Feuille d'exercices n° 5
(escp 99 ; également autres espaces vectoriels) Soit M2(R) l'ensemble des
matrices ..... escl 98 bis (sujet de secours) M3(R) désigne l'ensemble des
matrices ...
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Chapitre V
Algèbre linéaire, diagonalisation
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices A (traiter les exercices 1 et 2 parallèlement ) :
1°) EMBED Equation.3 2°) EMBED Equation.3 3°) EMBED Equation.3 4°) EMBED Equation.3
5°) EMBED Equation.3 6°) EMBED Equation.3 .
rep : 1°) (1 (0,1,-ð1) ; 5 (1,2,1) ; 2 (1,0,0). 2°) 0 (1,-ð1) ; 2 (1,1).
3°) 0 (0,0,1) ; -ð1 (1,-ð1,1) ; 3 (3,3,1) 4°) 0 (1,0,-ð1) ; 2 (1,0,1), (0,1,0) (eq. x = z).
5°) -ð1 (1,0,1) ; 1 (0,1,1) ; 3 (-ð1,1,1) 6°) -ð1 (2,-ð1,1) ; 1 (1,2, -ð1).
Pour chacune des matrices A de l'exercice 1, dire si elle est :
a) inversible ;
b) diagonalisable ; expliciter alors D diagonale et P inversible telles que A = PDP-ð1.
1°) Diagonaliser la matrice A = EMBED Equation.3
2°) Calculer An, pour n ( N.
3°) Soit (un) et (vn) les suites définies par : EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( n ( N*).
Montrer : (n (N EMBED Equation.3 . En déduire l'expression de un et vn en fonction de n.
Matrice non diagonalisable. Soit A = EMBED Equation.3 . Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. En déduire que A n'est pas diagonalisable.
Matrice 3-3 diagonalisable avec 2 valeurs propres. Soit A = EMBED Equation.3 . Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. En déduire que A est diagonalisable.
1°) Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1 pour SEULE valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant une unique valeur propre ( ? La matrice EMBED Equation.3 est-elle diagonalisable ? inversible ? et la matrice EMBED Equation.3 ? etc.
2°) Donner un exemple de chacun des types suivants de matrices : (on donnera des matrices 2-2)
diagonalisable et inversible ; diagonalisable et non inversible ;
non diagonalisable et inversible ; non diagonalisable et non inversible.
1°) Montrer que si ( est valeur propre de A, alors (2 est valeur propre de A2,
, (n est valeur propre de An.
2°) Soit A une matrice telle que A3 = 0, avec A2 différent de 0. Montrer que A n'est pas inversible et que 0 est l'unique valeur propre de A. A est-elle diagonalisable ?
3°) Soit A une matrice telle que A3 2A2 A + 2I = 0. Montrer que les valeurs propres de A sont dans {-ð1, 1, 2}.
(escp 99 ; également autres espaces vectoriels) Soit M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et soit J la matrice J = EMBED Equation.3 .
1. On considère l'application S de M2(R) dans lui-même qui associe à tout élément M de M2(R) l'élément S(M) = J M J.
Montrer que l'application S ainsi définie est un automorphisme de l'espace vectoriel M2(R). Quel est l'automorphisme réciproque de S ?
Montrer que si M et N sont deux éléments quelconques de M2(R), on a S(MN) = S(M)S(N).
2. On considère les éléments
I = EMBED Equation.3 J = EMBED Equation.3 K = EMBED Equation.3 L = EMBED Equation.3 .
Montrer que (I, J, K, L) forme une base de l'espace vectoriel M2(R).
Montrer que I, J, K, L sont des vecteurs propres de S. Déterminer la matrice représentant l'automorphisme S dans la base (I, J, K, L).
Soit F l'ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) = M et soit G l'ensemble des éléments M de M2(R) vérifiant S(M) = ( M. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de M2(R) et que tout élément M de M2(R) peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme M = M+ + M ( avec M+ ( F et M ( ( G.
