PS12 - Moodle UTBM
Comment peut être espérer « corriger » une erreur aléatoire ? ... le temps, l'
intensité électrique, la température thermodynamique, la quantité de matière et
.... Exercice n°3 : Lorsqu'on alimente sous une tension U alternative sinusoïdale
... de capacité C en série avec une résistance R, la théorie prévoit qu'il doit être
traversé ...
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PS12 AUTOMNE 2010
MEDIAN ( Première partie: 30 mn maxi, calculettes non autorisées)
Les questions de cours devront être rédigées dans un français correct de façon concise et précise. La présentation et les fautes dorthographe seront prises en compte.
Questions de cours:
Citer les sept dimensions de base de la physique et leurs symboles.
Quappelle-t-on erreur de mesure (on demande une phrase descriptive et une formule !) ?
Rappeler la définition dune incertitude de mesure à partir de la notion derreur de mesure.
Donner la différence entre une erreur aléatoire et une erreur systématique et donner des exemples précis dans les deux cas.
Comment peut-on espérer « corriger » une erreur systématique. Donner un exemple.
Comment peut être espérer « corriger » une erreur aléatoire ?
Expliquer clairement pourquoi lintroduction dun ampèremètre dans un circuit électrique peut entrainer une erreur systématique.
Illustrer par un exemple simple le principe dune linéarisation par anamorphose.
Quelle est le principe mathématique dune régression linéaire ?
Correction :
Questions de cours
Les sept dimensions de base de la physique sont la masse, la longueur, le temps, lintensité électrique, la température thermodynamique, la quantité de matière et lintensité lumineuse dont les symboles respectifs sont : EMBED Equation.DSMT4
On appelle erreur absolue de mesure la différence entre la valeur mesurée réellement Xm et la valeur exacte Xe soit : eða = Xm-Xe.
On définit aussi l erreur relative de mesure (souvent exprimée en %) par : EMBED Equation.DSMT4 .
La valeur exacte d une grandeur mesurable étant inconnue à priori, l erreur ne pourra en général pas être calculée. On appellera donc incertitude lestimation de la valeur maximale de lerreur que lon peut commettre compte tenu des conditions expérimentales. Cette incertitude est forcément plus ou moins subjective.
Une erreur aléatoire est due au hasard pur. On ne sait ni si elle va se produire, ni dans quel sens (par excès ou par défaut) ni avec quelle valeur. Lexemple typique est le parasite en électricité. Lerreur systématique interviendra à chaque mesure, elle en est générale due à un paramètre indésirable qui influence en permanence la mesure. Elle survient donc à chaque mesure, toujours dans le même sens et sa valeur est en générale calculable ou estimable. Lexemple typique est un appareil dont le zéro est mal réglé.
Une erreur systématique peut être corrigée en analysant cette erreur et en la calculant. Par exemple un thermomètre numérique qui indique -2°C dans leau glacée décalera systématiquement les mesures de 2°C.
Une erreur aléatoire peut être corrigée par un traitement statistique, si on peut reproduire un grand nombre de fois la même mesure en espérant un effet de compensation en moyenne des erreurs aléatoires.
Lintroduction dun ampèremètre dans un circuit en modifie la résistance donc éventuellement la valeur du courant. Si la résistance de lampèremètre est connue, on peut faire un calcul correctif.
La linéarisation par anamorphose consiste à changer la forme dune courbe en la transformant en droite par un changement de variable. Par exemple la courbe y = ax² qui est une parabole si on trace y = f(x), devient une droite de pente a et dordonnée à lorigine 0, si on trace y = f(X) avec X = x².
Le principe dune régression linéaire est de trouver la « meilleure droite » y = ax + b qui modélise un ensemble de points expérimentaux (yi, xi). La méthode de régression linéaire par la méthode des moindres carrés vue en cours consiste à chercher la droite qui pour lensemble des xi minimise la quantité EMBED Equation.DSMT4 où yi représente la valeur expérimentale associée à xi et y la valeur de y calculée à partir de léquation de la droite. Dun point du vue mathématique, cela revient à minimiser la fonction EMBED Equation.DSMT4 . En toute rigueur, cette méthode est valable si tous les points expérimentaux présentent la même fiabilité et si lincertitude sur x est meilleure que celle sur y.
PS12 AUTOMNE 2010
MEDIAN (deuxième partie, calculettes autorisées)
Il est précisé quun examen se rédige: le correcteur ne se contentera pas de résultats « balancés ». Une partie non négligeable de la note sera attribuée à la présentation et aux explications données.
Exercice n°1 : En mécanique, lorsqu un système subit une force F(t) pendant un intervalle de temps très court compris entre l instant O et l instant tð, on appelle impulsion la quantité: EMBED Equation.DSMT4 .
Retrouver la dimension dune force en fonction des dimensions de base de la mécanique en justifiant clairement votre raisonnement.
En déduire la dimension dune impulsion en fonction des dimensions de base de la mécanique.
Quelle est lunité SI de limpulsion ? Quelle est lunité cgs dune impulsion (cgs : système centimètre, gramme, seconde).
