Td corrigé nombres complexes - Rosamaths pdf

nombres complexes - Rosamaths

I. Définition Corrigé. Exercice ... a) 2 est le nombre complexe de partie réelle 2 et de partie imaginaire 0. ... donc le nombre complexe i est solution de l'équation.




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DSMT4 nonoui
Exercice 2 :
a) 2 est le nombre complexe de partie réelle 2 et de partie imaginaire 0.
b)  EMBED Equation.DSMT4  : la partie imaginaire de  EMBED Equation.DSMT4  est 1.
c)  EMBED Equation.DSMT4  : la partie réelle de  EMBED Equation.DSMT4  est 0.
d)  EMBED Equation.DSMT4  : la partie réelle de  EMBED Equation.DSMT4 est 0.
e)  EMBED Equation.DSMT4  : la partie réelle de  EMBED Equation.DSMT4  est 0.


II. Représentation Corrigé
Exercice 3 :
1) Le point A a pour coordonnées
 EMBED Equation.DSMT4 , le point  EMBED Equation.DSMT4 , le point  EMBED Equation.DSMT4  et le point  EMBED Equation.DSMT4 .








2) Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .







Exercice 4 :
a)  EMBED Equation.DSMT4 
En posant  EMBED Equation.DSMT4 ,
 EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.DSMT4 .
L’ensemble des points M est
l’axe des abscisses.


b)  EMBED Equation.DSMT4 
En posant  EMBED Equation.DSMT4 ,
 EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.DSMT4 .
L’ensemble des points M est
 la droite d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .c)  EMBED Equation.DSMT4 
En posant  EMBED Equation.DSMT4 , les
conditions s’écrivent :
 EMBED Equation.DSMT4 .
L’ensemble des points M est
 le segment  EMBED Equation.DSMT4 .

III. Calculs Corrigé
Exercice 5 :
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

Exercice 6 : Soit f la fonction définie sur ( par  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

Exercice 7 :
 EMBED Equation.DSMT4 
donc le nombre complexe i est solution de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 

Exercice 8 :
 EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

Exercice 9 :  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 .


IV. Conjugués Corrigé
Exercice 10 :
a)  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 =2 ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 , donc  EMBED Equation.DSMT4  ;
 EMBED Equation.DSMT4  ; donc  EMBED Equation.DSMT4  ;
D’après les propriétés des conjugués,  EMBED Equation.DSMT4  ; donc  EMBED Equation.DSMT4 .
b) Si on pose   EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4 . Alors  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
Or  EMBED Equation.DSMT4  . Donc  EMBED Equation.DSMT4  et :  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice 11 : Posons  EMBED Equation.DSMT4 . Alors  EMBED Equation.DSMT4 .
a) z est un imaginaire pur, si et seulement si,  EMBED Equation.DSMT4 . z s’écrit alors  EMBED Equation.DSMT4 . D’où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b) z est un réel, si et seulement si,  EMBED Equation.DSMT4 . z s’écrit alors  EMBED Equation.DSMT4 . D’où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .


V. Équations Corrigé
Exercice 12 :
1)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
2)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
3)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
4)  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
5)  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
6)  EMBED Equation.DSMT4 
et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
7)  EMBED Equation.DSMT4 
et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
8)  EMBED Equation.DSMT4 
et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice 13 :
1)  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
2)  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
3)  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
4) Pour tout  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice 14 :
1)  EMBED Equation.DSMT4 . L’équation a une solution :  EMBED Equation.DSMT4 .

2)  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
D'où :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  . L’équation a une solution :  EMBED Equation.DSMT4 .

3)  EMBED Equation.DSMT4  (3) .
Posons  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . L’équation (3) est équivalente à (3’) :  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4  est le nombre complexe nul, donc sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. On résout donc le système :  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  .
C’est un système impossible. L’équation (3) n’a pas de solution.

4)  EMBED Equation.DSMT4  (4).
Posons  EMBED Equation.DSMT4 . L’équation (4) est équivalente à (4’) :  EMBED Equation.DSMT4 .
D’où  EMBED Equation.DSMT4 .
L’équation (4) a une solution :  EMBED Equation.DSMT4  .


VI. Modules et distances Corrigé
Exercice 15 :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 .

Exercice 16 :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 .
OA=OB=OC. Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 17 :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 ,
donc les points A, B et C sont sur le même cercle de centre F et de rayon  EMBED Equation.3 .

Exercice 18 :
 EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3 .
Les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre K et de rayon 5.







VII. Géométrie Corrigé

Figures géométriques
Exercice 19 : Soient A, B et C les points d’affixes respectives  EMBED Equation.3 .
a) Notons  EMBED Equation.3  l’affixe du vecteur  EMBED Equation.3 . On a :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
b)  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

c) Nature du triangle ABC :
On constate que  EMBED Equation.3 . Le triangle ABC est donc isocèle en C.
D’autre part,  EMBED Equation.3 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en C.

