admettons que lopérateur moyenne mobile laisse passer la composante tendancielle sans la modifier si la tendance est un polynôme de degré au plus égal a un de la forme :
Tt = a t + b
Hypothèse 4: La composante saisonnière
La saison est rigoureusement identique de période en période, hypothèse que l'on écrit de la façon suivante :
St = Sij = Sj avec St+p = Si+1,j = Sj avec j = 1,....,p
Il y a compensation des p composantes saisonnières Sj . Nous pouvons écrire cette hypothèse sous la forme :
EMBED Equation.2
Cette hypothèse est également connue sous le nom de compensation des aires.
Hypothèse 5 : La composante résiduelle
Les variations résiduelles possèdent les propriétés suivantes :
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2
La moyenne mobile appliquée aux variations résiduelles a des fluctuations très faibles autour de zéro.
EMBED Equation.2
Le calcul des coefficients saisonniers et la correction des variations saisonnières des séries chronologiques
Plusieurs étapes sont nécessaires pour trouver les coefficients saisonniers et corriger les séries chronologiques des variations saisonnières :
ETAPE 1: La représentation graphique
Nous représentons graphiquement la série chronologique pour observer les trois composantes de la série et éventuellement pour repérer les points aberrants.
ETAPE 2 : Les corrections des points aberrants
Cette étape consiste à éliminer par un calcul simple les points aberrants pour qu'ils ne soient pas pris en compte dans les calculs. Estimation graphique, ou estimation par une moyenne ou par toute autre méthode. Nous retiendrons comme méthode la demi-somme des deux points qui encadrent le point aberrant.
ETAPE 3 : Le choix du modèle
Nous déterminerons le type de modèle à utiliser pour la correction des variations saisonnières. Deux grands modèles sont à notre disposition ; le modèle additif ou multiplicatif. Plusieurs méthodes (cf TD 8) :
La méthode du profil,
La méthode de la bande,
La méthode du tableau de Buys-Ballot.
ETAPE 4 : Le filtrage de la série
Dans cette étape, nous allons supprimer la composante saisonnière en appliquant un filtre. Ainsi, nous devons déterminer la longueur p de la moyenne mobile que nous devons appliquer afin d'éliminer les variations saisonnières. Nous conviendrons qu'elle doit être au moins égale à la saison de la série. Nous envisagerons deux cas :
Cas dun modèle additif
yt = Tt + St + Rt
Soit X la série des moyennes mobiles définie :
si p est paire par:
EMBED Equation.2
si p est impaire par :
EMBED Equation.2
nous calculons la série des différences saisonnières définies par :
EMBED Equation.2
Pour le mois ou trimestre j, on obtient un première approximation du coefficient saisonnier Sj en calculant la moyenne ou la médiane des différences saisonnières. Mais lhypothèse dite de « conservation des aires » ne peut être vérifiée puisque les coefficients saisonniers sont obtenus de façon indépendante. Ainsi, nous corrigeons les coefficients Sj en procédant de la manière suivante :
recherche de la moyenne des coefficients saisonniers
EMBED Equation.2
correction des coefficients saisonniers
EMBED Equation.2
Cas dun modèle multiplicatif
Le seul modèle multiplicatif que nous verrons sera de la forme :
yt = Tt (1+St) + Rt
que lon peut écrire de la façon suivante, si nous remplaçons l'indice t par sa décomposition en année et saison (cf. TD 8) :
yij = Tij (1+Sj) + Rij
Posons un changement de variable simple:
sj = 1 + Sj
où sj est appelé coefficient saisonnier.
Le modèle sécrit alors de la façon suivante :
yij = Tij sj + Rij
On calcule les rapports saisonniers
EMBED Equation.2
Pour le mois ou le trimestre j on obtient une première approximation du coefficient saisonnier Sj en calculant la moyenne ou la médiane des différences saisonnières.
Mais lhypothèse dite de « conservation des aires » ne peut être vérifiée puisque les coefficients saisonniers sont obtenus de façon indépendante. Avant de corriger les coefficients saisonniers nous rappelons les hypothèses suivantes :
Hypothèse sur les coefficients saisonniers
EMBED Equation.2
Hypothèse sur la moyenne des coefficients saisonniers
sj = 1 + Sj
EMBED Equation.2
Ainsi, nous pouvons maintenant corriger les coefficients Sj en procédant de la manière suivante :
recherche de la moyenne des coefficients saisonniers
EMBED Equation.2
correction des coefficients saisonniers
EMBED Equation.2
ETAPE 5 :La série corrigée des variations saisonnières
Cest la dernière étape de la construction des séries chronologiques corrigées des variations saisonnières. Deux cas se présentent :
Cas dun modèle additif
La série CVS sécrit:
EMBED Equation.2
Cas dun modèle multiplicatif
La série CVS sécrit:
EMBED Equation.2
POUVEZ-VOUS REPONDRE ?
