Exercices TS

Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . 1. .... Pour tous nombres complexes z et z' non nuls, on a : ...... La figure jointe au sujet sera complétée au fur et à mesure des besoins et rendue avec la copie.

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Terminale C - D

Nombres Complexes Exercices

TOC \o "1-5" \h \z HYPERLINK \l "_Toc302308831" 1. 1. Divers,QCM, France 2003 - 5 points PAGEREF _Toc302308831 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308832" 1. 2. QCM, Asie 2009, 4 points PAGEREF _Toc302308832 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc302308833" 1. 3. QCM, Antilles 2009, 5 points PAGEREF _Toc302308833 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc302308834" 1. 4. QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points PAGEREF _Toc302308834 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc302308835" 1. 5. QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points PAGEREF _Toc302308835 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc302308836" 1. 6. QCM daprès des sujets de concours GEIPI PAGEREF _Toc302308836 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308837" 1. 7. QCM, La Réunion 2009, 4 points PAGEREF _Toc302308837 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc302308838" 1. 8. Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points PAGEREF _Toc302308838 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc302308839" 1. 9. Basique, Antilles 2007 - 5 points PAGEREF _Toc302308839 \h 7
HYPERLINK \l "_Toc302308840" 1. 10. Basique, Antilles 2006 - 5 points PAGEREF _Toc302308840 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308841" 1. 11. Basique, N. Calédonie 2009 PAGEREF _Toc302308841 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308842" 1. 12. Basique, La Réunion 2008 PAGEREF _Toc302308842 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc302308843" 1. 13. 2nd degré et barycentre, Antilles 2001 PAGEREF _Toc302308843 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308844" 1. 14. 2nd degré, Polynésie 1996 PAGEREF _Toc302308844 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc302308845" 1. 15. 2nd degré, Inde, 1996 PAGEREF _Toc302308845 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc302308846" 1. 16. Petits exos de base PAGEREF _Toc302308846 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc302308847" 1. 17. Cours, C. étrangers 2006 - 4 points PAGEREF _Toc302308847 \h 12
HYPERLINK \l "_Toc302308848" 1. 18. Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points PAGEREF _Toc302308848 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc302308849" 1. 19. Basique, Am. du Sud 11/2008 PAGEREF _Toc302308849 \h 13
HYPERLINK \l "_Toc302308850" 1. 20. Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points PAGEREF _Toc302308850 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308851" 1. 21. Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points PAGEREF _Toc302308851 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308852" 1. 22. pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points PAGEREF _Toc302308852 \h 14
HYPERLINK \l "_Toc302308853" 1. 23. Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points PAGEREF _Toc302308853 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc302308854" 1. 24. Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points PAGEREF _Toc302308854 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc302308855" 1. 25. Classique, La Réunion 2006 - 5 points PAGEREF _Toc302308855 \h 15
HYPERLINK \l "_Toc302308856" 1. 26. Système, STL, France, juin 2004 - 5 points PAGEREF _Toc302308856 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc302308857" 1. 27. Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points PAGEREF _Toc302308857 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc302308858" 1. 28. Transformation ? PAGEREF _Toc302308858 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc302308859" 1. 29. Equation PAGEREF _Toc302308859 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc302308860" 1. 30. Cercles PAGEREF _Toc302308860 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc302308861" 1. 31. Rotation PAGEREF _Toc302308861 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc302308862" 1. 32. Carrés, rotations et alignement PAGEREF _Toc302308862 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc302308863" 1. 33. ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308863 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc302308864" 1. 34. Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts PAGEREF _Toc302308864 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc302308865" 1. 35. Barycentre, ligne de niveau PAGEREF _Toc302308865 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc302308866" 1. 36. Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004 PAGEREF _Toc302308866 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc302308867" 1. 37. Ligne de niveau, Centres étrangers 2008 PAGEREF _Toc302308867 \h 20
HYPERLINK \l "_Toc302308868" 1. 38. Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008 PAGEREF _Toc302308868 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308869" 1. 39. 3ème degré, barycentre, ligne de niveau PAGEREF _Toc302308869 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308870" 1. 40. 3ème degré, rotation, Pondicherry 2003 PAGEREF _Toc302308870 \h 21
HYPERLINK \l "_Toc302308871" 1. 41. 3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points PAGEREF _Toc302308871 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc302308872" 1. 42. Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points PAGEREF _Toc302308872 \h 22
HYPERLINK \l "_Toc302308873" 1. 43. Produit scalaire PAGEREF _Toc302308873 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308874" 1. 44. Forme algébrique & trigo de pi/12 -1 PAGEREF _Toc302308874 \h 23
HYPERLINK \l "_Toc302308875" 1. 45. Forme algébrique & trigo de pi/12 -2 PAGEREF _Toc302308875 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308876" 1. 46. Forme algébrique & trigo de pi/12 -3 PAGEREF _Toc302308876 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308877" 1. 47. pi/12 4, France remplt 2007 - 5 points PAGEREF _Toc302308877 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308878" 1. 48. Trigo, France 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308878 \h 24
HYPERLINK \l "_Toc302308879" 1. 49. Equation du second degré - 1 PAGEREF _Toc302308879 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308880" 1. 50. Equation du second degré - 2 PAGEREF _Toc302308880 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308881" 1. 51. Médiatrice - 1 PAGEREF _Toc302308881 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308882" 1. 52. Médiatrice - 2 PAGEREF _Toc302308882 \h 26
HYPERLINK \l "_Toc302308883" 1. 53. Suite géométrique PAGEREF _Toc302308883 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc302308884" 1. 54. Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts PAGEREF _Toc302308884 \h 27
HYPERLINK \l "_Toc302308885" 1. 55. Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points PAGEREF _Toc302308885 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308886" 1. 56. Inversion 1 PAGEREF _Toc302308886 \h 28
HYPERLINK \l "_Toc302308887" 1. 57. Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points PAGEREF _Toc302308887 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc302308888" 1. 58. Inversion 3, Am. du Sud 2005 PAGEREF _Toc302308888 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc302308889" 1. 59. Inversion 4, Asie 06/2008 PAGEREF _Toc302308889 \h 29
HYPERLINK \l "_Toc302308890" 1. 60. Homographie, Am. du Nord 2010 5 points PAGEREF _Toc302308890 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc302308891" 1. 61. Homographie, France 2009, 5 points PAGEREF _Toc302308891 \h 30
HYPERLINK \l "_Toc302308892" 1. 62. Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points PAGEREF _Toc302308892 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc302308893" 1. 63. Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points PAGEREF _Toc302308893 \h 31
HYPERLINK \l "_Toc302308894" 1. 64. Homographie 1 PAGEREF _Toc302308894 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc302308895" 1. 65. Homographie 2 PAGEREF _Toc302308895 \h 32
HYPERLINK \l "_Toc302308896" 1. 66. Homographie 3, N. Calédonie 1996 PAGEREF _Toc302308896 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308897" 1. 67. Homographie 4, Amérique du Sud 2002 PAGEREF _Toc302308897 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308898" 1. 68. Homographie 5, Centres étrangers 2010 PAGEREF _Toc302308898 \h 33
HYPERLINK \l "_Toc302308899" 1. 69. Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008 PAGEREF _Toc302308899 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc302308900" 1. 70. Homographie+cercles, France 2002 - 5 points PAGEREF _Toc302308900 \h 34
HYPERLINK \l "_Toc302308901" 1. 71. Homographie, La Réunion 2004 - 5 points PAGEREF _Toc302308901 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc302308902" 1. 72. Carré PAGEREF _Toc302308902 \h 35