A titre d'exemple, déterminer les matrices A+ et A( lorsque A = EMBED Equation.3 .
a) Montrer que le produit de deux matrices appartenant à F appartient aussi à F. Que peut-on dire du produit de deux éléments de G ?
b) Plus précisément, pour deux matrices M et N de M2(R), exprimer (MN)+ et (MN)( en fonction de M+, M( , N+ et N( .
(inseec 2001) On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois : A = EMBED Equation.3 et l'endomorphisme f de R3 de matrice A dans la base canonique de R3.
1) Déterminer une base de lm f et de Ker f.
2) On considère la matrice P = EMBED Equation.3 . Montrer que P est inversible et déterminer P(1.
3) a) Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de f.
b) En déduire l'existence d'une matrice diagonale A' telle que A =P A' P(1.
4) Dans cette question on s'intéresse aux solutions de l'équation matricielle M3 = A (*) où M est une matrice carrée réelle d'ordre 3.
a) Montrer que si M vérifie la relation (*) alors M A = A M.
b) On note X1 = EMBED Equation.3 , X2 = EMBED Equation.3 , X3 = EMBED Equation.3 . Si la matrice M vérifie la relation (*), déduire de la question précédente que X1, X2, X3 sont des vecteurs propres de M .
c) En déduire l'existence d'une matrice diagonale M ' d'ordre 3 telle que M = P M ' P(1. Quelle relation a t- on entre les matrices M ' et A' ?
d) Conclure.
(escp 2001) A. On considère la matrice A définie par : EMBED Equation.3
et on note ( l'endomorphisme de R3 représenté par A dans la base canonique.
1. Montrer que A admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas d'autres. Déterminer les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres. La matrice A est-elle diagonalisable ?
2. Soit V un vecteur propre de A associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur W de R3 tel que ((W) = V + W.
3. Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2. Montrer que la famille (U, V, W) est une base de R3.
4. Déterminer la matrice B représentant l'endomorphisme ( dans la base (U, V, W) ainsi qu'une matrice inversible P telle qu'on ait l'égalité B = P(1AP.
B. On donne les matrices :
EMBED Equation.3
et, pour (a, b, c) ( R3 :
M(a, b, c) = aI + bH + cN.
On considère le sous-ensemble E de M3(R) des matrices M(a, b, c) quand (a, b, c) décrit R3.
1. Montrer que E est un espace vectoriel, préciser sa dimension.
2. Préciser les conditions que doivent vérifier a, b, c pour que M(a, b, c) soit inversible. Déterminer alors sa matrice inverse.
3. Déterminer les valeurs propres de M(a, b, c). Montrer que M(a, b, c) est diagonalisable si et seulement si c = 0.
(hec 2001) On note m un paramètre réel et on considère les matrices Hm définies par
EMBED Equation.3 .
1°) On suppose dans cette question que m = 2. Déterminer les valeurs propres de la matrice H2 et les sous-espaces propres associés. La matrice H2 est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de vecteurs propres.
2°) Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice H0. Cette matrice est-elle diagonalisable ?
3°) a) Montrer qu'il existe un réel a, que l'on déterminera, qui est une valeur propre de la matrice Hm pour toutes les valeurs du paramètre m.
b) Déterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre de Hm associé à la valeur propre a. Montrer qu'on peut trouver un vecteur non nul v1 appartenant à tous ces espaces.
4°) soit F le sous-espace de R3 engendré par les vecteurs v2 = (1, 0, 1) et v2 = (1, 1, 0). Déterminer les vecteurs hm(v2) et hm(v3) et montrer que ces vecteurs appartiennent à F pour tout m réel.
5°) En se plaçant dans la base de R3 formée par les vecteurs v1, v2 et v3, déterminer les valeurs de m pour lesquelles la matrice Hm est diagonalisable.
(inseec 2002, extrait ; voir chap VIII) On considère la matrice carrée réelle d'ordre 3 : EMBED Equation.3 et on note ( l'endomorphisme de R3 dont la matrice est A, dans la base canonique b = (e1, e2, e3) de R3.