En 10 questions testez vos acquis
VRAI FAUX
1 - La tendance peut s'exprimer en fonction du temps.2 - La moyenne mobile est un filtre qui permet d'élimer la tendance, lorsque cette tendance est un polynôme supérieur à un.3 - La saison est la dénomination statistique du cycle de court terme.4 - La composante résiduelle à pour moyenne zéro.5 - Lorsque nous sommes en présence d'un modèle multiplicatif, la somme des coefficients saisonniers corrigés est nulle6 - Il faut corriger les coefficients saisonniers car ils sont calculés de façon indépendante7 - La longueur de la moyenne mobile doit être inférieure à la saison de la série8 - Les différences saisonnières donnent une approximation de la saison9 - La compensation des aires est une propriété sua la composante tendancielle10 - La série corrigée des variations saisonnières nous permet d'étudier le comportement de long terme
QUESTIONS DE REFLEXION ?
11 - Comment réaliser une prévision à partir de la connaissance de la structure d'une série chronologique, dans le cas d'un modèle additif en supposant que la composante résiduelle est nulle, et que la composante tendancielle est linéaire. On suppose que la série possède des valeurs sur le domaine t({1,
,T} ou T est la dernière observation connue sur la série.
12 - Pourquoi la somme des coefficients saisonniers n'est pas nulle dans le cas d'un modèle additif. Que doit faire pour corriger ce défaut.
ENTRAINEMENT
EXERCICE 1 : Un modèle additif sur une serie trismetrielle
Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires d'une entreprise TrucNet sur la période 1994 à 1997.
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 1 - Chiffre d'affaires trimestriel de TrucNet
CET EXERCICE EST LA SUITE DE L'EXERCICE 3 DU TD 8
Reprendre les calculs réalisés dans le TD 8 et répondre aux deux questions suivantes :
1 - Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Z corrigée des variations saisonnières. Vérifier que ces coefficients vérifient bien les hypothèses de départ.
2 - Tracer sur le même graphique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières.
Analyse de l'énoncé et conseils.
Cet exercice à pour but de vous familiariser avec le traitement d'une série chronologique de type additive, c'est à dire dont l'amplitude de la composante saisonnière est constante au cours du temps. Il vous permettra de vérifier que la somme des coefficients saisonniers est égale à zéro dans le cas d'un modèle additif.
EXERCICE 2 : un modele multiplicatif sur une serie mensuelle
La compagnie aérienne régionale Air-Hub désire connaître la structure du trafic aérien d'une de ses lignes. Pour cela la compagnie fournit la série mensuelle du nombre de passagers entre 1990 et 1994.
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 2 - Trafic mensuel d'une ligne aérienne - en nombre de passagers
CET EXERCICE EST LA SUITE DE L'EXERCICE 4 DU TD 8
Reprendre les calculs réalisés dans le TD 8 et répondre aux deux questions suivantes :
1 - Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Z corrigée des variations saisonnières. Vérifier que ces coefficients vérifient bien les hypothèses de départ.
2 - Tracer sur le même graphique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières.
Analyse de l'énoncé et conseils.
Dans cet exercice nous allons travailler sur un modèle de type multiplicatif. La particularité de ce type de modèles est de posséder une composante saisonnière (ou de court terme) qui augmente au cours du temps. Nous vérifierons également que la somme des coefficients saisonniers, dans ce cas, est égale à la longueur de la moyenne mobile.