Exercice 20 :  EMBED Equation.3 
Calculons les distances  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
On constate que  EMBED Equation.3  Le triangle ABC est donc isocèle en A.
D’autre part  EMBED Equation.3 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en A.

Exercice 21

D’après la figure, ABCD paraît être un parallélogramme. Il semblerait aussi que tous ses côtés aient la même longueur (on peut s’en rendre compte en comparant ces longueurs avec un compas).
Montrons d’abord que ABCD est un parallélogramme en montrant que  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .
Les vecteurs  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ont la même affixe. Ces vecteurs sont donc égaux. ABCD est bien un parallélogramme.

Montrons maintenant que  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 .
On a bien :  EMBED Equation.3 
ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. ABCD est un losange.

Exercice 22 :  EMBED Equation.3 
a) Calculons les distances  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 .
On remarque que  EMBED Equation.3 . Le triangle ABC est isocèle en A.
D’autre part  EMBED Equation.3 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en A.

b) Déterminons le point D pour que ABDC soit un parallélogramme.
Nous verrons après que ABDC sera alors en fait un carré.
Soit d l’affixe (inconnue pour l’instant) du point D.
La phrase « ABDC est un parallélogramme » se traduit successivement par :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
ABDC est un parallélogramme si et seulement si le point D a pour coordonnées  EMBED Equation.3 .
Or nous avons montré que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
Le parallélogramme ABDC a un angle droit (c’est donc un rectangle) et deux côtés consécutifs de même longueur ; c’est un carré.
ABDC est un donc un carré si et seulement si le point D a pour coordonnées  EMBED Equation.3 .


Transformations

Exercice 23 :
Soit  EMBED Equation.3  l’affixe du point  EMBED Equation.3 . On a  EMBED Equation.3 
Donc  EMBED Equation.3 .

Exercice 24 :
a) Soit a l’affixe de A ; on a : EMBED Equation.3 .
Soit  EMBED Equation.3  l’affixe de l’image de A par f. On a  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 .

Soit b l’affixe de B ; on a :  EMBED Equation.3 .
Soit  EMBED Equation.3  l’affixe de l’image de B par f. On a
 EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 .
b)  EMBED Equation.3  est invariant par f si et seulement si  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  équivaut à  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.DSMT4 
d’où  EMBED Equation.DSMT4 .
La transformation f admet un unique point invariant : le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice 25 :
 EMBED Equation.3  est invariant par f si et seulement si  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  équivaut à  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .

On pose  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
L’équation  EMBED Equation.DSMT4  n’a pas de solution réelle.

La transformation f a donc deux points invariants : les points d’affixes  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .


Ensembles de points

Exercice 26 :
1) Le point A a pour coordonnées  EMBED Equation.3 ,
le point  EMBED Equation.3 
et le point  EMBED Equation.3 .

2) Soit  EMBED Equation.3 
a)  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.3 , c’est à dire  EMBED Equation.3 .
L’ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment  EMBED Equation.3 .
b)  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.3 , c’est à dire  EMBED Equation.3 .
L’ensemble des points M cherché est le cercle de centre B et de rayon  EMBED Equation.3  .
c)  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à  EMBED Equation.DSMT4 , c’est à dire  EMBED Equation.DSMT4 .
L’ensemble des points M cherché est le disque fermé (bord compris) de centre C et de rayon 2.

Exercice 27 :
a) Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
On pose A le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et B celui d’affixe EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  . L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est la médiatrice de  EMBED Equation.DSMT4 
b) Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
On pose C le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  . L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de centre C et de rayon 5.
c) Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de centre O, l’origine du repère, et de rayon 1.

Exercice 28 :
Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan complexe tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est donc la médiatrice du segment  EMBED Equation.DSMT4 




Exercice 29 :
1) Soit  EMBED Equation.DSMT4  un nombre complexe. On sait alors que  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 
Remarque : la démonstration peut se faire aussi avec l’écriture exponentielle mais nécessite de prendre en compte le cas particulier de zéro qui n’admet pas d’écriture exponentielle.
2) Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan complexe tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 
(on applique le résultat de la question 1) avec  EMBED Equation.DSMT4 )
 EMBED Equation.DSMT4  . On pose A le point du plan complexe d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de centre A et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 

Exercice 30 :
On considère l’application f qui, à tout nombre complexe z, associe le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
On pose  EMBED Equation.DSMT4 , avec x et y réels.
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
2) Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’ensemble des points M du plan complexe tels que  EMBED Equation.DSMT4  soit réel.
 EMBED Equation.DSMT4 
L’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de centre le point ( de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 , privé du point A de coordonnées  EMBED Equation.DSMT4 .
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