1) Déterminer le noyau et l'image de (. En déduire que 0 est une valeur propre de (.
2) a) Justifier que la matrice A est diagonalisable.
b) Vérifier que 4 et 6 sont deux valeurs propres de ( et déterminer les sous-espaces propres associés.
c) On pose u1 = (e1 + e2 + 2e3 , u2 = e1 + e2 et u3 = e1 ( e2 + e3, montrer que b' = (u1, u2, u3) est une base de R3 et déterminer la matrice A' de ( dans cette base.
3) Soient (, (, ( trois nombres réels non nuls et P la matrice définie par EMBED Equation.3
a) Montrer en utilisant la question précédente que P est inversible.
b) On rappelle que pour toute matrice A = (aij), on appelle transposée de A la matrice, notée tA, définie par tA = (aji), c'est à dire obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A, ainsi
EMBED Equation.3 .
Calculer le produit P.tP et en déduire l'existence de valeurs de (, ( et ( telles que tP = P(1.
Annales e.m. lyon (ex e.s.c.l)
escl 88 Soit f : R3 EMBED Equation.3 R3 , (x, y, z) EMBED Equation.3 (3x 2y, 2x 4z, y 3z).
1°) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique de R3 .
2°) Déterminer les valeurs propres de A. En déduire que A n'est pas inversible et que A est diagonalisable.
3°) Calculer A2, A3. En déduire An, n ( N.
escl 89 Soit A = M(f, B) = EMBED Equation.3 , B base canonique de R3.
1°) Déterminer une base et la dimension de Ker(f), de Im(f).
2°) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de f. f est-il diagonalisable ?
f est- un automorphisme de R3 ?
3°) Calculer An, pour n ( N.
4°) Déterminer tous les réels x tels que (A x.I)2 = I (I matrice unité). Existe-t-il un réel x tel que (A x.I)3 = I ?
escl 90 Soient f et g les endomorphismes de R3 dont les matrices F et G relativement à la base canonique de R3 sont :
F = EMBED Equation.3 G = EMBED Equation.3 .
1°) a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de g.
2°) Montrer qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres de f et g.
3°) Pour a ( R, soit H(a) la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
H(a) = EMBED Equation.3 .
a) Montrer, pour tout a dans R : H(a) = aF + (1 a)G.
b) Calculer, pour tout a dans R, et tout n dans N*, (H(a))n .
escl 91 Soit a > 0, A(a) = EMBED Equation.3 , et fa l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est A(a).
1°) a) Calculer les valeurs propres de fa.
b) fa est-il diagonalisable ?
c) Pour quels a fa est-il un isomorphisme ?
2°) Déterminer une base de R3 formée de vecteurs propres de fa.
escl 92 L'espace vectoriel R3 est muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3).
Soit (a1, a2, a3) dans R3 tel que a1.a2.a3 soit différent de 0.
On considère :
* a = (a1, a2, a3) ;
* A la matrice de M3(R) dont le terme situé à la ligne i et à la colonne j vaut ai.aj pour tout (i, j) dans {1,2,3}2.
* f l'endomorphisme de R3 de matrice A dans B.
1°) Montrer que a est vecteur propre de f, associé à une valeur propre que l'on déterminera.
2°) Déterminer Ker(f).
3°) Montrer qu'il existe une base de R3 formée de vecteurs propres de f. Donner une telle base et écrire la matrice de f dans cette base.
4°) Calculer An pour tout n de N.
escl 93 f est l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 , notée (i, j, k), est A :
A = EMBED Equation.3 .
1°) a) Calculer les valeurs propres de f. On les notera (1, (2, (3 de façon que
(1 < (2 < (3.
b) En déduire, sans autre calcul, la réponse aux questions suivantes :
A est-elle diagonalisable ?
A est- elle inversible ?
2°) Pour tout p dans {1, 2, 3}, montrer qu'il existe un vecteur propre ep de f associé à la valeur propre (p, dont la p-ième coordonnée dans la base (i, j, k) est 1. Donner les coordonnées de ep dans cette base.