SOLUTIONS
SOLUTION DES TESTS
1 - VRAI, 2 - FAUX, 3 - VRAI, 4 - VRAI, 5 - FAUX, 6 - VRAI, 7 - FAUX, 8 - VRAI, 9 - FAUX, 10 - VRAI
SOLUTION AUX QUESTIONS DE REFLEXION
11 - Pour réaliser une prévision à partir de la connaissance de la structure d'une série chronologique, dans le cas d'un modèle additif on procède de la manière suivante
ETAPE 1 : Le modèle est additif et s'écrit :
yi,j = Ti + Sj + Ri,j
On recherche les p coefficients saisonniers S*j puis l'on corrige la série des variations saisonnières nous obtenons la série :
EMBED Equation.2
ETAPE 2 : La tendance est modélisée par une fonction linéaire de la forme :
EMBED Equation.2
On utilise la méthode des moindres carrés pour estimer les deux paramètres a et b sur la série corrigées des variations saisonnières. En effet cette série est constituée que deux composantes la tendance et le résidus.
ETAPE 3 : La prévision de la composante tendancielle
EMBED Equation.2
Cette relation est supposée vrai sur t({1,
,T}. Ainsi, nous supposerons également quelle est vrai au temps T+1. Nous obtenons la prévision de la composante tendancielle en écrivant :
EMBED Equation.2
ETAPE 4 : La prévision de la série la série au temps T+1 en écrivant :
EMBED Equation.2
où S*j correspond coefficient saisonnier du temps T+1. Bien sur cette nous supposant que l'erreur est nulle au temps T+1.
12 - Montrer que la somme des coefficients saisonniers est nulles dans le cas d'un modèle additif.
SOLUTIONS
EXERCICE 1 : Un modèle additif sur une serie trimestrielle
Les quatre premières étapes de traitement de la série du chiffre d'affaires de l'entreprise Truc Net ont été réalisées dans l'exercice 3 du TD 8. Nous pouvons représenter graphiquement les séries.
Graphique SEQ Graphique \* ARABIC 1 - Chiffre d'affaires et moyennes mobiles de l'entreprise TrucNet
Eléments de réponse à la question 1 :
Pour calculer les coefficients saisonniers, il faut enlever la tendance de la série Cette tendance est approchée par les moyennes mobiles centrées. Il nous faut calculer les différences saisonnières, car le modèle est additif. Appelons Y les différences saisonnières, nous obtenons :
yt = xt ( mm4t (X)
où mm4t (X) est la moyenne mobile de longueur 4, au temps t de la série X des chiffres d'affaires de TrucNet.
Les calculs du tableau 3 sont obtenus de la manière suivante :
Les deux premières lignes et les deux dernières lignes du tableau pour les deux dernières colonnes nexistent pas. En effet, le calcul des moyennes mobiles centrées entraîne une perte de valeurs aux deux extrémités de la série. Cette perte de valeurs est égale à la longueur de la moyenne mobile, comme la moyenne mobile employée est centrée, la perte de points est par moitié repartie aux deux extrémités.
La troisième ligne et les suivantes, pour les deux colonnes
Recherche de la première valeur de la seconde colonne du tableau 3 (moyenne mobile de longueur 4)
(0.5*120 + ( 181 + 71 + 119) + 0.5*128 ) / 4 = 123,75
Recherche de la première valeur de la troisième colonne du tableau 3 (différences saisonnières)
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 3 - Exercice 1 - Différences saisonnières
Commentaires :
Observons que cette opération nous permet d'éliminer la tendance, pour cela représentons la séries des différences saisonnières sur le même graphique que la série X.
Graphique SEQ Graphique \* ARABIC 2 -Représentation des différences saisonnières
Calculons les coefficients saisonniers. Notons que les calculs sont effectués pour chaque trimestre et de façon indépendante. Pour le premier trimestre nous devons calculer la moyenne des différences saisonnières de la façon suivante :
(0,75 + 5,38 + 1,50) / 3 = 2,54
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 4 - Tableau des coefficients saisonniers
Commentaires :
Les différences saisonnières nous permettent de trouver de façon indépendante les quatre coefficients saisonniers. Ainsi, nous sommes obligés de vérifier que leur somme est égale à zéro (voir tableau des coefficients saisonniers première colonne). Nous devons retrancher la moyenne des coefficients saisonniers pour les corriger. Nous obtenons la deuxième colonne du tableau des coefficients saisonniers.
Eléments de réponse à la question 2 :
Pour donner la série corrigée des variations saisonnières il nous faut retirer de la série les coefficients saisonniers correspondants.
Nous obtenons les coefficients définitifs S*j.