HYPERLINK \l "_Toc302308903" 1. 73. ROC+triangles, Antilles-Guyane 5 points PAGEREF _Toc302308903 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc302308904" 1. 74. Rotation et suite, La Réunion sept. 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308904 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc302308905" 1. 75. Rotation, France, sept. 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308905 \h 36
HYPERLINK \l "_Toc302308906" 1. 76. Rotation, Asie 2009 PAGEREF _Toc302308906 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308907" 1. 77. Rotations, Am du Nord 2009 PAGEREF _Toc302308907 \h 37
HYPERLINK \l "_Toc302308908" 1. 78. Rotation+Cercle, Pondicherry 2009 PAGEREF _Toc302308908 \h 38
HYPERLINK \l "_Toc302308909" 1. 79. ROC + Similitude, Polynésie 2009, 5 points PAGEREF _Toc302308909 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc302308910" 1. 80. Homothétie+rotation, Polynésie, nov 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308910 \h 39
HYPERLINK \l "_Toc302308911" 1. 81. Rotation et homothétie PAGEREF _Toc302308911 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc302308912" 1. 82. Homothéties PAGEREF _Toc302308912 \h 40
HYPERLINK \l "_Toc302308913" 1. 83. Rotation-translation PAGEREF _Toc302308913 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308914" 1. 84. Rotations, Paris 1996 PAGEREF _Toc302308914 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308915" 1. 85. Varignon, N. Calédonie 2004 - 4 points PAGEREF _Toc302308915 \h 41
HYPERLINK \l "_Toc302308916" 1. 86. 3ème degré+Hyperbole, Am Nord 2004 - 5 pts PAGEREF _Toc302308916 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc302308917" 1. 87. Conjugué, Centres étrangers 2004 - 4 pts PAGEREF _Toc302308917 \h 42
HYPERLINK \l "_Toc302308918" 1. 88. ROC+homographie, La Réunion 2010, 5 pts PAGEREF _Toc302308918 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc302308919" 1. 89. Transf. + ROC, Pondicherry 2007, 5 pts PAGEREF _Toc302308919 \h 43
HYPERLINK \l "_Toc302308920" 1. 90. Transf.+médiatrice, C. étrangers 2005 - 5 pts PAGEREF _Toc302308920 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc302308921" 1. 91. Fonction complexe, France 2009, 5 points PAGEREF _Toc302308921 \h 44
HYPERLINK \l "_Toc302308922" 1. 92. Transf. non linéaire, Liban 2007 - 5 pts PAGEREF _Toc302308922 \h 45
HYPERLINK \l "_Toc302308923" 1. 93. Transformation, Antilles 2008 PAGEREF _Toc302308923 \h 46
HYPERLINK \l "_Toc302308924" 1. 94. Fonction carré, Liban 2009, 5 points PAGEREF _Toc302308924 \h 47
HYPERLINK \l "_Toc302308925" 1. 95. f(z)=z²+1, N. Calédonie 2003 - 5 pts PAGEREF _Toc302308925 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc302308926" 1. 96. f(z)=z², Polynésie 2004 - 5 pts PAGEREF _Toc302308926 \h 48
HYPERLINK \l "_Toc302308927" 1. 97. Napoléon, Antilles 2004 - 5 pts PAGEREF _Toc302308927 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc302308928" 1. 98. f(z)=z²"4z+6, Polynésie 2004 PAGEREF _Toc302308928 \h 49
HYPERLINK \l "_Toc302308929" 1. 99. Projection orthogonale, Am. du Sud 2003 PAGEREF _Toc302308929 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc302308930" 1. 100. f(M)=MA.MB, Antilles 2002 PAGEREF _Toc302308930 \h 50
HYPERLINK \l "_Toc302308931" 1. 101. Hyperbole+rotation, Polynésie 09/2005 - 7 pts PAGEREF _Toc302308931 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc302308932" 1. 102. Conique PAGEREF _Toc302308932 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc302308933" 1. 103. Spirale PAGEREF _Toc302308933 \h 51
HYPERLINK \l "_Toc302308934" 1. 104. Courbe paramétrée+conique (prog. 1985) PAGEREF _Toc302308934 \h 52
HYPERLINK \l "_Toc302308935" 1. 105. Hyperbole et complexes PAGEREF _Toc302308935 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc302308936" 1. 106. Bissectrice (recherche) PAGEREF _Toc302308936 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc302308937" 1. 107. Birapport PAGEREF _Toc302308937 \h 53
HYPERLINK \l "_Toc302308938" 1. 108. Triangles équilatéraux, Am. du Sud 1992 PAGEREF _Toc302308938 \h 54
HYPERLINK \l "_Toc302308939" 1. 109. Somme de distances, Asie 2010, 5 points PAGEREF _Toc302308939 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc302308940" 1. 110. Produit de distances, C. étrangers 1991 PAGEREF _Toc302308940 \h 55
HYPERLINK \l "_Toc302308941" 1. 111. Logarithme complexe, EFREI 2001 PAGEREF _Toc302308941 \h 55

Divers,QCM, France 2003 - 5 points
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A et EMBED Equation.DSMT4 daffixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
On appelle r la rotation de centre EMBED Equation.DSMT4 et dangle EMBED Equation.DSMT4 et h lhomothétie de centre EMBED Equation.DSMT4 et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer sur une figure les points A et EMBED Equation.DSMT4 , limage B du point A par r, limage C du point B par r et limage D du point A par h.
2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et sachève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
1 EMBED Equation.DSMT4 24 EMBED Equation.DSMT4 2 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 3 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 6Le point D est :limage de EMBED Equation.DSMT4 par la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 .limage de EMBED Equation.DSMT4 par lhomothétie de centre A et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .limage de EMBED Equation.DSMT4 par la rotation de centre B et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
Annexe
1Réponses2Réponses3Réponses4Réponses5Réponses6Réponses
QCM, Asie 2009, 4 points
Lexercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune dentre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il sagit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
Question 1
La solution f de l équation différentielle y + 2y = 6 qui vérifie la condition initiale f(0) = 1 est définie sur l ensemble Rð des nombres réels par :
Réponse (1) : EMBED Equation.DSMT4 .Réponse (2) : EMBED Equation.DSMT4 .Réponse (3) : EMBED Equation.DSMT4 .Question 2
On considère un triangle ABC et on note I le point tel que EMBED Equation.DSMT4 . Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :
Réponse (1) : {(A, 1), (C, 2)}Réponse (2) : {(A, 1), (B, 2), (C, 2)}Réponse (3) : {(A, 1), (B, 2), (C, 1)}Question 3
Dans lespace muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , on considère le plan P déquation cartésienne :
EMBED Equation.DSMT4 et le point A(2 ; 3 ; 1). Le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point :
Réponse (1) : H1(3 ; 1 ; 4)Réponse (2) : H2(4 ; 3 ; 4)Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1)Question 4
La valeur moyenne de la fonction f définie sur lintervalle [0 ; 1] par EMBED Equation.DSMT4 est égale à :
Réponse (1) : EMBED Equation.DSMT4 Réponse (2) : EMBED Equation.DSMT4 Réponse (3) : EMBED Equation.DSMT4 .QCM, Antilles 2009, 5 points
Dans chacun des cas suivants, indiquer si laffirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Le plan complexe est muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
Soit le point A daffixe 3, le point B daffixe 4i et lensemble E des points M daffixe z tels que EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB].
2. Le plan complexe est muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, daffixes respectives a, b et c, tels que EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC].
3. On considère le nombre EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : z2009 est un nombre réel positif.
4. On considère trois points A, B et C non alignés de lespace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On note F lensemble des points M vérifiant EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation :F est la sphère de centre de G et de rayon 2.
5. Lespace est muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . S est la sphère EMBED Equation.DSMT4 . P est le plan déquation x + y 5 = 0.
Affirmation : Le plan P coupe la sphère S suivant un cercle.
QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification nest demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; labsence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
1. Le point M est situé sur le cercle de centre A("2 ; 5) et de rayon EMBED Equation.DSMT4 . Son affixe z vérifie :
a. EMBED Equation.DSMT4 ; b. EMBED Equation.DSMT4 ; c. EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère trois points A, B et C daffixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC nest pas équilatéral. Le point M est un point dont laffixe z est telle que les nombres complexes EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont imaginaires purs.
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;
c. M est lorthocentre du triangle ABC.
3. Soit A et B les points daffixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G lisobarycentre des points A, B et C et on note EMBED Equation.DSMT4 son affixe.
a. EMBED Equation.DSMT4 ; b. EMBED Equation.DSMT4 ; c. EMBED Equation.DSMT4 .
QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification nest demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; labsence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni dun repère orthonormé direct dorigine O.
