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Corrigé - Le Site des Cours de T°S

Exercice 2. Soit f la fonction numérique définie sur ]0, + [ par : f(x) = x2 ? 8lnx ? 1. Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; (unité graphique : 1 cm).




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tion.3 < 0 ( x ( ]0, 2 [
 EMBED Equation.3 = 0 ( x = 2.
On en déduit que f est strictement croissante sur l’intervalle [2, + ( [ et strictement décroissante sur
l’intervalle ]0, 2 ].

 EMBED Equation.3 
c) Tableau de variation de f












où 3 – 8ln2 ( - 2,5.
La courbe C représentative de f admet pour asymptote la droite d’équation x = 0 c’est-à-dire l’axe des ordonnées.

























2. La fonction f étant définie, dérivable et strictement monotone sur chacun des intervalles ]0, 2] et [2, + ( [, elle réalise une bijection de ]0,2 ] sur l’intervalle – image  EMBED Equation.3  d’une part, et une bijection de [2, + ( [ sur l’intervalle – image  EMBED Equation.3 .
L’intervalle – image contenant la valeur 0 dans chacun des deux cas car 3 – 8ln2 < 0, on en déduit que 0 admet un unique antécédent par f dans l’intervalle ]0, 2 ], et un unique antécédent par f dans l’intervalle
[2, + ( [

Autrement dit, l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions.

On peut tout de suite remarquer que f(1) = 0 car ln1 = 0. Donc l’une de ces deux solutions est entière.

D’autre part, f(3,2) ( - 0,065 et f(3,3) ( 0,339 donc f(3,2)(f(3,3) < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que, x0 désignant la seconde solution de l’équation f(x) = 0,
x0 est élément de l’intervalle [3,2 ; 3,3 ].

Exercice 3
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction numérique f définie sur ( par :

 EMBED Equation.3 .

En quels points de cet ensemble est-elle dérivable ? Calculer f ’(x).

Corrigé
La fonction f définie par f(x) =  EMBED Equation.3  existe pour tout x réel tel que : x > 0 et 1 – lnx ( 0.
Or, 1 – lnx ( 0 ( lnx ( 1 ( lnx ( lne ( x ( e car la fonction ln est strictement croissante sur (*+.

Donc l’ensemble de définition de f est :



La fonction f est composée de
(la fonction : x  EMBED Equation.3 1 – lnx définie et dérivable sur (*+ et donc sur l’intervalle ]0 ; e] ; elle est alors à
valeurs dans (+, et s’annule en e,
et de ( la fonction racine carrée définie et continue sur (+ et dérivable sur (*+.

On peut donc conclure que :

la fonction f est définie et continue sur son intervalle de définition ]0 ; e]
et dérivable sur l’intervalle ]0 ; e[.

Pour tout x de ]0 ; e[, f ’(x) =  EMBED Equation.3  soit f ’(x) =  EMBED Equation.3 
Exercice 4

Résoudre dans ( l’équation :

2(logx)3 – 3(logx)2 – log(x5) + 6 = 0.


Corrigé
Pour tout x de (*+,
2(logx)3 – 3(logx)2 – log(x5) + 6 = 0 ( 2(logx)3 – 3(logx)2 – 5logx + 6 = 0
(  EMBED Equation.3 
Le polynôme (2X3 – 3X2 – 5X + 6) admet 1 pour racine évidente. Il est donc factorisable par (X – 1).
La division euclidienne de (2X3 – 3X2 – 5X + 6) par (X – 1), pour tout X différent de 1, s’écrit :

2X3 – 3X2 – 5X + 6 X – 1

- 2X3 + 2X2 2X2 – X - 6

0 – X2 - 5X

X2 - X

0 - 6X + 6

6X – 6

0

Donc, pour tout X de (-{1}, 2X3 – 3X2 – 5X + 6 = (X – 1)(2X2 – X – 6).
Cette factoriasation est encore vérifiée pour X = 1.
Par conséquent, pour tout X de (,
2X3 – 3X2 – 5X + 6 = (X – 1)(2X2 – X – 6).
Alors,
2X3 – 3X2 – 5X + 6 = 0 ( X = 1 ou 2X2 – X – 6 = 0
( X = 1 ou X = 2 ou X = -  EMBED Equation.3  .
Alors, pour tout x de (*+,
2(logx)3 – 3(logx)2 – log(x5) + 6 = 0 ( logx = 1 ou logx = 2 ou logx = -  EMBED Equation.3 
( logx = log10 ou logx = log(102) ou logx = log EMBED Equation.3 
( x = 10 ou x = 102 ou x =  EMBED Equation.3  .