EMBED Equation.2
La correction du premier coefficient saisonnier est la suivante :
2,54 - 0,02 = 2,52
Nous pouvons maintenant calculer la série corrigée des variations saisonnières. Ainsi, pour le premier trimestre de la première année, nous obtenons :
120 - 2,52 = 117,5
Nous retrancherons à tous les premiers trimestres des années suivantes le même coefficient saisonnier. Nous procéderons de la même manière pour les coefficients saisonniers suivants. Nous obtenons le tableau des calculs ci-dessous.
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 5 - Tableau de la série corrigée des variations saisonnières
Traçons sur le même graphique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières.
Graphique SEQ Graphique \* ARABIC 3 - Série CVS des chiffres d'affaires de l'entreprise TrucNet
EXERCICE 2 : un modele multiplicatif sur une serie annuelle
Les quatre première étapes de traitement (voir essentiel du cours dans ce TD) de la série du trafic de passagers de la compagnie régionale AirHub ayant été réalisées dans l'exercice 4 du TD 8, représentons graphiquement la série.
Graphique SEQ Graphique \* ARABIC 4 - Trafic de passagers d'une ligne de la compagnie AirHub
Eléments de réponse à la question 1 :
Pour calculer les coefficients saisonniers il faut enlever la tendance (qui approchée par les moyennes mobiles centrées) de la série. Pour cela il nous faut calculer les rapports saisonnières (le modèle est multiplicatif).
Appelons Y les rapports saisonniers que nous calculons en effectuant :
yt = xt ( [mm12(X)]t
où [mm12(X)]t est la moyenne mobile au temps t de la série X du trafic de passagers d'un ligne de la compagnie AirHub.
Nous obtenons pour le mois de juillet 1990 la valeur suivante :
812 / 886.5 = 0.9159
Nous procédons de la même manière pour tous les autres rapports saisonniers. Notons que comme les moyennes mobiles, les rapports saisonniers sont tronqués des 12 valeurs (6 valeurs en début de série et 6 valeurs en fin de série)
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 6 - Tableau des rapports saisonniers de la compagnie AirHub
Le coefficient saisonnier du mois de janvier est obtenu en calculant la moyenne des rapports saisonniers des mois de janvier (voir tableau ci-dessous colonne mois de janvier). Notons que la moyenne seffectue sur quatre années puisque nous avons perdu des valeurs aux deux extrémités de la série des rapports saisonniers.
(0.8304+0.8187+0.8630+0.7966)/4=0.827
Nous procédons de la même façon pour tous les autres mois. Ainsi, les premiers coefficients sont calculer de manière indépendante. La somme des coefficients saisonniers ne peut pas être égale à la longueur de la moyenne mobile. Nous procédons à une correction de ces coefficients en calculant la moyenne et en divisant chacun des coefficients par la moyenne.
La somme des coefficients saisonniers :
0,827+0,752+1,064+1,287+0,776+1,512+0,923+0,479+0,987+1,217+1,271+0,916 = 12,011
Notons que la moyenne est proche de 12 :
(0,827+0,752+1,064+1,287+0,776+1,512+0,923+0,479+0,987+1,217+1,271+0,916)/12=1,001
Le coefficient saisonnier corrigé pour le mois de janvier est obtenu en effectuant le calcul suivant :
0,827 / 1,001 = 0,826
Nous procédons de la même façon pour tous les autres coefficients saisonniers.
Tableau SEQ Tableau \* ARABIC 7 - Coeffcients saisonniers d'une série avec modèle multiplicatif
Notons que dans notre exemple la somme des coefficients saisonniers non corrigés est très voisine de la somme théorique (voir la première colonne du tableau 7).
Eléments de réponse à la question 2 :
Traçons sur le même graphique la série X et la série Z corrigée des variations saisonnières.