1. Une solution de léquation EMBED Equation.DSMT4 est :
a. 3b. ic. 3 + i
2. Soit z un nombre complexe ; EMBED Equation.DSMT4 est égal à :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4 3. Soit z un nombre complexe non nul dargument EMBED Equation.DSMT4 . Un argument de EMBED Equation.DSMT4 est :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4 4. Soit n un entier naturel. Le complexe EMBED Equation.DSMT4 est un imaginaire pur si et seulement si :
a. n = 3b. n = 6k + 3, avec k relatifc. n = 6k avec k relatif5. Soient A et B deux points daffixe respective i et "1. l ensemble des points M d affixe z vérifiant EMBED Equation.DSMT4 est :
a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB]c. la droite perpendiculaire à (AB) passant par O6. Soit le point d affixe EMBED Equation.DSMT4 .
L ensemble des points M daffixe EMBED Equation.DSMT4 vérifiant EMBED Equation.DSMT4 a pour équation :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 réel7. Soient A et B les points daffixes respectives 4 et 3i. Laffixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec EMBED Equation.DSMT4 est :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4 c. EMBED Equation.DSMT4 8. Lensemble des solutions dans EMBED Equation.DSMT4 de léquation EMBED Equation.DSMT4 est :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. Lensemble videc. EMBED Equation.DSMT4
QCM daprès des sujets de concours GEIPI
Dans chaque question sont proposées plusieurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vraie ou fausse. Il ny a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque question. Donner pour chaque question les réponses vraies et les réponses fausses. Chaque résultat exact rapportera des points, chaque résultat inexact entraînera une pénalité. Une absence de réponse ne sera pas considérée comme un résultat inexact. Si le total des points, pour une question est négatif, ce total sera ramené à 0.
1. Pour tous nombres complexes z et z non nuls, on a :
a. EMBED Equation.DSMT4 . b. Si EMBED Equation.DSMT4 alors EMBED Equation.DSMT4 .
c. Si EMBED Equation.DSMT4 alors z = z ou z = z. d. EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère les complexes EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
a. EMBED Equation.DSMT4 . b. Il existe un entier n non nul tel que an est un réel.
c. Il existe un entier n non nul tel que an et bn sont tous deux des entiers.
d. Le point A daffixe a est limage du point B daffixe b par une rotation de centre O.
3. Pour tout réel qð de [0 ; 2pð[ on pose EMBED Equation.DSMT4 . Alors :
a. EMBED Equation.DSMT4 . b. Pour tout qð de [0 ; 2pð[ , EMBED Equation.DSMT4 .
c. Pour tout qð de [0 ; 2pð[ , EMBED Equation.DSMT4 est réel.
d. L ensemble des points EMBED Equation.DSMT4 daffixe EMBED Equation.DSMT4 est un cercle de rayon 1.
4. Soit a un réel de EMBED Equation.DSMT4 et (E) léquation dinconnue z : EMBED Equation.DSMT4 . On appelle M et N les points dont les affixes sont les solutoins de (E). Alors :
a. Les points M et N sont symétriques par rapport à laxe des abscisses.
b. Les points M et N sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 1.
c. Il nexiste aucune valeur de a telle que M et N sont symétriques par rapport à O.
d. Si A est le point daffixe 1, on a AM < 2.
QCM, La Réunion 2009, 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point nest enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soit (E) lensemble des points M daffixe z vérifiant : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 étant un nombre réel.
a. (E) est une droite passant par le point daffixe 2 2i. b. (E) est le cercle de centre daffixe 1 + 2i et de rayon 1.
c. (E) est le cercle de centre daffixe 1 2i et de rayon 1. d. (E) est le cercle de centre daffixe 1 2i et de rayon EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit f lapplication du plan qui, à tout point M daffixe z associe le point M daffixe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
a. f est une homothétie. b. Le point daffixe 1 2i est un antécédent du point daffixe i.
c. f est la rotation de centre le point daffixe 1 + i et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
d. f est la rotation de centre le point daffixe 1 i et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit (F) lensemble des points M daffixe z vérifiant EMBED Equation.DSMT4 .
Soient les points A, B et C d affixes respectives 1 i, 1 + 2i et 1 2i.
a. C est un point de (F). b. (F) est la médiatrice du segment [AB].
c. (F) est la médiatrice du segment [AC]. d. (F) est le cercle de diamètre [AB].
4. On considère dans lensemble des nombres complexes léquation EMBED Equation.DSMT4 . Cette équation admet :
a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b. Une solution réelle.
c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.
Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.
1. Pour tout complexe z, EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d'afîïxe z, N d'affixe EMBED Equation.DSMT4 et P d'affixe EMBED Equation.DSMT4 appartiennent à un même cercle de centre O.
3. Pour tout nombre complexe z, si EMBED Equation.DSMT4 alors la partie imaginaire de z est nulle.
4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Quels que soient les nombres complexes z et z non nuls, d'images respectives M et M' dans le plan complexe, si z et z vérifient l'égalité EMBED Equation.DSMT4 , alors les droites (OM) et (OM) sont perpendiculaires.
Basique, Antilles 2007 - 5 points
EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point daffixe 1 + i.
Au point M daffixe z, on associe le point M daffixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 .
1. On pose EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 avec x, y, x et y réels.
a. Démontrer les égalités suivantes : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que le point M appartient à la droite (OA).
b. Déterminer lensemble des points M du plan tels que M =M.
c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont orthogonaux.
2. Soit r la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 . M1 est le point daffixe z1 image de M par r, M2 le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 , M3 le point daffixe z3 tel que le quadrilatère OM1M3M2 soit un parallélogramme.
a. Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M, M1, M2, M3.
b. Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.
c. OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.
d. Vérifier que EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
3. Démontrer que les points M, M1, M2 et M3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
Donner alors la mesure en radians de langle géométrique EMBED Equation.DSMT4 .
Basique, Antilles 2006 - 5 points
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points
A daffixe a, a EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
B daffixe b +i, b EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
C image de B dans la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à laxe EMBED Equation.DSMT4 .
b. Exprimer alors laffixe du point C en fonction de a.
2. Dans cette question, on pose EMBED Equation.DSMT4 et b = 0. On considère les points C daffixe c = "i et D d affixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b. Calculer le quotient EMBED Equation.DSMT4 ; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?
c. Déterminer l affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
d. Déterminer laffixe du point F image de D dans la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
e. Déterminer la nature du triangle BEF.
Basique, N. Calédonie 2009
4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 direct dunité graphique 1 cm. On considère les points A et B daffixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
L objet de lexercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
1. a. Montrer que limage du point B par la rotation de centre A et dangle EMBED Equation.DSMT4 est le point D.
b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
2. Soit F, limage du point A par lhomothétie de centre B et de rapport EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que laffixe zF du point F est "2i.
b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
c. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la forme exponentielle de EMBED Equation.DSMT4 . Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans lévaluation.
Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
Basique, La Réunion 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de (C) d'affixe EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer l'affixe EMBED Equation.DSMT4 du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe EMBED Equation.DSMT4 du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport "2.
a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.
b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.
4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
a. Donner lécriture complexe de h.
b. Calculer EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que A est le milieu du segment [QR].
c. Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C) ?
2nd degré et barycentre, Antilles 2001
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
1. Résoudre dans lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres complexes léquation dinconnue z : EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.
3. On désigne par C le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 et par D son image par la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer laffixe d du point D.
4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; "1), (D ; 1) et (B ; 1).
a. Montrer que le point G a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure (unité graphique : 1 cm).
c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
5. a. Justifier l égalité EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire une mesure en radians de langle EMBED Equation.DSMT4 , ainsi que la valeur du rapport EMBED Equation.DSMT4 .
Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?
2nd degré, Polynésie 1996
Partie A
Soit P le polynôme défini sur EMBED Equation.DSMT4 par: EMBED Equation.DSMT4 .
1. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 l'équation P(z) = 0.
2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
Partie B
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité 4 cm). Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 2i, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points A, B et C sur une figure.
2. Soit EMBED Equation.DSMT4 .
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians, de l'angle EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.