Donc l’ensemble S des solutions de l’équation initiale s’écrit :



Exercice 5
1. Soit f la fonction numérique définie sur ] 0, + ( [ par :


f(x) = x2 + 1 – lnx.


Etudier les limites de f(x) quand x tend vers + ( et quand x tend vers zéro.

Calculer f ’(x) où f ’ désigne la fonction dérivée de f..

Etudier les variations de f ; en déduire le signe de f sur ] 0, + ( [.



2. Soit g la fonction numérique définie sur ] 0, + ( [ par :


g(x) = x – 1 +  EMBED Equation.3 


Et soit P le plan rapporté à un repère orthonormé (O, EMBED Equation.3 ) où l’unité graphique est 4 cm. On note C la courbe représentative de g dans P.


a. Calculer g’(x). Montrer que g’ et f ont le même signe sur ] 0, + ( [.

Etudier les variations de g. Etudier la limite de g(x) quand x tend vers + ( et quand x tend vers zéro.

Montrer que la droite ( d’équation y = x – 1 est asymptote à C. Etudier la position de C par rapport à (.


b. Montrer qu’il existe une tangente T à C parallèle à la droite (. Donner les coordonnées du point de contact de T et de C.

Construire C, (, T et la tangente à C au point d’abscisse 1.



(D’après Amérique du nord – 1993)

Corrigé

1. On étudie les limites de f aux bornes de son ensemble de définition ]0,+( [ :
 EMBED Equation.3 

La fonction f étant la somme de la fonction polynôme x  EMBED Equation.3 définie et dérivable sur ( et de l’opposée de la fonction logarithme népérien définie et dérivable sur (*+, f est définie et dérivable sur (*+ et,

f ’(x) = 2x -  EMBED Equation.3 f ’(x) =  EMBED Equation.3 .

On en déduit que f ’(x) est du signe de  EMBED Equation.3  sur (*+ c’est-à-dire que :
f ’(x) < 0 ( x <  EMBED Equation.3 
f ’(x) = 0 ( x =  EMBED Equation.3 
f ’(x) > 0 ( x >  EMBED Equation.3 .

En conséquence, f est strictement décroissante sur l’intervalle  EMBED Equation.3  et strictement croissante sur l’intervalle  EMBED Equation.3 
On en déduit que la fonction f admet un minimum absolu en x =  EMBED Equation.3 de valeur
f EMBED Equation.3 
donc strictement positive car 2 > 1 donc ln2 > ln1 soit ln2 > 0.
On peut alors conclure que :



2. a. La fonction logarithme népérien étant définie et dérivable sur (*+ il en est de même de la fonction g et,
g’(x) = 1 +  EMBED Equation.3  ( g’(x) = 1 +  EMBED Equation.3  ( g’(x) =  EMBED Equation.3 
On déduit de ce dernier calcul que g’ et f sont de même signe sur (*+.
De la question précédente on déduit encore que g est strictement croissante sur (*+.
On étudie ensuite les limites de g aux bornes de son ensemble de définition :
 EMBED Equation.3 
Cette étude permet de conclure que la courbe C représentative de g admet pour asymptote la droite d’équation x = 0.