Graphique SEQ Graphique \* ARABIC 5 - Série corrigée des variations saisonnières
La série corrigée de variations saisonnières est obtenue en divisant chaque valeur de la série initiale par son coefficient saisonnier respectif. Ainsi, la première valeur de la série CVS (Corrigée des Variations Saisonnières) sobtient :
713 / 0.826 = 863
(la valeur 0.826 correspond au coefficient saisonnier corrigé du mois de janvier)
Tableau 8 Série corrigée des variations saisonnières Série C.V.S
TABLE DES MATIERES DU TD 9
Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières
TOC \o "1-4" 1. L'ESSENTIEL DU COURS PAGEREF _Toc427331519 \h 1
1.1. Construction des séries corrigées des variations saisonnières ou séries CVS. PAGEREF _Toc427331520 \h 1
1.1.1. Les hypothèses : PAGEREF _Toc427331521 \h 1
1.1.1.1. Hypothèse 1: La décomposition de la série. PAGEREF _Toc427331522 \h 1
1.1.1.2. Hypothèse 2: Les modèles. PAGEREF _Toc427331523 \h 1
1.1.1.3. Hypothèse 3: La composante tendancielle. PAGEREF _Toc427331524 \h 2
1.1.1.5. Hypothèse 4: La composante résiduelle PAGEREF _Toc427331525 \h 2
1.2. Le calcul des coefficients saisonniers et la correction des variations saisonnières des séries chronologiques. PAGEREF _Toc427331526 \h 2
1.2.1. ETAPE 1: La représentation graphique. PAGEREF _Toc427331527 \h 2
1.2.2. ETAPE 2 : Les corrections des points aberrants. PAGEREF _Toc427331528 \h 2
1.2.3. ETAPE 3 : Le choix du modèle. PAGEREF _Toc427331529 \h 2
1.2.4. ETAPE 4 : Le filtrage de la série. PAGEREF _Toc427331530 \h 3
1. Cas dun modèle additif PAGEREF _Toc427331531 \h 3
2. Cas dun modèle multiplicatif PAGEREF _Toc427331532 \h 3
1.2.5. ETAPE 5 :La série corrigée des variations saisonnières PAGEREF _Toc427331533 \h 4
- Cas dun modèle additif PAGEREF _Toc427331534 \h 4
- Cas dun modèle multiplicatif PAGEREF _Toc427331535 \h 5
2. POUVEZ-VOUS REPONDRE ? PAGEREF _Toc427331536 \h 6
3. QUESTIONS DE REFLEXION ? PAGEREF _Toc427331537 \h 7
4. QUESTIONS DE REFLEXION ? PAGEREF _Toc427331538 \h Erreur! Signet non défini.
5. ENTRAINEMENT PAGEREF _Toc427331539 \h 8
4.1. EXERCICE 1 : Un modèle additif PAGEREF _Toc427331540 \h 8
4.2. EXERCICE 2 : un modele multiplicatif PAGEREF _Toc427331541 \h 8
6. SOLUTIONS PAGEREF _Toc427331542 \h 12
6.1. EXERCICE 1 : Un modèle additif sur une serie additive PAGEREF _Toc427331543 \h 12
6.2. EXERCICE 2 : un modele multiplicatif sur une serie annuelle PAGEREF _Toc427331544 \h 15
TABLE DES TABLEAUX - TD 9
Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières
TOC \c "Tableau" Tableau 1 - Tableau d'une série trimestrielle PAGEREF _Toc427331545 \h 8
Tableau 2 - Trafic d'une ligne aérienne - en nombre de passagers PAGEREF _Toc427331546 \h 8
Tableau 3 - Exercice 1 - Différences saisonnières PAGEREF _Toc427331547 \h 13
Tableau 4 - Tableau des coefficients saisonniers PAGEREF _Toc427331548 \h 14
Tableau 5 - Tableau de la série corrigée des variations saisonnières PAGEREF _Toc427331549 \h 15
Tableau 6 - Tableau des rapports saisonniers de la compagnie AirHub PAGEREF _Toc427331550 \h 16
Tableau 8 - Coeffcients saisonniers d'une série avec modèle multiplicatif PAGEREF _Toc427331551 \h 17
TABLE DES GRAPHIQUES - TD 9
Les séries chronologiques - La correction des variations saisonnières
TOC \c "Graphique" Graphique 1 - Chiffre d'affaires de l'entreprise TrucNet PAGEREF _Toc427331579 \h 12
Graphique 2 - Exercice 1 -Représentation des différences saisonnières PAGEREF _Toc427331580 \h 13
Graphique 3 - Série CVS des chiffres d'affaires de l'entreprise TrucNet PAGEREF _Toc427331581 \h 15
Graphique 4 - Trafic passagers d'une ligne de la compagnie AirHub PAGEREF _Toc427331582 \h 15
Graphique 5 - Série corrigées des variations saisonnières PAGEREF _Toc427331583 \h 17
TRAVAUX DIRIGES
( STATISTIQUE DESCRIPTIVE (
Jean-Louis MONINO - Jean-Michel KOSIANSKI - François LE CORNU
PAGE 17
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
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EMBED Excel.Sheet.8
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