Sans utilisation des TICE
Nombres complexes. NIVEAU : Terminale scientifique. CE DOSSIER
COMPREND : 6 pages d'exercices. TRAVAIL DEMANDÉ : 1. À partir de la liste d'
exercices ...
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Sans utilisation des TICE
TYPE DACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :
Exercices dentraînement.
THÈME :
Nombres complexes.
NIVEAU :
Terminale scientifique.
CE DOSSIER COMPREND :
6 pages d'exercices.
TRAVAIL DEMANDÉ :
1. À partir de la liste dexercices proposés, dégager les notions, les résultats et les méthodes utilisées.
2. Retenir 4 exercices (pris, ou non, dans la liste proposée) et justifier leur choix. Proposer une correction détaillée et commentée de lun de ces 4 exercices.
SUR LA FICHE DEXPOSÉ, ON INDIQUERA :
1. Donner les énoncés des 4 exercices retenus et la rédaction commentée de la résolution de lun dentre eux.
Q1.
A. Les exercices 42 à 62 sont centrés sur les notions de module et dargument dun nombre complexe.
Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :
Les définitions du module et de largument dun complexe (non nul) ;
La définition de la « forme trigonométrique » dun complexe ;
La définition de la « forme exponentielle » dun complexe ;
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
La principale méthode utilisée est celle qui consiste à passer dune forme décriture à une autre, en utilisant les règles usuelles de calcul dans EMBED Equation.DSMT4 .
Une méthode auxiliaire mise en uvre dans lexercice 51 consiste à utiliser les fonctions inverses des fonctions cosinus et sinus, à partir dune calculatrice. Cela, afin de donner des valeurs approchées des arguments de certains nombres complexes.
Dans lexercice 53, ce sont les valeurs exactes des cosinus et sinus de largument de z qui sont cherchées à partir de celles de EMBED Equation.DSMT4 .
Trois exercices sont en marge de la classification précédente. Ce sont les exercices 48, 62 et 54. Les deux premiers visent à démontrer ou redémontrer des propriétés qui sont à connaître. Dans lexercice 48, on démontre linégalité triangulaire relative à la somme de deux complexes à partir de linégalité triangulaire relative à la distance entre points du plan euclidien.
Dans lexercice 62, il sagit de retrouver les formules trigonométriques daddition à partir des propriétés de lexponentielle, étendues aux complexes de la forme EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 .
Lexercice 54 est plus original, il crée une interrelation nouvelle pour des élèves entre le produit de deux complexes et certaines transformations du plan (les similitudes directes de centre EMBED Equation.DSMT4 ).
B. Les exercices suivants (63 à 95) sont centrés sur les notions dinterprétation-traduction géométrique puis dutilisation des nombres complexes en géométrie euclidienne plane.
Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :
Linterprétation géométrique du module dun complexe ;
Linterprétation géométrique de largument/des arguments dun complexe non nul ;
La traduction complexe de lalignement de 3 points ; de lorthogonalité de deux vecteurs ;
Les caractérisations dun cercle : EMBED Equation.DSMT4 ; dune droite EMBED Equation.DSMT4 ; de la médiatrice du segment EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4
Les définitions analytiques complexes des transformations usuelles (i.e. figurant dans les P.O.) du plan ;
Les exercices 92 -
- 95 sont consacrés à la fonctionnalisation des outils complexes à létude de configurations du plan. Dans ces exercices, les détails des calculs permettant détablir la propriété géométrique visée, ne sont pas toujours pris en charge par lénoncé et parfois laissés à linitiative des élèves (ex. 92).
Plusieurs méthodes (ensemble de techniques ayant une certaine généralité) sont mises en uvre. En particulier, la méthode de recherche de lieux géométriques associés aux deux lieux classiques précédemment évoqués.
La méthode « du passage en cordonnées cartésiennes » est aussi mobilisée pour identifier certains lieux.
Pour la question 2, voici deux réponses possibles.
Q2. Choix de quatre exercices :
53-57-71-92 (choix personnel) ou bien : VRAI-FAUX + 48+78+93
Justifications du choix personnel :
Lexercice 52 est déconcertant (pour un élève) car lexpression algébrique de EMBED Equation.DSMT4 conduit à une forme trigonométrique « inexploitable », les valeurs des cosinus et sinus nétant pas des valeurs remarquables.
On trouve EMBED Equation.DSMT4 et largument EMBED Equation.DSMT4 vérifie :
EMBED Equation.DSMT4 .
On peut remarquer que lutilisation dune calculatrice donne une va de EMBED Equation.DSMT4 égale à 0,261799
rd ; valeur quasiment impossible à « interpréter » par un élève. Une « inspiration » consisterait à conjecturer une fraction de EMBED Equation.DSMT4 et à diviser le résultat par EMBED Equation.DSMT4
pour trouver 0,0833333333333
Résolution rapide :
En suivant lénoncé : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 . On en déduit que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Puis que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Mais, EMBED Equation.DSMT4 est positif et EMBED Equation.DSMT4 .