D’autre part la droite ( d’équation y = x – 1 est également asymptote à la courbe C car :
 EMBED Equation.3 
Pour connaître la position de la courbe C par rapport à ( on étudie le signe de EMBED Equation.3  (qui se lit « mesure algébrique de MP », notion hors programme à l’heure actuelle, et  EMBED Equation.3  = yP – yM) où P et M désignent deux points de même abscisse strictement positive x et situés respectivement sur la courbe C et la droite (. Donc  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
Alors  EMBED Equation.3  > 0 ( x > 1
 EMBED Equation.3  = 0 ( x = 1
 EMBED Equation.3  < 0 ( 0 < x < 1.
On en déduit donc que la courbe C est au-dessous de ( sur l’intervalle ]0,1] et au-dessus de ( sur l’intervalle [1, +( [.

b. Il existe une tangente T à la courbe C parallèle à ( si, et seulement si, il existe une valeur strictement positive x telle que :
g ’(x) = 1 (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
La tangente T cherchée est donc la tangente à la courbe C au point d’abscisse x = e et d’ordonnée :
y = g(e) = e – 1 +  EMBED Equation.3 

Donc les coordonnées du point de contact de T avec C sont :


D’autre part, la tangente T’ à C au point d’abscisse 1 (point d’intersection de C et de () a pour équation :
y = g ’(1)(x – 1) + g(1) .

Sachant que g(1) = 0 et g ’(1) = 2, on en déduit que T’ a pour équation :

Tableau de variation de la fonction g























Représentation graphique

































































Exercice 6
On désigne par a un nombre réel de l’intervalle [0 ; (] et l’on considère la fonction numérique fa définie de la manière suivante :

fa(x) = ln(x2 – 2xcosa + 1).

On appelle C a la représentation graphique de fa dans un plan muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.3 .

1. Déterminer l’ensemble de définition de fa suivant les valeurs de a.
2. Trouver la limite lorsque x tend vers + (, de fa(x).
3. a. Montrer que C a admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = cosa.
b. Montrer que les courbes C a et C (-a sont symétriques par rapport à l’axe  EMBED Equation.3 .
c. a et a’ étant deux réels distincts de l’intervalle [0 ; (], déterminer l’intersection des deux courbes C a et C a’ .


Corrigé
1. a désigne un nombre réel de l’intervalle [0 ; (]. Dans ces conditions, la fonction fa est définie pour tout x réel tel que : x2 – 2xcosa + 1 > 0, la fonction ln n’étant définie que sur (*+.
Le discriminant du trinôme x2 – 2xcosa + 1 est égal à : ( = (- 2cosa)2 – 4 ( ( = - 4sin2a.
( 1er cas : a = 0
Dans ce cas ( = 0 et x2 – 2xcosa + 1 = (x – 1)2, donc x2 – 2xcosa + 1 > 0 ( x ( 1.
 On en déduit que :


( 2nd cas : a = (
Dans ce cas ( = 0 et x2 – 2xcosa + 1 = (x + 1)2, donc x2 – 2xcosa + 1 > 0 ( x ( -1.
 On en déduit que :


( 3ème cas : a ( ]0 ; ([
Dans ce cas ( ( (*- et x2 – 2xcosa + 1 > 0 pour tout x réel.
 On en déduit que :



2. On étudie la limite de la fonction fa à + (.
 EMBED Equation.3 

3. a. On considère un point M quelconque de la courbe C a représentative de la fonction fa et le point M’ symétrique de M par rapport à la droite d’équation x = cosa.
M ayant pour coordonnées (x ; y = fa(x)), M’ aura pour coordonnées (x’ = 2cosa – x ; y’ = y), le milieu du
segment [MM’] ayant pour abscisse cosa et même ordonnée que M et M’.
Pour prouver que la droite d’équation x = cosa est un axe de symétrie de la courbe C a il suffit de montrer que, lorsque M décrit la courbe C a, c’est-à-dire, lorsque x décrit l’ensemble de définition de fa le point M’
appartient encore à la courbe C a, autrement dit, que y’ = fa(x’).
Notons que l’écriture de x’ en fonction de x permet de vérifier que :
( a = 0 ( x’ = 2 – x, donc lorsque x décrit l’ensemble de définition de f0, soit ( - {1}, x’ décrit le même ensemble ;
( a = ( ( x’ = - 2 – x, donc lorsque x décrit l’ensemble de définition de f(, soit ( - {-1}, x’ décrit le même ensemble ;
( a ( ]0 ; ([, dans ce cas lorsque x décrit ( il en est de même de x’.
En conséquence, quelle que soit la valeur de a, lorsque x décrit l’ensemble de définition de la fonction fa
x’ décrit le même ensemble de définition.
Pour tout x’ et pour tout x de l’ensemble de définition de fa,
fa(x’) = ln(x’2 – 2x’cosa + 1)
= ln[(2cosa – x)2 – 2cosa(2cosa – x) + 1]
= ln(4cos2a – 4xcosa + x2 - 4cos2a + 2xcosa + 1)
= ln(x2 – 2xcosa + 1)
= fa(x)
En conclusion,