3°) Soit P la matrice de passage de la base (i, j, k) à la base (e1, e2, e3). Ecrire P. Calculer P(1. Les calculs devront figurer sur la copie.
4°) Pour n dans N*, calculer An. On donnera de façon explicite les 9 coefficients de la matrice An.
escl 94 On considère, pour tout réel a, la matrice de M3(R) suivante :
A(a) = EMBED Equation.3 .
1°) déterminer les valeurs propres de A(a), pour a dans R.
2°) Etudier, suivant les valeurs du réel a, l'inversibilité de A(a) dans M3(R).
3°) On suppose, dans cette question 3°) seulement : a EMBED Equation.3 .
a) Montrer que A(a) est diagonalisable.
b) Calculer, pour chaque valeur propre de A(a), un vecteur propre de A(a) associé à cette valeur propre.
4°) a) La matrice A(0) est-elle diagonalisable ?
b) Calculer (A(0))2, (A(0))3 et (A(0))n pour tout entier naturel n non nul.
escl 95 On considère la matrice carrée d'ordre 3 réelle :
A = EMBED Equation.3 .
1°) a) Etablir que A admet une seule valeur propre, (, que l'on déterminera.
b) A est-elle inversible ?
c) A est-elle diagonalisable ?
2°) On considère B = A 3I, où I = EMBED Equation.3 .
a) Calculer B2.
b) En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de An en fonction de n.
escl 96 On considère les matrices carrées réelles d'ordre 3 suivantes:
I = EMBED Equation.3 ; J = EMBED Equation.3 ; A = EMBED Equation.3
1°) Calculer A2 et exprimer J comme combinaison linéaire de I et A2.
2°) a) Calculer les valeurs propres de A (les calculs devront figurer sur la copie) ; On trouvera trois réels (1, (2, (3 que l'on rangera de sorte que (1 < (2 < (3.
b) Pour chaque entier k de {1, 2, 3}, calculer un vecteur propre Xk de A associé à la valeur propre (k de A, tel que l'élément de la première ligne de Xk soit égal à 1.
c) En déduire une matrice carrée réelle d'ordre 3, inversible, de première ligne égale à
(1 1 1), telle qu'en notant D = diag((1, (2, (3) , on ait : A = PDP(1.
3°) Soit a, b, c des réels et M = EMBED Equation.3 .
a) Exprimer M comme combinaison linéaire de I, A, J, puis comme combinaison linéaire de I, A, A2.
b) En déduire une matrice diagonale réelle EMBED Equation.3 d'ordre 3 telle que M = P EMBED Equation.3 P-ð1, où P est la matrice obtenue à la question 2°)c).
escl 97 (nouveau programme) Soit a, b, c trois réels tous non nuls et M la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
M = EMBED Equation.3
1°) a) Montrer : M2 = 3M.
b) En déduire que l'ensemble des valeurs propres de M est inclus dans{0, 3}.
2°) a) Déterminer les valeurs propres de M, et, pour chaque valeur propre, une base du sous-espace propre associé.
b) La matrice M est-elle diagonalisable ?
On note :
P = EMBED Equation.3 ; D = EMBED Equation.3 ; Q = EMBED Equation.3 .
3°) a) Calculer PQ. Montrer que P est inversible. Quelle est son inverse ?
b) Vérifier : M = PDP-ð1.
4°) Déterminer l'ensemble des matrices Y de M3(R) telles que DY YD = 3Y.
5°) Montrer que l'ensemble des matrices X de M3(R) telles que MX XM =3X est un espace vectoriel de dimension 2 sur R.
escl 98 Dans l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 3, on note : I = EMBED Equation.3 et A = EMBED Equation.3 .
1°) a) Calculer A2 et A3.
b) En déduire que A n'est pas inversible et que A admet pour unique valeur propre 0.
c) Déterminer une base du sous espace propre de A associé à la valeur propre 0.
d) La matrice A est-elle diagonalisable ?