2nd degré, Inde, 1996
1. a. Démonstration de cours : étudier la résolution dans Cð de l équation EMBED Equation.DSMT4 , a, b, c étant trois réels avec a non nul.
b. Résoudre l équation EMBED Equation.DSMT4 . On appellera EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 les solutions, EMBED Equation.DSMT4 ayant sa partie imaginaire positive.
c. Donner la forme exponentielle de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 puis celle de EMBED Equation.DSMT4 .
2. Dans le plan complexe muni dun repère othonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité 1 cm, on considère les points EMBED Equation.DSMT4 daffixe EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 daffixe EMBED Equation.DSMT4 et A daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer laffixe EMBED Equation.DSMT4 du point EMBED Equation.DSMT4 image de EMBED Equation.DSMT4 par lhomothétie h de centre A et de rapport 3.
b. Déterminer laffixe EMBED Equation.DSMT4 du point EMBED Equation.DSMT4 image de EMBED Equation.DSMT4 par la rotation r de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
c. Représenter les points O, A, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
d. Calculer EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en conclure ?
Petits exos de base
EMBED Chamois.Document
1. Sur la figure ci-dessus placer les points suivants :
EMBED Equation.DSMT4 .
2. Lire sur la figure le module et largument de chacun des complexes correspondants.
3. Faire le calcul pour EMBED Equation.DSMT4 .
4. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle des conjugués de EMBED Equation.DSMT4 .
5. Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
6. Calculer les complexes EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; déterminer leurs modules. Calculer EMBED Equation.DSMT4 , déterminer son module et son argument, en déduire langle des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
7. On fait une rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 sur les points E, A et B. Si E, A et B sont leurs images, quelles sont les affixes de ces trois points. Que vaut alors EMBED Equation.DSMT4 ?
8. On veut construire un triangle rectangle isocèle ABM dont lhypothénuse est [AB]. Lire sur la figure les affixes possibles des points M. Donner une méthode pour trouver les points M, lappliquer.
9. Soient z1 = 2, z2 = 3i et z3 = 1 2i, calculer EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , | z1|, | z2|, | z3|, a = EMBED Equation.DSMT4 et b = (z3)3.
10. Soit f la transformation du plan qui à M daffixe z associe M daffixe z tel que : z = 4z + 6 3i.
Déterminer lunique point invariant de f et en déduire la nature et les éléments caractéristique de f.
11. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
Dans chacun des cas suivants, déterminer lensemble des points M daffixe z tels que :
a. EMBED Equation.DSMT4 b. EMBED Equation.DSMT4
12. Soit le complexe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Ecrire Z sous forme exponentielle.
b. Reprendre la forme initiale de Z pour déterminer sa forme algébrique.
c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
13. EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 sont des réels fixés. Mettre chacun des complexes suivants sous forme trigonométrique :
EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
14. Mettre le complexe suivant sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique : EMBED Equation.DSMT4 .
15. Utiliser une formule dEuler pour exprimer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
16. Dire, sans justifier si chacune des affirmations a), b), c) est vraie ou fausse .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A, B et C daffixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. On a EMBED Equation.DSMT4 .
b. Lécriture algébrique de EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 .
c. Lécriture trigonométrique de EMBED Equation.DSMT4 est EMBED Equation.DSMT4 .
17. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
On considère les points EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Préciser les affixes des milieux des segments EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère EMBED Equation.DSMT4 ?
b. Interpréter géométriquement le module et un argument de EMBED Equation.DSMT4 . Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déduire du b. les propriétés vérifiées par les diagonales de EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature de EMBED Equation.DSMT4 ?
Cours, C. étrangers 2006 - 4 points
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a léquivalence suivante :
EMBED Equation.DSMT4
(ii) Pour tous nombres réels a et b : EMBED Equation.DSMT4 .
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 à EMBED Equation.DSMT4 près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas dune proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et EMBED Equation.DSMT4 désigne le module de z.
1. Si EMBED Equation.DSMT4 , alors z4 est un nombre réel.
2. Si EMBED Equation.DSMT4 , alors z = 0.
3. Si EMBED Equation.DSMT4 , alors z = i ou z = "i.
4. Si EMBED Equation.DSMT4 et si EMBED Equation.DSMT4 , alors z = 0.
Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points
Partie A
Pour tout nombre complexe z, on note EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer P(2). Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut sécrire sous la forme
EMBED Equation.DSMT4 .
2. Résoudre, dans lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres complexes, léquation EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les solutions, dans lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres complexes, de léquation P(z) = 0.
Partie B
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C daffixes respectives : a = 2, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b. Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle EMBED Equation.DSMT4 de centre O.
c. Construire le cercle EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de langle EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature du triangle OAB ?
Basique, Am. du Sud 11/2008
5 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B, C daffixes respectives a = 1+2i, b = 1+3i, c = 4i.
1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.
2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.
a. Quel est lensemble des points M du plan distincts de A dont laffixe z est telle que EMBED Equation.DSMT4 soit un réel ?
b. Déterminer lunique réel x tel que EMBED Equation.DSMT4 soit un réel.
c. Soit EMBED Equation.DSMT4 laffixe du vecteur EMBED Equation.DSMT4 ; donner une forme trigonométrique de EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Soit G le point daffixe 3. Montrer quil existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur laxe des réels.
b. Soit r1 la rotation de centre G et dangle de mesure EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer lécriture complexe de r1.
4. Soit A, B et C les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a, b et c leurs affixes.
Quelle est limage par r1 de laxe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique 1 cm).
On considère un polynôme P défini par EMBED Equation.DSMT4 où z est une variable complexe.
1. a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que EMBED Equation.DSMT4 .
b. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation P(z) = 0.
On considère les points A et B daffixes respectives : zA = 2 " 2i et zB = 2 + 2i.
a. Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres zA et zB.
b. Placer dans le plan P les points A et B.
c. Quelle est la nature du triangle OAB ?
2. On considère la transformation T du plan P dans lui-même qui, à tout point M daffixe z associe le point M daffixe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
a. Caractériser géométriquement la transformation T.
b. Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique laffixe du point A image de A par la transformation T.
c. En déduire les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 1 cm.
1. Résoudre dans lensemble des nombres complexes, léquation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z2 + 3z + 3 = 0.
2. On considère les nombres complexes : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Écrire z1 sous forme trigonométrique.
b. Construire avec précision dans le repère EMBED Equation.DSMT4 les points A et B daffixes respectives z1 et z2. On laissera apparents les traits de construction.
3. On appelle D le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 et K le point daffixe z4 = 1.
a. Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle C de centre K.
b. Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
c. Dans le repère EMBED Equation.DSMT4 placer les points K et D et tracer le cercle C. Déterminer la nature du triangle ABD.
pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 4cm.
1. a. Résoudre dans lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres complexes léquation EMBED Equation.DSMT4 . Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
b. Représenter dans le plan P les points A daffixe EMBED Equation.DSMT4 et B daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
2. On considère lapplication R de P dans P qui à tout point M daffixe z associe le point M daffixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 .
a. Caractériser géométriquement lapplication R.
b. Placer le point A image du point A par R.
c. Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique laffixe du point A.
d. En déduire les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points
1. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est muni dun repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 1 cm.
Soit les points A, B et C du plan complexe daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer le module et un argument de zA et zB.
b. Construire les points A, B et C.
c. Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
d. Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse).
3. a. Écrire zC sous forme algébrique.
b. Montrer que C est le milieu du segment [OA].
4. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).
Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 . Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i.
1. On appelle D limage de A par la rotation R1 de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 et C limage de B par la rotation R2 de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelles sont les fonctions f1 et f2 de EMBED Equation.DSMT4 dans EMBED Equation.DSMT4 associées respectivement aux rotations R1 et R2.
b. Calculer les affixes des points C et D.
2. a. Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle C dans le plan P et représenter les points A, B, C et D.
b. Quelle est la nature du triangle OCD ?
3. On note a laffixe du vecteur EMBED Equation.DSMT4 et b celle du vecteur EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
Classique, La Réunion 2006 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , lunité graphique est 2 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure que lon complétera au fur et à mesure des questions.
1. Résoudre dans lensemble EMBED Equation.DSMT4 des nombres complexes léquation EMBED Equation.DSMT4 . Écrire la solution sous forme algébrique.
2. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation EMBED Equation.DSMT4 . Écrire les solutions sous forme exponentielle.
3. Soient A, B, A et D les points du plan complexe daffixes respectives : a = 2, b = 4, a = 2i et d = 2 + 2i.
Quelle est la nature du triangle ODB ?
4. Soient E et F les points daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?
5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit r la rotation de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
a. On désigne par E limage par la rotation r du point E. Calculer laffixe e du point E.
b. Démontrer que le point E est un point du cercle C.
c. Vérifier que : EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que les points E, E et D sont alignés.
6. Soit D limage du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EED est rectangle.
Système, STL, France, juin 2004 - 5 points
1. Résoudre le système suivant dinconnues complexes z et z : EMBED Equation.DSMT4 .
On donnera les solutions sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 3 cm.
a. Placer dans le plan les points A, B et C daffixes respectives zA = "1, zB = 2i et zC ="2 + i.
b. Calculer les modules des nombres complexes : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
c. On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l affixe du point I puis calculer la distance BI.
d. Déterminer laire en cm2 du triangle ABC.
Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , unite graphique 1 cm. i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est EMBED Equation.DSMT4 . À tout point M daffixe z du plan complexe, on fait correspondre le point M daffixe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
1. Determiner le nombre complexe z tel que z = z.
2. On considère les points A et B d affixes respectives zA = 2 et zB= "1 + 3i.
a. Déterminer les affixes des points A et B . Que peut-on dire du point A ?
b. Placer les points A, B et B dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que le triangle ABB est un triangle rectangle et isocèle.
3. a. Vérifier légalité : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Soit C le point daffixe zC = 1 + i. Interpréter géométriquement EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déduire des questions précédentes lensemble (D) des points M daffixe z vérifiant EMBED Equation.DSMT4 et tracer (D) dans le repère précédent.
Transformation ?
A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe égal à EMBED Equation.DSMT4
1. Calculer f(3), f(i) et f(1 4i).
2. Exprimer EMBED Equation.DSMT4 à laide de z et de EMBED Equation.DSMT4 .
3. En déduire que z est réel pour tout z complexe.
Equation
Soit (E) léquation complexe : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que z = x + iy avec x et y réels est solution de (E) si et seulement si : EMBED Equation.DSMT4 .
2. En déduire la résolution de léquation (E) dans Cð.
Cercles
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b, et c telles que : a = 1 i, b = 1 + i, c = 1 + i = a. On note EMBED Equation.DSMT4 le cercle de diamètre [AB].
1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle EMBED Equation.DSMT4 .
b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.
c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l'angle de r et le point r (B), image de B par r. d. Déterminer l'image EMBED Equation.DSMT4 du cercle EMBED Equation.DSMT4 par r ; placer EMBED Equation.DSMT4 ' sur la figure.
2. On considère un nombre ( dans ]0 ; 2([ distinct de EMBED Equation.3 ; on note M le point d'affixe EMBED Equation.DSMT4 . On désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.
a. Montrer que M est un point de EMBED Equation.DSMT4 distinct de A et de B.
b. Exprimer z' en fonction de z. Calculer en fonction de ( les affixes u et u' des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
c. Etablir la relation EMBED Equation.DSMT4 .
d. Prouver que les points B, M et M' sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M'.
Rotation
Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , (unité graphique : 2 cm), on note B et C les points d'affixes respectives i et EMBED Equation.DSMT4
Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M d'affixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme exponentielle ( EMBED Equation.DSMT4 ).
2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.
3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images respectives B et C par la transformation R des points B et C. Placer B et C dans le plan P.
Que peut-on dire du point B ?
Que peut-on dire des points B et C relativement à l'axe des abscisses ?
4. a. En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z telle que EMBED Equation.DSMT4
b. Déterminer l'image D par la transformation R de l'ensemble D.
Carrés, rotations et alignement
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.
a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 est un nombre réel.
2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives
EMBED Equation.DSMT4
Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.
3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.
a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.
b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.
c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 , calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.
d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.
4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C1, 1), (C3, 1)} soit C2.
(Rappel : le barycentre G du système (A, EMBED Equation.DSMT4 ), (B, EMBED Equation.DSMT4 ), est tel que EMBED Equation.DSMT4 )
b. Calculer l'affixe c2 de C2.
c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.
ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombre réels.
On note EMBED Equation.DSMT4 le nombre complexe défini par EMBED Equation.DSMT4 .
Questions
a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z, EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On considère léquation (E) : EMBED Equation.DSMT4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de léquation (E) alors les nombres complexes z et EMBED Equation.DSMT4 sont aussi solutions de léquation (E).
2. On considère le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de léquation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de léquation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points daffixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Soit r la rotation du plan de centre C et dangle de mesure EMBED Equation.DSMT4 . On appelle E limage du point B par r et F celle du point D par r.
1. Déterminer lécriture complexe de la rotation r.
2. a. Démontrer que laffixe du point E, notée zE, est égale à EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer laffixe zF du point F.
c. Démontrer que le quotient EMBED Equation.DSMT4 est un nombre réel.
d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts
Partie A
1. Déterminer le complexe EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 .
2. Pour tout nombre complexe z, on pose EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que EMBED Equation.DSMT4 sécrit sous la forme EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les solutions (sous forme algébrique) de léquation EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 5 cm.
1. On considère les points A et B daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 , en déduire que le triangle EMBED Equation.DSMT4 est un triangle isocèle rectangle tel que EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère le point C daffixe EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer laffixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que EMBED Equation.DSMT4 .
On pourra conjecturer laffixe de D à laide de la figure pour traiter la question suivante.
3. Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 les affixes respectives des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Prouver que EMBED Equation.DSMT4 .
4. Donner une mesure en radians de EMBED Equation.DSMT4 .
5. Prouver que EMBED Equation.DSMT4 .
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que cest un carré.
Barycentre, ligne de niveau
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm.
1. a. Donner lécriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est EMBED Equation.DSMT4 .
b. Résoudre dans EMBED Equation.DSMT4 léquation iz 2 = 4i z. On donnera la solution sous forme algébrique.
2. On désigne par I, A et B les points daffixe respectives 1, 2i et 3 + i.
a. Faire une figure que lon complétera au cours de lexercice.
b. Calculer laffixe ZC du point C image par A de la symétrie de centre I.
c. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 . En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi quune interprétation géométrique.
d. Soit D le point daffixe ZD telle que EMBED Equation.DSMT4 , montrer que ABCD est un carré.
3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur EMBED Equation.DSMT4
a. Exprimer le vecteur EMBED Equation.DSMT4 en fonction du vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que le point K défini par EMBED Equation.DSMT4 est le milieu du segment [AD].
c. Déterminer lensemble EMBED Equation.DSMT4 des points M du plan tel que : EMBED Equation.DSMT4 .
Construire EMBED Equation.DSMT4 .
Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique : 1 cm.
1. On désigne par A, B et I les points d affixes respectives : zA = 3 + 2i, zB = "3 et zI = 1 "2i.
a. Faire une figure que l on complétera au cours de lexercice.
b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?
c. Calculer laffixe zC du point C image de I par lhomothétie de centre A et de rapport 2.
d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, "1) ; (C, 1)} ; calculer l affixe zD du point D.
e. Montrer que ABCD est un carré.
2. Déterminer et construire l ensemble EMBED Equation.DSMT4 des points M tels que EMBED Equation.DSMT4 .
3. On considère l ensemble EMBED Equation.DSMT4 des points M du plan tels que : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que B appartient à EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer et construire lensemble EMBED Equation.DSMT4 .
Ligne de niveau, Centres étrangers 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 ; l'unité graphique est 1 cm.
1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation EMBED Equation.DSMT4 . On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2. On note A et B les points du plan d'affixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
a. Déterminer l'affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
b. On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle EMBED Equation.DSMT4 ; démontrer que laffixe d du point D est EMBED Equation.DSMT4 .
c. Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
3. EMBED Equation.DSMT4 étant un nombre réel non nul, on désigne par EMBED Equation.DSMT4 le barycentre du système : EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer le vecteur EMBED Equation.DSMT4 en fonction du vecteur EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire l'ensemble des points EMBED Equation.DSMT4 lorsque EMBED Equation.DSMT4 décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
c. Pour quelle valeur de EMBED Equation.DSMT4 a-t-on EMBED Equation.DSMT4 ?