b. Soit M un point quelconque de la courbe C a représentative de la fonction fa , donc de coordonnées (x ; y = fa(x)), et le point M’ symétrique de M par rapport à l’axe  EMBED Equation.3 . Donc M’ a pour coordonnées
(x’ = - x ; y’ = y).
Pour prouver que les courbes C a et C ( - a sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe  EMBED Equation.3  il suffit de montrer que, lorsque M décrit la courbe C a, c’est-à-dire, lorsque x décrit l’ensemble de
définition de fa le point M’ appartient à la courbe C ( - a, autrement dit, que y’ = f( - a(x’).
Comme précédemment, on peut remarquer que :
( lorsque x décrit l’ensemble de définition de f0, soit ( - {1}, x’ décrit  ( - {-1} c’est-à-dire l’ensemble
de définition de f( ;
( lorsque x décrit l’ensemble de définition de f(, soit ( - {-1}, x’ décrit ( - {1} c’est-à-dire l’ensemble
de définition de f0 ;
( lorsque x décrit ( il en est de même de x’.
En conséquence, lorsque x décrit l’ensemble de définition de la fonction fa, M’ décrit celui de la fonction
f( - a.
Pour tout x’ de l’ensemble de définition de la fonction f( - a, et pour tout x de l’ensemble de définition de la fonction fa,
f( - a(x’) = ln[x’2 – 2x’cos(( - a) + 1]
= ln[(- x)2 – 2(- x)(- cosa) + 1]
= ln(x2 – 2xcosa + 1)
= fa(x)
En conclusion,


c. a et a’ désignent deux réels distincts de l’intervalle [0 ; (]. Un point M du plan, de coordonnées
(x ; y), est un point d’intersection des courbes C a et C a’ si, et seulement si, x appartient à l’intersection des ensembles de définition des deux fonctions fa et fa’ et ses coordonnées sont solutions du système :

 EMBED Equation.3 

Des ensembles de définition déterminés dans la question 1. on déduit qu’ils contiennent tous la valeur 0 quelles que soient les valeurs de a et de a’.
En conséquence,









Exercice 7
Le symbole ln désigne la fonction logarithme népérien.
Les courbes sont à construire dans le plan rapporté au même repère orthonormé  EMBED Equation.3 . L’unité de longueur est 2 cm.



1. A tout réel x, tel que cosx ( 0, on associe : f(x) = - ln(cosx(.

a. Etudier la fonction f ainsi définie (on montrera que l’étude de f peut être restreinte à l’intervalle  EMBED Equation.3 ).

b. Construire la courbe représentative de f notée (C ).


2. On note S l ‘ensemble des solutions de l’équation :

 EMBED Equation.3 

a. Résoudre cette équation.

 b. On considère la fonction g : (/S (
 x - ln EMBED Equation.3 .

Montrer que ((), courbe représentative de g, est l’image de (C ) par une application du plan que l’on caractérisera.


3. On note  EMBED Equation.3 la restriction de f à l’intervalle  EMBED Equation.3 .

a. Montrer que  EMBED Equation.3 admet une fonction réciproque, notée  EMBED Equation.3 . Calculer  EMBED Equation.3 .

b. Dessiner la courbe représentative de  EMBED Equation.3 , notée (C).