2°) On note, pour tout réel a, M(a) = I + 2 a A + 2 a2 A2, et E l'ensemble des matrices M(a) lorsque A décrit R. Calculer, pour tout couple (a, b) de réels, le produit M(a)M(b) et montrer que ce produit appartient à E.
En déduire que, pour tout réel a, M(a) est inversible et préciser son inverse.
3°) Soit a un réel non nul.
a) Montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de M(a).
b) Calculer (M(a) I )3. En déduire que M(a) admet 1 pour seule valeur propre. Préciser une base du sous espace propre associé à la valeur propre 1.
c) La matrice M(a) est-elle diagonalisable ?
escl 98 bis (sujet de secours) M3(R) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
On considère les matrices carrées d'ordre 3 :
A = EMBED Equation.3 , B = EMBED Equation.3 .
1. Déterminer les valeurs propres de A, et, préciser, pour chaque valeur propre, une base du sous-espace propre associé.
La matrice A est-elle diagonalisable ?
On note P = EMBED Equation.3 , D = EMBED Equation.3 , E = EMBED Equation.3 .
2. Montrer que P est inversible et que : P-ð1 = EMBED Equation.3 .
3. Vérifier : A = P D P-ð1 et B = P E P-ð1 .
On se propose de déterminer l'ensemble S des matrices X de M3(R) vérifiant :
(1) EMBED Equation.3 .
4. Montrer que S est un sous espace vectoriel de M3(R).
5. a. Soit X ( M3(R) ; on note Y = P-ð1 X P . Montrer que X vérifie (1) si et seulement si Y vérifie :
(2) EMBED Equation.3
b. Déterminer l'ensemble des matrices Y de M3(R) vérifiant (2).
c. En déduire une base de S et la dimension de S.
escl 99 On considère les éléments suivants de M3(R) :
I = EMBED Equation.3 , J = EMBED Equation.3 , K = EMBED Equation.3 , P = EMBED Equation.3 .
1.a. Justifier (sans calcul) que J est diagonalisable, que J n'est pas inversible, et que 0 est valeur propre de J.
b. Calculer J 2 et exprimer J 2 en fonction de I et K.
2.a. Calculer les valeurs propres de J et déterminer une base de M3,1(R) formée de vecteurs propres pour J. En déduire que P-ð1 J P est une matrice diagonale que l'on explicitera.
b. Montrer, en utilisant 1.b et 2.a, que P-ð1 K P est une matrice diagonale que l'on explicitera.
3. Soit (a,b,c) ( R3. On considère l'élément suivant de M3(R) : M = EMBED Equation.3
a. Montrer que M s'exprime simplement en fonction de I, J, K et a, b, c.
b. En déduire que P-ð1 M P est une matrice diagonale que l'on explicitera.
Trouver une matrice X de M3(R) telle que : X2 = EMBED Equation.3 .
( escl 2000 On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois : EMBED Equation.3 et l'endomorphisme f de R3 de matrice J dans la base canonique de R3 .
On considère, pour tout nombre réel a , la matrice carrée réelle d'ordre trois : EMBED Equation.3 .
1. a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
b. Montrer que J est diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale D d'ordre trois et une matrice réelle inversible P d'ordre trois telles que EMBED Equation.3 .
c. En déduire que, pour tout nombre réel a, il existe une matrice réelle diagonale EMBED Equation.3 d'ordre trois, que l'on calculera, telle que EMBED Equation.3 .
d. Quel est l'ensemble des nombres réels a tels que EMBED Equation.3 soit inversible ?
2. On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice X carrée réelle d'ordre trois vérifiant EMBED Equation.3 .
a. Soient un nombre réel et X une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que EMBED Equation.3 .
() Montrer que X commute avec EMBED Equation.3 , puis que X commute avec J .
() On note h l'endomorphisme de R3 de matrice X dans la base canonique de R3 .
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de f est vecteur propre de h .
() Etablir qu'il existe une matrice réelle diagonale ( d'ordre trois telle que EMBED Equation.3 et
montrer : EMBED Equation.3 .