4. On suppose dans cette question que EMBED Equation.DSMT4 .
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 .
Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008
4 points
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, léquation EMBED Equation.DSMT4 .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 d'unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
2. Faire une figure et placer les points A, B, C.
3. Montrer que OABC est un parallélogramme.
4. Déterminer l'affïxe du point EMBED Equation.DSMT4 , centre du parallélogramme OABC.
5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par EMBED Equation.DSMT4 la partie imaginaire de l'affixe du point M. On note N l'image du point M par la rotation de centre D et d'angle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que N a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comment choisir EMBED Equation.DSMT4 pour que N appartienne à la droite (BC) ?
3ème degré, barycentre, ligne de niveau
1. On considère dans EMBED Equation.DSMT4 l'équation d'inconnue Z : (E) EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.
Déterminer les nombres réels EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 tels que, pour tout complexe Z,
EMBED Equation.DSMT4
b. Résoudre l'équation (E).
2. EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.
On considère les points A, B, C d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer le module de a (noté EMBED Equation.DSMT4 ) et son argument EMBED Equation.DSMT4 . Placer les trois points A, B et C.
b. Calculer le complexe EMBED Equation.DSMT4 , déterminer son module et son argument EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du triangle ABC.
c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, EMBED Equation.DSMT4 ), (B, EMBED Equation.DSMT4 ), (C, EMBED Equation.DSMT4 ). Placer D.
d. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que EMBED Equation.DSMT4 . Tracer E.
3ème degré, rotation, Pondicherry 2003
Première partie
On considère dans l ensemble des nombres complexes, l équation suivante : (E) z3 +2z2 "16 = 0.
1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s écrire sous la forme : (z "2)(az2 + bz + c) = 0, où a, b et c sont trois réels que lon déterminera.
2. En déduire les solutions de léquation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points A, B et D daffixes respectives zA = "2"2i, zB = 2 et zD = "2+2i.
2. Calculer l affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3. Soit E l image de C par la rotation de centre B et d angle EMBED Equation.DSMT4 et F l image de C par la rotation de centre D et d angle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.
b. Placer les points E et F.
4. a. Vérifier que : EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la nature du triangle AEF.
5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer limage du triangle EBA par la rotation de centre I et dangle EMBED Equation.DSMT4 .
3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points
Partie A
On considère léquation : (E) EMBED Equation.DSMT4 où z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
EMBED Equation.DSMT4 .
3. En déduire les solutions de léquation (E).
Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , on désigne par A, B et C les points daffixes respectives i, 2 + 3i et 2 " 3i.
1. Soit r la rotation de centre B et d angle EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l affixe du point A , image du point A par la rotation r.
2. Démontrer que les points A , B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A.
Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points
I. Restitution organisée de connaissances
1. Démontrer qu un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
2. Démontrer quun nombre complexe z est réel si et seulement si EMBED Equation.DSMT4 .
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a légalité : EMBED Equation.DSMT4 .
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 orthonormé direct . On se propose de démontrer, à laide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, daffixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à lorigine O, a pour orthocentre le point H daffixe a +b +c.
II. Étude dun cas particulier
On pose : a = 3 + i, b = "1 + 3i, EMBED Equation.DSMT4 .
1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
2. Placer les points A, B, C et le point H d affixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l orthocentre du triangle ABC.
III. Étude du cas general
ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.
1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si : EMBED Equation.DSMT4 .
2. On pose EMBED Equation.DSMT4 .
a. En utilisant la caractérisation dun nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.
b. Verifier légalité : EMBED Equation.DSMT4 et justifier que : EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire que le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 est imaginaire pur.
3. Soit H le point daffixe a + b + c.
a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Prouver que EMBED Equation.DSMT4 . (On admet de même que EMBED Equation.DSMT4 .
c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Produit scalaire
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique 2 cm). z et z´ sont deux nombres complexes et on pose : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 désignent les conjugués respectifs de z et z´.
1. Calculer : EMBED Equation.DSMT4 (i, 3) ; EMBED Equation.DSMT4 (1 + 2i, 2 + i), EMBED Equation.DSMT4 (2 + i, 3 + 2i), EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre ( (z, z´) est réel.
2. a. On pose z = x + iy et z´= x´+ iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer EMBED Equation.DSMT4 (z, z´) en fonction de x, x´, y, y´.
b. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que ( (z, 1 + i) = 2 EMBED Equation.DSMT4 . Dessiner D.
3. a. On pose EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ; ( et (´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer EMBED Equation.DSMT4 (z, z´) en fonction de r, r´ et cos( EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ´).
b. Exprimer EMBED Equation.DSMT4 (z, z') en fonction de r.
c. Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que EMBED Equation.DSMT4 (z, z') = 2.
d. Dessiner C dans le repère EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -1
Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 on considère les points A, B et C d'affixes respectives : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Écrire ZC sous forme algébrique.
b. Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.
c. Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 et de EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.
a. Quelle est la nature du triangle OIB ?
b. Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du triangle OAC.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -2
Soit les nombres complexes : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
c. On considère léquation dinconnue réelle x : EMBED Equation.DSMT4 .
Résoudre cette équation dans EMBED Equation.DSMT4 et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -3
Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . On considère dans P les points A, B et C d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe EMBED Equation.DSMT4
b. En déduire la nature du triangle ABC.
2. a. Écrire le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 sous forme algébrique.
b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la forme trigonométrique de EMBED Equation.DSMT4 .
c. À l'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
pi/12 4, France remplt 2007 - 5 points
Soit les nombres complexes : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
1. Écrire Z sous forme algébrique.
2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.
3. En déduire EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
4. Le plan est muni dun repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points daffixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 .
Trigo, France 2010, 5 pts
Dans le plan complexe muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , on considère le point A daffixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.
Dans tout lexercice on note EMBED Equation.DSMT4 le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 le nombre complexe conjugué du nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que les points B et C daffixes respectives EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 appartiennent au cercle C.
2. Soit D un point du cercle C daffixe EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est un nombre réel de lintervalle EMBED Equation.DSMT4 .
a. Construire sur la figure donnée ci-dessous le point E image du point D par la rotation r de centre O et dangle EMBED Equation.DSMT4 .

b. Justifier que le point E a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].
a. Justifier que le point F a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
b. On admet que le point G a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 . On pourra utiliser la question 1. a. En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
À laide dun logiciel de géométrie dynamique, on conjecture quil existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.
On admet que EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la fonction f définie sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4 . Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur lintervalle EMBED Equation.DSMT4 . Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.
x EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 f

Equation du second degré - 1
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
1. Résoudre léquation dinconnue complexe z : EMBED Equation.DSMT4 . On notera EMBED Equation.DSMT4 la solution dont la partie imaginaire est positive et EMBED Equation.DSMT4 lautre. Donner le module et largument de chacun des nombres EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Ecrire sous forme algébrique EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère dans le plan les points EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
b. Montrer que les points O, A et D dune part et les points O, B et C dautre part sont alignés. Quel est le point dintersection des diagonales de ABCD ?
c. Quelles sont les affixes des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ?
Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Equation du second degré - 2
EMBED Equation.DSMT4 étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2 EMBED Equation.DSMT4 ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z), défini par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer P(1).
b. En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer a, b et c.
c. Résoudre, dans EMBED Equation.DSMT4 , l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = sin EMBED Equation.DSMT4 + i cos EMBED Equation.DSMT4 ; z3 = sin EMBED Equation.DSMT4 " i cos EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Médiatrice - 1
Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Soit (D) l'ensemble des points M de (P) d'affixe z vérifiant (1) : EMBED Equation.DSMT4 .
1. En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.
2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1. Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe 2 + i.
a. Placer A et B dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
b. En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, re-démontrer que (D) est une droite. Tracer (D).
c. Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.
Médiatrice - 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique : 3 cm.
1. Placer les points B et D d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . On complètera la figure dans les questions suivantes.