Corrigé

1. a. Soit D l’ensemble de définition de la fonction numérique f définie par : f(x) = - ln(cosx(.
f est définie pour tout x réel tel que : cosx ( 0 c’est-à-dire tel que x (  EMBED Equation.3 où k( (. Donc :



La fonction :  EMBED Equation.3  est périodique de période (, car cos(x + () = - cosx. Donc son étude peut être restreinte à l’intervalle  EMBED Equation.3  d’amplitude (. De plus, cette fonction est paire donc on peut encore restreindre son intervalle d’étude à  EMBED Equation.3  .
L’ensemble de définition D de la fonction f étant symétrique par rapport à 0, compte tenu de ce qui précède on restreindra l’étude de f à l’intervalle  EMBED Equation.3 .
La fonction f est composée de :
( la fonction  EMBED Equation.3  définie et dérivable en particulier sur l’intervalle  EMBED Equation.3 et alors à valeurs strictement positives,
( et de la fonction logarithme népérien définie et dérivable sur (*+.

Par conséquent f est dérivable sur l’intervalle  EMBED Equation.3 et f ’(x) =  EMBED Equation.3  ( f ’(x) = tanx.
On déduit de ce résultat que : f ’(x) = 0 ( x = 0, f ’(x) > 0 ( x ( EMBED Equation.3 .
Donc f est strictement croissante sur l’intervalle  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 
On déduit de cette limite que la courbe représentative de f admet pour asymptote la droite d’équation :
x =  EMBED Equation.3 .
Tableau de variation de f sur l’intervalle  EMBED Equation.3 






b. Du tracé de la courbe (C ) sur l’intervalle  EMBED Equation.3 on déduit celui sur l’intervalle  EMBED Equation.3  par symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées, f étant paire. Le reste de la courbe s’obtient alors par translation de vecteur k( EMBED Equation.3 du tracé de la courbe sur l’intervalle  EMBED Equation.3 f étant périodique de période (.




2. a. Pour tout x réel,
 EMBED Equation.3 
Donc l’ensemble S des solutions de cette équation s’écrit :




b. Par hypothèse, g est la fonction définie sur (/S par :
g(x) = - ln EMBED Equation.3  ( g(x) = - ln EMBED Equation.3 
( g(x) = - ln2 - ln EMBED Equation.3 
( g(x) = - ln2 + f EMBED Equation.3 .
Soit M un point de la courbe (C ) représentative de f, de coordonnées (x,y), et M’ le point de (() de coordonnées (x’, y’) telles que x’ =  EMBED Equation.3 .
Lorsque x décrit ( -  EMBED Equation.3 où k ( (, x’ décrit ( -  EMBED Equation.3 où k ( (, c’est-à-dire (/S.
D’autre part, g(x’) = - ln2 + f(x). Ainsi, pour tout x de ( -  EMBED Equation.3 où k ( (,
 EMBED Equation.3 
Autrement dit,  EMBED Equation.3 . Par conséquent







3. a. Soit  EMBED Equation.3 la restriction de f à l’intervalle  EMBED Equation.3 . De l’étude des variations de f (question 1. a.), on déduit que  EMBED Equation.3  est définie, dérivable et strictement croissante sur cet intervalle. Donc  EMBED Equation.3  réalise une bijection de  EMBED Equation.3  sur l’intervalle-image  EMBED Equation.3 .
En conclusion,






De plus,  EMBED Equation.3 . Donc calculer  EMBED Equation.3  revient à rechercher l’antécédent x de  EMBED Equation.3 dans l’intervalle  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 
En conclusion,



b. La courbe (C), représentative de  EMBED Equation.3  se déduit de celle de  EMBED Equation.3  par symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y = x, première bissectrice du repère.
Exercice 8
1. Soit u la suite définie par  EMBED Equation.3 
a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur ( par  EMBED Equation.3 .
c. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n,
un = wn .
2. Soit v la suite de terme général vn défini par vn =  EMBED Equation.3 où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a. Montrer que v1 + v2 + v3 = - ln4.
b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :
Sn = v1 + v2 + … vn .
Exprimer Sn en fonction de n.
Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +(.
(Exercice – Inde – avril 2004)

Corrigé
1. a. Par définition de la suite u :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
b. Par définition de la suite w,  EMBED Equation.3 .
Donc les quatre premiers termes de la suite u sont respectivement égaux aux quatre premiers termes de la suite w.

c. Soit Pn la propriété « un = wn », où n ( (.

( On a vérifié dans la question précédente que Pn était vraie pour les quatre premières valeurs de n dans (.

