TD M6 : Moment cinétique d'un point matériel - PCSI-PSI AUX ULIS
15 févr. 2011 ... comment le basculement d'un corps ? corrigé. HS1. Date : mardi, 15 ... d'un
parallélépipède rectangle reste en équilibre sur un plan incliné ... Construire
pour chacun des solides homogènes suivants le centre de gravité.
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TD M6 : Moment cinétique dun point matériel
But du chapitre
Comprendre pourquoi il est plus facile dutiliser une grande croix quune petite manivelle pour monter une roue de secours.
Utiliser le théorème du moment cinétique pour obtenir plus efficacement léquation du mouvement dun point matériel.
Plan prévisionnel du chapitre
TOC \o "1-2" \n \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc316242869" I - Moment dune force
HYPERLINK \l "_Toc316242870" 1°) Moment dune force par rapport à un point O
HYPERLINK \l "_Toc316242871" 2°) Moment d une force par rapport à un axe
HYPERLINK \l "_Toc316242872" II - Moment cinétique d un point matériel dans le référentiel R
HYPERLINK \l "_Toc316242873" 1°) Moment cinétique par rapport à un point O
HYPERLINK \l "_Toc316242874" 2°) Moment cinétique par rapport à un axe
HYPERLINK \l "_Toc316242875" III - Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen
HYPERLINK \l "_Toc316242876" 1°) Théorème du moment cinétique en un point fixe
HYPERLINK \l "_Toc316242877" 2°) Théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe
HYPERLINK \l "_Toc316242878" 3°) Conservation du moment cinétique dans le cas dun mouvement à force centrale
HYPERLINK \l "_Toc316242879" 4°) Quand utiliser le théorème du moment cinétique ?
HYPERLINK \l "_Toc316242880" 5°) Application : le pendule simple
Savoirs et savoir-faire
Ce quil faut savoir :
Produit vectoriel : connaitre ses caractéristiques et ses propriétés.
Moment d'une force par rapport à un point : donner la formule du moment d'une force par rapport à un point, le représenter.
Moment d'une force par rapport à un axe : donner la formule du moment d'une force par rapport à un axe, déterminer le sens de rotation en fonction de son signe
Moment cinétique : donner la formule du moment cinétique, ainsi que ses propriétés.
Théorème du moment cinétique : énoncer le théorème du moment cinétique, par rapport à un point et par rapport à un axe.
Ce quil faut savoir faire :
Démontrer la formule du moment d'une force par rapport à un autre point.
Démontrer le théorème du moment cinétique.
Pendule simple : établir l'équation différentielle du mouvement en appliquant le théorème du moment cinétique.
Erreurs à éviter/ conseils :
Il ne faut pas évoquer le théorème du moment cinétique sans préciser le point si il est vectoriel ou l axe si il est scalaire.
Le moment d une force s appliquant en M par rapport à l axe est une grandeur scalaire mais algébrique ; il est positif si la force tend à entrainer M autour de dans un sens positif certes arbitraire mais clairement indiqué sur la figure ; il est négatif dans le cas contraire.
Rappel sur le produit vectoriel :
SHAPE \* MERGEFORMAT
Applications du cours
Application 1 : Moment d une force par rapport à un point et par rapport à un axe
Soit un point matériel M, de masse m, repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y, z, et soumis à l'action d'un champ de pesanteur uniforme EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer le moment du poids par rapport à lorigine O. Quel est le moment du poids par rapport à l'axe Oz ?
Application 2 : Pendule simple
Soit un pendule simple constitué d'un fil de masse négligeable de longueur L au bout duquel est suspendue un point matériel A de masse m, l'autre extrémité étant accrochée à un point fixe O. Ce pendule est en mouvement dans un plan vertical. Exprimer le moment des forces appliquées au point A, par rapport à O, lorsque le pendule fait un angle ¸ par rapport à la verticale.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Application 3 : Perle sur un rail demi-circulaire
Un point matériel M (masse m), assimilé à une perle quasi-ponctuelle, est susceptible de coulisser sans frottement de type solide le long d'un rail demi-circulaire de centre O et de rayon r, sans pouvoir le quitter.