2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.
3. Soit E le point d'affixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe zA du point A et vérifier que A est le milieu du segment [OB].
b. Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe zC du point C.
4. Calculer EMBED Equation.DSMT4 et déterminer un argument de ce nombre complexe.
5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].
Suite géométrique
On désigne par EMBED Equation.DSMT4 le point du plan complexe daffixe EMBED Equation.DSMT4 définie par:
EMBED Equation.DSMT4
où n est un nombre entier naturel et où EMBED Equation.DSMT4 est le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles EMBED Equation.DSMT4 est réel.
2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal. EMBED Equation.DSMT4 (unité = 8 cm).
a. Représenter dans P les points EMBED Equation.DSMT4
b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du triangle EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que ce triangle est rectangle.
3. On considère la suite EMBED Equation.DSMT4 définie par EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que la suite EMBED Equation.DSMT4 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Calculer EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer la limite de EMBED Equation.DSMT4 quand n tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. Calculer en fonction de n laire EMBED Equation.DSMT4 du triangle EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer la limite de EMBED Equation.DSMT4 quand n tend vers EMBED Equation.DSMT4 .
Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Lunité graphique est 4 cm.
Soit EMBED Equation.DSMT4 un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par : EMBED Equation.DSMT4 .
On note Mn le point daffixe zn.
1. Calcul de zn en fonction de n et de EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier les égalités : EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 ; EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul, EMBED Equation.DSMT4 .
2. Étude du cas EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que z4 = 0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de zn.
c. Montrer que Mn+1 est limage de Mn par une rotation dont on précisera le centre et langle.
d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
3. Caractérisation de certaines suites (zn).
a. On suppose quil existe un entier naturel k tel que EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a légalité : zn+k = zn.
b. Réciproquement, monter que sil existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait légalité zn+k = zn alors : EMBED Equation.DSMT4 .
Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points
Dans le plan complexe (P) muni dun repère orthonormé direct EMBED Equation.DSMT4 , d unité 2 cm, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : zA = "i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD = "1+2i.
1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.
2. a. Interpréter géométriquement le module et largument du complexe EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer le complexe EMBED Equation.DSMT4 .
c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?
3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
b. Calculer laire s0 du quadrilatère ABCD.
4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que EMBED Equation.DSMT4 , où les points A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé àlextérieur du quadrilatère ABCD.
b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.
5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 et Dn+1 tels que EMBED Equation.DSMT4 où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à lextérieur du carré AnBnCnDn.
Tracer le carré A2B2C2D2.
b. Soit sn laire du carré AnBnCnDn. Exprimer sn+1 en fonction de sn, puis de n. En déduire sn, en fonction de n.
c. Déterminer, en fonction de n, laire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn.
d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.
Inversion 1
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . L'unité graphique est 4 cm.
À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle que EMBED Equation.DSMT4 , où EMBED Equation.DSMT4 désigne le nombre complexe conjugué de z.
1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.
b. En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.
2. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et 1. On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par C* le cercle C privé du point O.
3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C* .
a. Justifier l'égalité : EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à partir du point M.
4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à l'axe des réels.
a. Calculer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de z. Exprimer alors l'argument de EMBED Equation.DSMT4 en fonction de l'angle EMBED Equation.DSMT4
b. Comparer les angles EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
c. Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.
Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points
EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d affixe 1; soit B le point d affixe "1.
Soit F l application de P privé de O dans P qui à tout point M daffixe z distinct de O associe le point M = F(M) daffixe EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Soit E le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 ; on appelle E son image par F. Déterminer laffixe de E sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer limage de C1 par lapplication F.
2. a. Soit K le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 et K limage de K par F. Calculer laffixe de K.
b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer limage de C2 par lapplication F.
3. On désigne par R un point daffixe EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 . R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.
a. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Si on considère maintenant les points daffixe EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3. a.
Inversion 3, Am. du Sud 2005
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . Unité graphique 2 cm.
Soit f lapplication qui à tout point M du plan daffixe z non nulle associe le point M daffixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 , où EMBED Equation.DSMT4 désigne le nombre complexe conjugué de z.
1. Déterminer lensemble des points invariants par f.
2. Déterminer lensemble des points dont limage par lapplication f est le point J daffixe 1.
3. Soit EMBED Equation.DSMT4 un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A daffixe EMBED Equation.DSMT4 admet un antécédent unique par f , dont on précisera laffixe.
4. a. Donner une mesure de langle EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement ce résultat.
b. Exprimer EMBED Equation.DSMT4 en fonction de EMBED Equation.DSMT4 . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire limage par f du cercle de centre O et de rayon r.
c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image P par f.
5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que limage par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D déquation x = 2.
Inversion 4, Asie 06/2008
4 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour le dessin : EMBED Equation.DSMT4 .
M est un point daffixe z non nul. On désigne par M le point daffixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 désigne le conjugué du nombre complexe z.
A. Quelques propriétés
1. Soit z un nombre complexe non nul.
Déterminer une relation entre les modules de z et z puis une relation entre les arguments de z et z.
2. Démontrer que les points O, M et M sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a légalité : EMBED Equation.DSMT4 .
B. Construction de limage dun point
On désigne par A et B les deux points daffixes respectives 1 et "1.
On note (C) l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Quelle est la nature de l ensemble (C) ?
2. Soit M un point de (C) d affixe z, distinct du point O.
a. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Est-il vrai que si z vérifie légalité : EMBED Equation.DSMT4 , alors z vérifie légalité : EMBED Equation.DSMT4 ?
3. Tracer lensemble (C) sur une figure. Si M est un point de (C) , décrire et réaliser la construction du point M.
Homographie, Am. du Nord 2010 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 d'unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe "2i et D d'affïxe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit f l application qui à tout point M d affixe z ( EMBED Equation.DSMT4 ) associe le point M d'affixe z définie par EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que le point E a pour affixe EMBED Equation.DSMT4 .
2. Exprimer sous forme algébrique laffixe du point D associé au point D par l'application f.
3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que pour tout point M d'affixe z ( EMBED Equation.DSMT4 ) : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 où k est un entier relatif.
4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant les résultats de la question 3. b, placer le point E associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction.
5. Quelle est la nature du triangle BDE ?
Homographie, France 2009, 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On désigne par A, B et J les points daffixes respectives i, 1 i et i. On désigne par EMBED Equation.DSMT4 la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre O et de rayon 1.
À tout point M d affixe z distincte de 1 i, on associe le point M d affixe z telle que EMBED Equation.DSMT4 . M2 est appelé image du point M.
1. Calculer les affixes des points A2 et O2 .
2. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l exercice (unité graphique 4 cm).
3. Montrer que l équation EMBED Equation.DSMT4 admet deux solutions que l on précisera. On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C et les placer sur la figure.
4. Soit M un point distinct du point B et M son image.
a. Exprimer la distance OM en fonction des distances AM et BM.
b. Montrer que si le point M décrit la droite EMBED Equation.DSMT4 , alors le point M décrit un cercle que lon précisera.
5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou dinitiative même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.
Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point M appartient à une droite que lon précisera.
Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
On pose a = 3, b = 5"2i et c = 5+2i. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives a, b et c. Soit M un point d affixe z du plan, distinct des points A et B.
a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
b. Donner une interprétation géométrique de l argument du nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déterminer alors lensemble des points M daffixe z tels que EMBED Equation.DSMT4 soit un nombre réel strictement négatif.
2. Soit EMBED Equation.DSMT4 le cercle circonscrit au triangle ABC et EMBED Equation.DSMT4 le point daffixe 2 "i.
a. Donner l écriture complexe de la rotation r de centre EMBED Equation.DSMT4 et d angle EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l image EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points
Le plan complexe est muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur EMBED Equation.DSMT4 non nul, daffixe z, on a : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 à EMBED Equation.DSMT4 près.
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z sont deux nombres complexes non nuls, alors : EMBED Equation.DSMT4 .
Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On note A et B les points d affixes respectives "i et 3i. On note f l application qui, à tout point M du plan, d affixe z, distinct de A, associe le point M daffixe z telle que : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Étude de quelques cas particuliers.
a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.
b. On note C le point daffixe c ="2 + i. Démontrer que le point C , image de C par f , appartient à l axe des abscisses.