( On suppose maintenant que Pn est vraie pour un entier n de (, et on démontre que Pn+1 est encore vraie, c’est-à-dire que : un+1 = wn+1 .

Or,
 EMBED Equation.3 
Donc Pn+1 est encore vraie.

On en déduit, par récurrence, que Pn est vraie pour tout n de (, c’est-à-dire que :
un = wn, pour tout n de (.

2. a. Par définition de la suite v,

 EMBED Equation.3 

b. Soit la somme Sn = v1 + v2 + … vn où n ( (*.

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 
Exercice 9
L’exercice comporte une annexe (en fin de corrigé), à rendre avec la copie.


Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; + ([, les couples solutions de l’équation xy = yx (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.

1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à  EMBED Equation.3 .
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ([ par h(x) =  EMBED Equation.3 .
La courbe C représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x0 est l’abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle ]0 ; + ([.

a. Rappeler la limite de la fonction h en + ( et déterminer la limite de la fonction h en 0.

b. Calculer h’(x), où h’ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h.
Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0).

c. Déterminer l’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

3. Soit ( un élément de l’intervalle  EMBED Equation.3 .
Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; + ([ tels que h(a) = h(b) = (.
Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).

4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; + ([ tel que h(a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).

Par lecture graphique et sans justification, répondre aux questions suivantes :

a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?
c. Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variation de s.

5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).

Corrigé
1. Quels que soient les réels x et y de l’intervalle ]0 ; + ([, la fonction exp étant strictement croissante sur (,
(E) xy = yx ( eyln(x) = exln(y)
( yln(x) = xln(y).
Donc, en divisant les deux membres de cette dernière égalité par le réel strictement positif xy, on obtient :


2. a. On rappelle que  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3 .

b. La fonction h est le produit de la fonction ln, définie et dérivable sur (*+, et de la fonction inverse définie et dérivable en tout point de (* donc de (*+. On en déduit que h est donc dérivable sur (*+, et :
 h’(x) =  EMBED Equation.3  soit

x étant strictement positif, le signe de h’(x) est celui de (1 – lnx) :
1 – lnx > 0 ( lnx < 1
( lnx < lne
( x < e car la fonction ln est strictement croissante
sur (*+.

En conséquence,
h’(x) > 0 ( x < e
h’(x) = 0 ( x = e
h’(x) < 0 ( x > e
Donc la fonction h est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; e] et strictement décroissante sur l’intervalle [e ; + ([.
De cette étude on déduit encore que la fonction h admet un maximum en x0 = e de valeur h(e) =  EMBED Equation.3 .
Donc



c. Les coordonnées x et y = 0 du point d’intersection de la courbe C représentative de h avec l’axe des abscisses, vérifient l’équation de C soit :
0 =  EMBED Equation.3 ( lnx = 0
( lnx = ln1
( x = 1 car la fonction ln est strictement croissante
sur (*+.
Ainsi




On peut résumer tous ces résultats dans un tableau de variation :









3. La fonction h est définie, continue et strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; e[. Elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur l’intervalle-image h(]1 ; e[) =  EMBED Equation.3 . Donc tout réel ( de cet intervalle-image admet un antécédent unique a par h dans l’intervalle ]1 ; e[.
De même, h est définie, continue et strictement croissante sur l’intervalle ]e ; + ([ donc h réalise une bijection de cet intervalle sur l’intervalle-image h(]e ; + ([) =  EMBED Equation.3 . Comme précédemment, on en déduit que tout réel ( de cet intervalle-image admet un antécédent unique b par h dans l’intervalle
]e ; + ([.
En résumé,






4. La fonction s se décompose de la manière suivante :
 s : ]1 ; e[  EMBED Equation.3  ]e ; + ([
a  EMBED Equation.3  h(a)  EMBED Equation.3  b tel que h(b) = h(a).
a. Donc, lorsque a tend vers 1 par valeurs supérieures, h(a) rend vers 0 par valeurs supérieures également comme on peut l’observer sur la représentation graphique de h.
On observe encore graphiquement que s(a) = b tend vers + (.




b. Lorsque a tend vers e par valeurs inférieures, h(a) tend vers  EMBED Equation.3  par valeurs inférieures, toujours par observation graphique et on observe de la même manière que s(a) = b tend vers e, et par valeurs supérieures. Donc :




c. Sur l’intervalle ]1 ; e[ la fonction h est strictement croissante et la fonction qui, à tout réel ( de l’intervalle  EMBED Equation.3 associe son antécédent dans l’intervalle ]e ; + ([ par h, est strictement décroissante.