On en déduit que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
(Question « jury : langle EMBED Equation.DSMT4 est-il constructible à la règle et au compas ? Le savait-on déjà ?).
Lexercice 57, plus élémentaire que le précédent, offre néanmoins lintérêt de comparer plusieurs techniques de résolution.
Technique 1 : on développe et on cherche la forme trigonométrique ensuite.
Technique 2 : on cherche la forme trigonométrique avant de calculer la puissance et on utilise la propriété : arg( EMBED Equation.DSMT4 ) = EMBED Equation.DSMT4 .
Comparons les deux techniques :
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 .
Remarque : si EMBED Equation.DSMT4 , la difficulté objective du développement renforce lintérêt de la technique 1.
Exercice 71 :
Ici, la nature de lexpression de EMBED Equation.DSMT4 en fonction de, ne permet pas de retrouver lune des transformations classiques du plan. (En fait, EMBED Equation.DSMT4 est ce quon appelle une transformation homographique de EMBED Equation.DSMT4 dont létude nest pas au programme des classes de lycée.)
Le module de EMBED Equation.DSMT4 , est égal à EMBED Equation.DSMT4 . Sous cette forme, on reconnaît le quotient des distances EMBED Equation.DSMT4 . Le lieu cherché est donc la médiatrice du segment EMBED Equation.DSMT4 .
Pour avoir léquation cartésienne de cette médiatrice, il est commode de conduire les calculs dans EMBED Equation.DSMT4 : EMBED Equation.DSMT4 . Soit encore,
EMBED Equation.DSMT4 .
Et cest seulement à ce stade quil convient de remplacer : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Léquation sécrit : EMBED Equation.DSMT4 .
Remarque : si on note EMBED Equation.DSMT4 lapplication de EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 qui à EMBED Equation.DSMT4 associe EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 lapplication du plan épointé qui lui est associée, alors EMBED Equation.DSMT4 transforme une droite en un cercle.
Lexercice 92 est un bon exemple de fonctionnalisation de loutil complexe. Labsence dindication de lénoncé rend cette utilisation problématique (mais formatrice évidemment).
Le placement des 4 points donne :
Il est facile de conjecturer que le quadrilatère est un carré dont le centre est lisobarycentre des 4 points, soit le point EMBED Equation.DSMT4 daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
La rotation de centre EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 a pour expression analytique dans EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 . Il est alors facile de vérifier que limage de EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 , ce qui traduit que limage du point A est le point B. Ensuite, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Autrement dit, les sommets consécutifs du quadrilatère ABCD se déduisent les uns des autres par la rotation de centre EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 . le quadrilatère est donc un carré.
Correction détaillée de lexercice 78
On désigne par EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 les points daffixes :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Pour EMBED Equation.DSMT4 , on pose EMBED Equation.DSMT4 .
1°) Interpréter géométriquement le module et largument de EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 .
2°) Déterminer et tracer lensemble EMBED Equation.DSMT4 des points EMBED Equation.DSMT4 tels que EMBED Equation.DSMT4 .
Cet ensemble est constitué des points du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 =1, cest-à-dire de la médiatrice du segment EMBED Equation.DSMT4 .
3°) Déterminer et tracer lensemble EMBED Equation.DSMT4 des points EMBED Equation.DSMT4 tels que EMBED Equation.DSMT4 ait pour argument EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
Questions possibles :
1. Comment définir EMBED Equation.DSMT4 à partir de EMBED Equation.DSMT4 ?
2. EMBED Equation.DSMT4 est-il un corps ordonné (i.e. muni dun ordre total compatible avec les opérations et qui prolonge lordre de EMBED Equation.DSMT4 ) ?
Rép. Non, dans le sens suivant. On peut définir un ordre total sur EMBED Equation.DSMT4 mais il nest pas compatible avec la multiplication dans EMBED Equation.DSMT4 . Supposons le contraire et notons EMBED Equation.DSMT4 cet ordre.
Si EMBED Equation.DSMT4 , alors en multipliant par EMBED Equation.DSMT4 les deux membres de cette inégalité, on obtient une inégalité de même sens : EMBED Equation.DSMT4 . Ce qui nest pas cohérent avec lordre naturel de EMBED Equation.DSMT4 .
Si EMBED Equation.DSMT4 , en multipliant par EMBED Equation.DSMT4 , on obtient, en inversant cette fois le sens de linégalité : EMBED Equation.DSMT4 .
3. Quelles sont les transformations du plan associées à : EMBED Equation.DSMT4 ?
4. Équation dun cercle dans EMBED Equation.DSMT4 ? Dune droite ?
5. Un nombre complexe a-t-il toujours une racine carrée ? Expliquer. Une racine cubique ? Une racine n-ième ?