2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que EMBED Equation.DSMT4 à EMBED Equation.DSMT4 près.
3. Étude de deux ensembles de points.
a. Déterminer lensemble des points M daffixe z tels que z soit un nombre complexe imaginaire pur.
b. Soit M daffixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M ?
Homographie 1
Dans le plan complexe P, muni d'un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : zA = 2i, zB = 4 2i, zC = 4 + 2i, zD = 1.
1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité graphique 2 cm.
b. Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par F l'application qui, à tout point M de P, d'affixe z et distinct de A, associe le point M d'affixe EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les images de B et C par F.
b. Déterminer l'ensemble E des points d'affixe z tels que EMBED Equation.DSMT4 . Construire E.
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de " 2i , on a : (z´ " 1) (z + 2i) = " 4 " 4i.
b. En déduire que si M est sur un cercle de centre A et de rayon r, M est sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
c. De même montrer que si M est sur une droite passant par A, alors M est sur une droite passant par D.
Variante originelle
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de 2i , on a : (z´ 1)(z + 2i) = 4 4i.
b. Montrer que, pour tout point M, distinct de A, et dont l'image par F est notée M, on a :
EMBED Equation.DSMT4
Homographie 2
Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On note A le point d'affixe i et B celui d'affixe "2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.
Soit f l'application du plan complexe définie par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soit z un complexe différent de i.
a. On désigne par r et SYMBOL 113 \f "Symbol" le module et un argument de z i. Interpréter géométriquement r et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que (z' + 2i)(z " i) = 1.
c. On désigne par r' et EMBED Equation.DSMT4 le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.
3. Soit T le point d'affixe EMBED Equation.DSMT4
a. Calculer l'affixe de EMBED Equation.DSMT4 ; en déduire que T appartient au cercle (C).
b. Déterminer une mesure en radians de l'angle EMBED Equation.DSMT4 . Tracer le cercle (unité 2 cm) et placer T.
c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.
Homographie 3, N. Calédonie 1996
A tout complexe z différent de EMBED Equation.DSMT4 on associe le complexe EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer le complexe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
3. On appelle x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z. Déterminer en fonction de x et y la partie réelle X et la partie imaginaire Y de EMBED Equation.DSMT4 .
4. Dans le plan complexe, on appelle A le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 , B le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 et M le point daffixe z. Montrer que EMBED Equation.DSMT4 .
Donner une interprétation de EMBED Equation.DSMT4 à laide de langle EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie 4, Amérique du Sud 2002
Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 on appelle A et B les points d affixes respectives 2 et "2. À tout point M d affixe z, z différent de 2, on associe le point N d affixe EMBED Equation.DSMT4 et M d affixe z tel que EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer z et EMBED Equation.DSMT4 lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.
2. a. Interpréter géométriquement EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que, pour tout z distinct de 2, EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une information sur la position de M.
3. Déterminer lensemble E des points M daffixe z (z EMBED Equation.DSMT4 2) tels que M = B.
4. On note EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 les affixes respectives des vecteurs EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que, pour tout point M distinct de A et nappartenant pas E , le quotient EMBED Equation.DSMT4 est un nombre réel. Interpréter géométriquement ce résultat.
5. Un point M distinct de A, nappartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M. On illustrera par une figure.
Homographie 5, Centres étrangers 2010
5 points
Dans le plan complexe (P)muni dun repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 4 cm, on considère le point A daffixe a = "1 et l application f , du plan (P) dans lui·même, qui au point M d affixe z, distinct de A, associe le point M = f(M) d affixe z tel que : EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer l affixe des points M tels que M = M.
2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 à EMBED Equation.DSMT4 près.
3. a. Soit B le point daffixe EMBED Equation.DSMT4 . Placer dans le repère le point B et lamédiatrice ( EMBED Equation.DSMT4 ) du segment [OA].
b. Calculer sous forme algébrique laffixe b du point B image du point B par f.
Établir que B appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.
Placer le point B et tracer le cercle (C) dans le repère.
c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice ( EMBED Equation.DSMT4 ), son image M par f appartient au cercle (C).
d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En saidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, limage du point C par f (on laissera apparents les traits de construction).
4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, lensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ) des points M distincts de A et de O dont l image M par f appartient à l axe des abscisses.
Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.
a. On pose EMBED Equation.DSMT4 avec x et y réels tels que (x, y) EMBED Equation.DSMT4 ("1, 0) et (x, y) EMBED Equation.DSMT4 (0, 0).
Démontrer que la partie imaginaire de z est égale à : EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de lensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ) et le tracer dans le repère.
b. À laide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de lensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ).
Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère les points A, B et I d'affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, ( EMBED Equation.DSMT4 ) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C) en A.
À tout point M d'affixe z, différent de A, on associe le point M d'affixe z telle que : EMBED Equation.DSMT4 .
Le point M est appelé l'image de M.
Partie A
1. Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I image de I. Vérifier que I appartient à (C).
2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Dans la suite de l'exercice, M désigne un point quelconque de ( EMBED Equation.DSMT4 ).
On cherche à construire géométriquement son image M.
1. Démontrer que M appartient à (C).
2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C) en N.
a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.
Après avoir justifié que EMBED Equation.DSMT4 , démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire une construction de M.
Homographie+cercles, France 2002 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 dunité graphique 4 cm. On note A et B les points daffixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et daffixe z, est associé le point M daffixe Z définie par : EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer laffixe du point C associé au point C daffixe "i.
b. Placer les points A, B et C.
2. Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.
a. Montrer l égalité : EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l ensemble E des points M d affixe z telle que Z soit réel.
c. Déterminer l ensemble F des points M d affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul.
3. a. Écrire le nombre complexe (1 " i) sous forme trigonométrique.
b. Soit M un point d affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement s il existe un entier relatif k tel que EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire lensemble des points M vérifiant EMBED Equation.DSMT4 .
d. Déterminer lensemble des points M vérifiant EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie, La Réunion 2004 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 ; i désigne le nombre complexe de module 1 et dargument EMBED Equation.DSMT4 . Soient les points A, B et C daffixes respectives i, 1+i et "1+i.
Soit f l application qui, à tout point M du plan différent de A, d affixe z, associe le point M du plan d affixe z tel que : EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Déterminer les images de B et de C par l application f.
b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation EMBED Equation.DSMT4 .
c. Soit D le point daffixe 1+2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D image du point D par l application f.
2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est limage par lapplication f du cercle de centre A et de rayon R ?
3. a. Montrer que, si laffixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors laffixe du point M est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour limage par lapplication f de laxe imaginaire privé du point A ?
b. Soit EMBED Equation.DSMT4 la droite passant par le point A et de vecteur directeur EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l image de la droite EMBED Equation.DSMT4 privée du point A par lapplication f.
Carré
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé EMBED Equation.DSMT4 , on considère le point M d'affixe zM=2+im (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la rotation de centre O et d'angle de mesure EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Déterminer, en fonction de m les affixes EMBED Equation.DSMT4 des points N, P et Q.
b. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M a pour affixe 2 + 3i.
2. M étant le point d'affixe zM = 2 + im, on note I le milieu du segment [MN] et J le milieu du segment [NP] d'affixes respectives zI et zJ. Calculer le nombre complexe EMBED Equation.DSMT4 .
Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument de w et expliquer le résultat obtenu par un raisonnement géométrique.
3. Soit A le point d'affixe 2.
a. Calculer l'affixe Z du vecteur EMBED Equation.DSMT4 . Calculer le module de Z, puis, en distinguant les cas m 8?8@8A8i8j8k88888888888ñ8ò8öñöäØäÏËÏ»äÏñöñ®öñöäØäÏËÏäÏñöñöñöäØ{qjhJ EHöÿUhJ >*\]aJhJ jhJ UjékhûDÕUjlkh7(ªhûDÕ0JUjïjhûDÕUjrjh7(ªhûDÕ0JUhûDÕh7(ªhûDÕ0JhûDÕCJOJQJaJjh7(ªhûDÕ0JU hûDÕjhûDÕU*ò89 9
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