Donc, s, composée de deux fonctions respectivement strictement croissante et strictement décroissante, est donc strictement décroissante sur l’intervalle ]1 ; e[.

D’où le tableau de variation de s :










5. On cherche donc les couples (a, b) d’entiers distincts tels que h(a) = h(b). L’étude des variations de la fonction h montre que a et b sont éléments, respectivement, des intervalles ]1 ; e[ et  EMBED Equation.3 (ou l’inverse). Or, entre 0 et e, il n’y a que deux entiers : 1 et 2.
De l’étude de la fonction s on déduit qu’il n’existe aucun réel b de ]e ; + ([ tel que h(b) = 0. Donc il n’existe aucun entier b de ]e ; + ([ tel que h(b) = h(1).
D’autre part, h(2) =  EMBED Equation.3  et la lecture graphique nous permet d’observer que le réel 4 a même image que 2 par h. En effet : h(4) =  EMBED Equation.3  = h(2) après simplification.
Donc il existe deux couples (a, b) d’entiers solutions de (E) :




Document donné en annexe du sujet

Courbe C , obtenue à l’aide d’un traceur de courbe :


Exercice 10
Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.3  : on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l’axe des abscisses au milieu de la feuille et l’axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.

Etude d’une fonction f et de sa courbe représentative C

On considère la fonction f, définie sur ]0 ; +([ par :  EMBED Equation.3  et on désigne par C
sa courbe représentative relativement au repère  EMBED Equation.3 .

1. Déterminer les limites de f en +( et 0.

2. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +([ et calculer f ’(x).

3. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +([ par u(x) = lnx + x – 3.

a. Etudier les variations de u.

b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique ( dans l’intervalle [2 ; 3].
Montrer que 2,20 < ( < 2,21.

c. Etudier le signe de u(x) sur ]0 ; +([.

4. a. Etudier les variations de f.
b. Exprimer ln( comme polynôme en (. Montrer que  EMBED Equation.3 .
En déduire un encadrement de f(() d’amplitude 2(10- 2.

5. a. Etudier le signe de f(x).

b. Tracer C .

(Partie de problème – Sujet national – Juin 1999)
Corrigé
1.



car  EMBED Equation.3 d’une part, et  EMBED Equation.3 .

2. La fonction f est le produit de la fonction : x  EMBED Equation.3 définie et dérivable en tout point de (* donc sur l’intervalle ]0, +([, et de la fonction : x  EMBED Equation.3 lnx – 2 définie et dérivable sur l’intervalle ]0, +([.

Par conséquent la fonction f est définie et dérivable sur l’intervalle ]0, +([ et,

 EMBED Equation.3 

soit



3. a. La fonction u, somme de la fonction logarithme et de la fonction affine : x  EMBED Equation.3 x – 3, est définie et dérivable sur l’intervalle ]0, +([ et,
 EMBED Equation.3  donc u’(x) > 0
et donc la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0, +([.

 EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 .

D’où le tableau de variation de u :







b. La fonction u étant définie, dérivable et strictement croissante en particulier sur l’intervalle [2, 3] et sachant que u(2)(u(3) < 0, car u(2) ( -0,3 et u(3) ( 1,1, il existe une solution unique ( à l’équation u(x) = 0 dans cet intervalle.