() En déduire : EMBED Equation.3 .
b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, il existe une matrice carrée réelle X d'ordre trois telle que EMBED Equation.3 .
c. Conclure .
( escl 2001. On considère la matrice carrée réelle d'ordre 4 : A = EMBED Equation.3 , et f l'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3, e4) de R4 est A.
1°) Montrer que A n'est pas inversible. En déduire que 0 est valeur propre de A.
2°) a) Calculer A2, A3, A4.
b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de f.
c) Déterminer la dimension du noyau de f.
d) Est-ce que f est diagonalisable ?
3°) On note (1 = e1, (2 = f((1), (3 = f((2), (4 = f((3), et C = ((1, (2, (3, (4).
a) Montrer que C est une base de R4.
b) Déterminer la matrice N de f relativement à la base C de R4.
4°) Existe-t-il un automorphisme g de R4 tel que g ( f ( g(1 = f 2 ?
( escl 2002 On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes :
EMBED Equation.3
Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.
1°) a) Calculer K2.
b) En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K(1.
c) Montrer que la matrice K n'admet aucune valeur propre réelle.
2°) Soient a et b deux nombres réels. On note M la matrice définie par M = aI + bK.
Montrer : M2 = ((a2 + b2)I + 2aM.
b) En déduire que, si (a, b) ( (0, 0), alors la matrice M est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de I et M.
c) Application : donner l'inverse de la matrice
EMBED Equation.3
3°) On note B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4, et f l'endomorphisme de R4 associé à la matrice E relativement à la base B. On considère les quatre éléments suivants de R4 :
v1 = e1, v2 = f(e1), v3 = e3, v4 = f(e3).
a) Montrer que la famille C = (v1, v2, v3, v4) est une base de R4.
b) Exprimer f(v1), f(v2), f(v3), f(v4) en fonction de v1, v2, v3, v4 et en déduire la matrice K' associée à f relativement à la base C.
c) Déterminer la matrice de passage P de la base B à la base C.
d) Rappeler l'expression de K' en fonction de K, P et P(1.
( escl 2003 On note M3(R) lensemble des matrices réelles dordre 3 et on considère les matrices suivantes de M3(R) :
EMBED Equation.3
Première partie
Calculer A² et A3, puis vérifier : A3 = A² + 2A.
Montrer que la famille (A, A²) est libre dans M3(R) .
Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique (an,bn) de nombres réels tel que : An= anA+bnA², et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.
Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche an et bn pour un entier n donné supérieur ou égal à 1.
a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
an+2 = an+1 + 2an.
b. En déduire an et bn en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
c. Donner lexpression de An en fonction de A, A², n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
Seconde partie
On note f lendomorphisme de R3, dont la matrice, relativement à la base canonique (e1, e2, e3) de R3, est A.
Déterminer une base de Im(f) et donner la dimension de Im(f).
a. Est-ce que f est diagonalisable ?
b. Est-ce que f est bijectif ?
3. Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base de ce sous-espace propre.
Déterminer une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans lordre réel croissant, et une matrice inversible P dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à 1, telle que A=PDP(1, et calculer P(1.
Déterminer lensemble des matrices M de M3(R) telles que : AM + MA = 0 .
Annales E.S.C.
esc 97 On note B = ( e1, e2, e3) la base canonique de R3 . Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base B est :
A = EMBED Equation.3
1. a) Soit u1 = e1 + e2. Calculer les coordonnées de f(u1) dans la base B. Que peut- on en déduire pour u1 ?
b) En utilisant la méthode de Gauss, montrer que 1 est l'unique valeur propre de f
2. On considère les éléments de R3 : u2 = p e2 + q e3 et u3 = r e1 + s e3, où p, q, r, s sont des réels.
a) Déterminer u2 et u3 pour que : f(u2) = u1 + u2, et f(u3) = 2u2 + u3 .