Le point M est repéré par l'angle ¸ = EMBED Equation.DSMT4 , tel que EMBED Equation.DSMT4 . Le référentiel R de repère (O ; EMBED Equation.DSMT4 ) est supposé galiléen.
Le point M subit l'action d'une force de frottement fluide EMBED Equation.DSMT4 (coeffi cient positif »).
Exprimer les moments par rapport à O des forces appliquées à M.
Application 4 : Moment d une force par rapport à un point et par rapport à un axe
On considère une force EMBED Equation.DSMT4 appliquée à un point M quelconque.
Exprimer le moment de la force EMBED Equation.DSMT4 par rapport à O et par rapport à laxe (Oz).
Application 5 : Moment cinétique dun point M par rapport à un point ou par rapport à un axe en coordonnées cartésiennes
1°) Le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer dans le plan (Oxy).
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de m, OM, v et ±. Représenter ce vecteur sur la figure précédente.
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l axe (Oz) en fonction de m, OM, v et ±.
2°) On étudie le mouvement d un point matériel M de masse m dans un référentiel R.
a) On décrit tout dabord ce mouvement en utilisant les coordonnées cartésiennes dans un repère cartésien (O, EMBED Equation.DSMT4
Exprimer les vecteurs position et vitesse du point M dans ce repère en fonction de x, y, z, EMBED Equation.DSMT4
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de x, y, z, EMBED Equation.DSMT4
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à laxe (Oz) en fonction de x, y, z, EMBED Equation.DSMT4
b) On décrit tout dabord ce mouvement en utilisant les coordonnées cylindriques dans la base ( EMBED Equation.DSMT4
Exprimer les vecteurs position et vitesse du point M dans ce repère en fonction de r, z, EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de r, z, EMBED Equation.DSMT4 .
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à laxe (Oz) en fonction de r, z, EMBED Equation.DSMT4 .
Application 6 : Etude dun pendule simple
Soit un pendule simple constitué d'un fil de masse négligeable de longueur L au bout duquel est suspendue un point matériel A de masse m, l'autre extrémité étant accrochée à un point fixe O. Ce pendule est en mouvement dans un plan vertical.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Déterminer léquation du mouvement de ce pendule simple vérifiée par langle ¸.
Que devient l équation du mouvement dans l hypothèse où ¸ reste petit.
Exprimer ¸ en fonction du temps (à t = 0, le point A est laché sans vitesse initiale et ¸ (t=0) = ¸0).
Application 7 : Perle sur un rail demi-circulaire
Un point matériel M (masse m), assimilé à une perle quasi-ponctuelle, est susceptible de coulisser sans frottement de type solide le long d'un rail demi-circulaire de centre O et de rayon r, sans pouvoir le quitter.
Le point M est repéré par l'angle ¸ = EMBED Equation.DSMT4 , tel que EMBED Equation.DSMT4 . Le référentiel R de repère (O ; EMBED Equation.DSMT4 ) est supposé galiléen.
Le point M subit l'action d'une force de frottement fluide EMBED Equation.DSMT4 (coeffi cient positif »).
1°) Montrer que le moment cinétique du point matériel M par rapport à O a pour expression :
EMBED Equation.DSMT4
2°) On considère des petits mouvements au voisinage du point A. Etablir l équation différentielle vérifiée par ¸. Quelle est la relation entre », r et g correspondant au régime critique ? Dans la cas où la condition précédente est vérifiée, résoudre cette équation différentielle.
Exercices
Exercice 1 : Oscillations d un pendule
Un point matériel M (masse m) est relié à un fil inextensible (longueur O1M = L, masse négligeable) et à un ressort horizontal de rai deur k et de longueur l0 au repos. Le fil est vertical lorsque le point maté riel se trouve au repos en O1.
On suppose des petites oscillations quasi horizontales du point M. telles que O1M *B*Uphÿhæ|h.\ö0Jjhæ|h.\ö0JUh.\öjh.\öUh[Mäh¥yÊ5>*CJ h[MähÃs>*CJ h[Mäh8X >*CJ aJ h[MähÃs>*CJ aJ h)>*CJ aJ h)h K h K hiq\hðpÄhÉ\ØhÃs>*CJ aJ hÕV>* h1!hß|´ hÃshÃsh£òhfFÓhAÄhè?X ./?»0 1 P ¥ ÷
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