Montrer que 2,20 < ( < 2,21 revient à montrer que u(2,20)(u(2,21) < 0. Or
u(2,20) ( - 0,012 et u(2,21) ( 0,003
donc la solution ( est bien strictement comprise entre 2,20 et 2,21.

c. La fonction u étant strictement croissante sur l’intervalle ]0, +([,
0 < x < ( ( u(x) < u(() donc u(x) < 0
x = ( ( u(x) = 0
x > ( ( u(x) > u(() donc u(x) > 0.
4. a. On constate que, pour tout x de l’intervalle ]0, +([, f ’(x) =  EMBED Equation.3 . Par conséquent f ’(x) est du signe de u(x). L’étude précédente permet de conclure que :

f est strictement décroissante sur l’intervalle ]0, (] et strictement croissante sur l’intervalle [(, +([.

b. Par définition de (, u(() = 0 c’est-à-dire que :



Alors f(() =  EMBED Equation.3 . Donc

De l’encadrement de ( déterminé dans la question 3. b. on déduit que :
1, 20 < ( - 1 < 1,21 donc 1,44 < (( - 1)2 < 1,4641
d’autre part
 EMBED Equation.3 
par conséquent
 EMBED Equation.3 .
D’où


5. a. On peut résumer l’étude précédente dans le tableau de variation de f :








où f(x) = 0  EMBED Equation.3 , donc f(x) = 0 ( x = 1 ou x = e2.
La fonction f est définie, dérivable et strictement décroissante sur l’intervalle ]0, (]. De plus elle s’annule en 1 sur cet intervalle. On en déduit que :
0 < x < 1 ( f(x) > f(1) soit f(x) > 0
x = 1 ( f(x) = 0
1 < x ( ( ( f(x) < f(1) soit f(x) < 0
D’autre part, la fonction f est définie, dérivable et strictement croissante sur l’intervalle [(, +([ et s’annule en e2 sur cet intervalle. Donc
( ( x < e2 ( f(x) < f(e2) soit f(x) < 0
x = e2 ( f(x) = 0
x > e2 ( f(x) > f(x) > f(e2) soit f(x) > 0.
En conclusion,










































FONCTIONS LOGARITHMES
ET AUTRES FONCTIONS EXPONENTIELLES

 EMBED Equation.3  = + (.

quel que soit le réel ( de l’intervalle  EMBED Equation.3 ,
il existe un unique réel a dans ]1 ; e[ et un unique réel b dans ]e ; + ([, tels que h(a) = h(b) = (.

 EMBED Equation.3 

0

1

0

0

- (

e

x0+ (h’(x)+-h

la courbe C coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (1 ; 0).

x0 = e et h(x0) =  EMBED Equation.3 .

h’(x) =  EMBED Equation.3 

(E) (  EMBED Equation.3 .

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

la courbe (() se déduit de la partie de la courbe (C ) correspondant à l’intervalle  EMBED Equation.3 
par translation de vecteur  EMBED Equation.3 .

S =  EMBED Equation.3 où k ( (

(

0

+(

x0 +(u’(x)+u+(

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

(a, b) = (2, 4) ou (a, b) = (4, 2).

e

x0  EMBED Equation.3 f ’(x)0 +f

D = ( -  EMBED Equation.3 (

(

( : y = x – 1
C : y = g(x)
T : y = x – e + g(e)
T’ : y = 2x - 2

quels que soient les réels distincts a et a’ de l’intervalle [0 ; (],
les courbes C a et C a’ se coupent au point de coordonnées (x = 0, y = fa(0)) c’est-à-dire au point O.

les courbes C a et C ( - a sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe  EMBED Equation.3 .

la courbe C a admet la droite d’équation x = cosa pour axe de symétrie, pour tout a de [0 ; (].

y = 2x – 2.

x = e ; y =  EMBED Equation.3 

f(x) > 0 pour tout x de (*+.

S =  EMBED Equation.3 

D = ]0 ; e].

 EMBED Word.Picture.8 

3 – 8ln2

0

+ (

 EMBED Equation.3 

x1 es

x0+ (f ’(x)-+f + (+ (

2

b)

si a ( ]0 ; ([, fa est définie sur (.

f( est définie sur ( - {-1}.

f0 est définie sur ( - {1}.



- (

0

g(e)

+ (

x0 1 e + ( g ’(x)+g

-(

ln( = 3 - (

 EMBED Equation.3 

- 0,67 < f(() < - 0,65

e2

1

(

x0+(f ’(x)-+f

0

+(

+(

0

0

f(()

f(x) > 0 ( x ( ]0, 1[(]e2 , +([
f(x) = 0 ( x = 1 ou x = e2
f(x) < 0 ( x ( ]1, e2 [




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