Vérifier alors que B' = (u1, u2, u3) est une base de R3 .
b) Ecrire la matrice A' de f dans la base B' .
c) Calculer A' -ð1 (les calculs devront figurer sur la copie) ; en déduire A-ð1.
esc 98 On considère les matrices de M3(R) :
I = EMBED Equation.3 ; A = EMBED Equation.3 ; B = EMBED Equation.3 et O = EMBED Equation.3
Soit E l'ensemble des matrices M de M3(R) telles que AM = MA.
Partie A 1°) a) Vérifier que B appartient à E.
b) Soit n un entier naturel, montrer que An appartient à E.
2°) Déterminer les réels x, y, z tels que xI + yA + zB = O.
3°) a) Montrer que E est l'ensemble des matrices de la forme
EMBED Equation.3 avec a, b, c réels.
b) En déduire que toute matrice de E est combinaison linéaire de I, A et B, et que E est un sous-espace vectoriel de M3(R)
c) A l'aide des résultats précédents, montrer que B = (I, A, B) est une base de E.
Partie B 1°) Calculer les valeurs propres de A, en déduire que A est diagonalisable.
2°) Soient P = EMBED Equation.3 et Q = EMBED Equation.3
a) Calculer le produit PQ. En déduire que P est inversible et exprimer son inverse en fonction de Q.
b) Calculer la matrice D = P-ð1AP et montrer : (n ( N* An = PDnP-ð1.
3°) En déduire les coordonnées de la matrice An, n ( N*, dans la base B de E.
esc 99 partie A
On considère les matrices de M2(R) : A = EMBED Equation.3 , D = EMBED Equation.3 et I = EMBED Equation.3 .
(a) Calculer A2.
(b) Déterminer les réels a et b tels que A2 = aA + bI.
(c) En déduire que A est inversible et exprimer A-ð1 en fonction de A et de I.
(a) Calculer les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
(b) Déterminer les sous-espaces propres de A.
(c) En déduire une matrice inversible P de M2(R) telle que : A = P D P-ð1. Calculer P-ð1.
(a) Montrer que pour tout entier naturel n : An = P Dn P-ð1.
(b) En déduire l'expression de la matrice Mn , où M = EMBED Equation.3 A.
( esc 2000 Partie A Soit la matrice A = EMBED Equation.3
On considère l'ensemble E des matrices M de M3(R) telles que :
M = xA+yA2 + zA3 avec (x, y, z) ( R3.
1. (a) Calculer A2 et A3.
(b) Etablir que A, A2 et A3 sont linéairement indépendantes.
(c) Justifier que E est un sous-espace vectoriel de M3(R). En donner une base et la dimension.
2. (a) Calculer les valeurs propres de A . (b) La matrice A est-elle diagonalisable ?
Partie B
Soient B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et u = (a, b, c) un élément de R3. On considère l'endomorphisme g de R3 défini par : g(e1) = e2, g(e2) = e3 et g(e3) = u.
1. (a) Ecrire la matrice de g dans la base B.
(b) En déduire que : g(u) = e1 ( EMBED Equation.3
2. Déterminer par leur matrice dans la base B, quand ils existent, les endomorphismes g de R3 tels que : g(e1) = e2, g(e2) = e3, g(e3) = u et g(u) = e1.
( esc 2001 On donne les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
EMBED Equation.3
Ainsi que les matrices colonne :
EMBED Equation.3
1°) Vérifier que V1, V2, V3 sont des vecteurs propres de A. A quelles valeurs propres sont-ils associés ?
2°) a) Montrer que P est inversible et calculer P(1.
b) Justifier la relation P(1AP = EMBED Equation.3 . On note D cette matrice diagonale ;
c) Calculer la matrice ( = P(1BP et vérifier qu'elle est diagonale.
3°) On se propose de calculer les matrices colonne Xn définies par les relations :
EMBED Equation.3 et (n ( N, Xn+2 = AXn+1 + BXn.
A cet effet, on définit pour tout n de N : Yn = P(1Xn et on pose également Yn = EMBED Equation.3 .
a) Montrer que Y0 = EMBED Equation.3 et que Y1 = EMBED Equation.3 .
b) Montrer que pour tout entier naturel n, Yn+2 = DYn+1 + (Yn.
c) Montrer alors que pour tout entier naturel n :
EMBED Equation.3
En déduire les expressions explicites de un, vn, wn en fonction de n.
d) Donner finalement la matrice Xn en fonction de n.
( esc 2002 On considère un paramètre réel m, et les matrices suivantes : Am = EMBED Equation.3 et I3 = EMBED Equation.3 .
1°) a) Montrer que Am2 et Am3 ne dépendent plus de m, et vérifier que : Am3 = 2. Am2. b) On suppose que ( est une valeur propre de Am et que X est un vecteur propre associé à cette valeur propre (. Montrer que : ((3 2(2)X = EMBED Equation.3 et en déduire que Sp(Am) ( {0, 2}.
2°) Dans cette série de questions on étudie le cas m = 0 et on cherche à diagonaliser A0 . a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de A0 . b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de A0 . c) Montrer que A0 est diagonalisable, et donner une matrice carrée inversible Q et une matrice diagonale D = EMBED Equation.3 telles que A0 = QDQ 1 . d) Montrer lexistence de deux réels a et b tels que A02 = aA0 + bI3 .
3°) Dans cette série de questions, on suppose que le paramètre m est non nul. On note B = [ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ] la base canonique de IR 3 et fm lendomorphisme de IR 3 dont la matrice relativement à B est Am . a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de fm . b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de fm . La matrice Am est-elle diagonalisable ? c) On pose les vecteurs de IR 3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = (1, 1, 0) ; EMBED Equation.3 = fm( EMBED Equation.3 ) ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = (1, 1, 1). Calculer EMBED Equation.3 , fm( EMBED Equation.3 ) et fm( EMBED Equation.3 ). d) Montrer que la famille [ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ] est une base de IR 3 et former la matrice de lendomorphisme fm relativement à cette base. e) En déduire une matrice carrée inversible Pm telle que Pm 1Am Pm = EMBED Equation.3 . f) Existe-t-il des réels c et d tels que Am2 = cAm + dI3 ?
( esc 2003 On considère pour n entier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
EMBED Equation.3 et on note EMBED Equation.3
On note EMBED Equation.3 l'endomorphisme de R3 représenté par EMBED Equation.3 relativement à la base canonique de R3.
On considère également les vecteurs de R3 : EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .
1. Déterminer pour tout triplet EMBED Equation.3 de R3 l'expression de EMBED Equation.3 en fonction de EMBED Equation.3 .
2. (a) Montrer que EMBED Equation.3 sont vecteurs propres de EMBED Equation.3 .
(b) Montrer que la famille EMBED Equation.3 est une base de R3.
(c) En déduire une matrice P telle que :
( P inversible et EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
3. On pose pour tout entier naturel n non nul EMBED Equation.3 ( avec EMBED Equation.3 ).
(a) Montrer que EMBED Equation.3 .
(b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul :
EMBED Equation.3 où H est la matrice définie au 2(c).
(c) En déduire les neuf coefficients de la matrice EMBED Equation.3 .
4. (a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul EMBED Equation.3 est inversible
et que EMBED Equation.3 où H est la matrice définie au 2(c).
(b) En déduire que EMBED Equation.3 est inversible et donner les neuf coefficents de EMBED Equation.3 .
Annales EDHEC
( edhec 93 ( problème, partie A) Résolution dans l'ensemble M2(R) de l'équation : Z2 = A (1)
où A est une matrice donnée de M2(R) de la forme : A = EMBED Equation.3 avec 0 < a < 1
1°) Dans cette question, on suppose que a = EMBED Equation.3 , c'est-à-dire que A = EMBED Equation.3 .
a) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A, et en déduire que cette matrice est diagonalisable.
b) Montrer que la matrice P = EMBED Equation.3 est inversible et trouve sa matrice inverse P-ð1.
c) Montrer que la matrice D = P-ð1AP est diagonale et donner sa valeur.
2°) On se place désormais dans le cas général, c'est-à-dire que A = EMBED Equation.3 avec 0
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