Dans le système SI une impulsion a une valeur numérique de 10 SI. Quelle est la valeur numérique de cette impulsion dans le système cgs ?
Exercice n°2: Analyse dimensionnelle.
Un récipient contient un liquide de masse volumique mð. Un trou est percé dans le fond de ce récipient et de l eau s en échappe. On se propose de trouver par analyse dimensionnelle la formule donnant la vitesse de sortie du liquide par le trou.
Quelle est la dimension dune masse volumique ?
Proposer par analyse dimensionnelle une formule permettant de trouver la vitesse déjection du liquide par le trou en supposant quelle ne dépend que de la masse volumique mð du liquide, de la hauteur h séparant la surface libre du liquide et le fond du récipient ainsi que de l accélération de pesanteur g. Suivant la méthode vue en cours, on fera apparaître une constante adimensionnée dans la formule.
D après la formule précédente un liquide lourd (mð important) est-il éjecté plus ou moins rapidement qu un liquide léger (mð faible)?
Une expérience montre que la vitesse d éjection de l eau sortant d un récipient de hauteur h = 1.20 m vaut v = 4.85 m.s-1. Calculer la valeur de la constante adimensionnée introduite dans la question précédente.
Exercice n°3 : Lorsquon alimente sous une tension U alternative sinusoïdale de fréquence f un circuit formé par un condensateur de capacité C en série avec une résistance R, la théorie prévoit quil doit être traversé par un courant I tel que : EMBED Equation.DSMT4 , Z étant une grandeur appelée impédance du circuit telle que EMBED Equation.DSMT4 , w étant la pulsation qui est reliée à la fréquence f par la relation w =2pðf (2pð étant ici un angle). On rappelle que la fréquence est l inverse d une période.
Montrer qu un angle n a pas de dimension.
Quelle est la dimension de w ? Quelle est son unité SI ?
On rappelle que la puissance P consommée dans une résistance R traversée par un courant I vaut P = RI². En déduire la dimension dune résistance en fonction des dimensions de base de la physique. On se souviendra quen mécanique une puissance est le produit dune force par une vitesse.
En déduire la dimension de limpédance Z.
En déduire la dimension de C, capacité du condensateur.
Quelle est lunité SI de C en fonction des unités de base de ce système. Quelle est lunité usuelle et son symbole ?
Pour diverses valeurs de w, létudiant mesure Z (R et C étant fixées). Il veut vérifier la validité de la loi donnant Z en fonction de w. Quelle droite peut-il tracer par anamorphose à partir de ses résultats pour vérifier cette loi ? Quelles seront la pente et lordonnée à lorigine de cette droite ?
Exercice n°4 : On mesure un angle en radians (compris entre 0 et EMBED Equation.DSMT4 ). On trouve qð à Dð ðqð près. A partir de cette valeur de qð, on calcule cos qð. L incertitude sur qð amène une incertitude absolue sur cos qð. Cette incertitude absolue est notée Dðcos ðqð.
Exprimer l incertitude absolue sur cos qð en fonction de qð et Dð ðqð.
Exprimer l incertitude relative sur cos qð en fonction des mêmes variables.
Application numérique: qð ð= 0.78 radians, Dð ðqð = 0.01 radians. Calculer les incertitudes absolue et relative sur cos ðqð.
Encadrer la valeur numérique de cos qð en utilisant les règles d arrondis vues en cours.
Quelle devrait être l incertitude absolue Dð ðqð pour que l incertitude sur tan qð soit de 1% ?
Exercice n°5 : Afin de tester des voltmètres, on en place 6 en parallèle aux bornes d un composant d un circuit alimenté. Tous les voltmètres sont sur le calibre 100 mV et devraient donc indiquer la même chose. Les valeurs obtenues par les divers voltmètres valent (en mV):
* 67.5 * 65.6 * 66.1 * 68.2 * 65.9 * 66.3
Déterminer:
La valeur moyenne des mesures (on expliquera le calcul fait par la calculette).
L'écart type des mesures (on expliquera le calcul fait par la calculette).
La valeur probable de la tension mesurée sous forme d'un intervalle avec un taux de fiabilité de 80%.
Données : tableau des coefficients de Student.
Nombre de mesureslimites de confiance à 80%limites de confiance à 90%limites de confiance à 99%limites de confiance à 99.9%23.086.3163.763731.892.929.9231.641.642.355.8412.951.532.134.68.661.482.024.036.86101.381.833.254.78151.341.762.984.14infini1.291.642.583.29
Exercice n°6 : On considère le montage ci- dessous dans lequel les cinq résistances sont les mêmes et valent R.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Avertissement : pour cet exercice seules les lois dOhm, des nuds et des mailles vues en lycée sont utiles. Il sagit surtout de raisonner !
On alimente le circuit par un courant I > 0 donc allant de E vers S.
On suppose que le courant se découpe en deux parties égales en entrant dans le système donc i1 = i2 = EMBED Equation.DSMT4 .
Justifier cette hypothèse.
Montrer que les potentiels de A et B sont alors les mêmes.
En déduire le courant passant dans la résistance verticale entre A et B.
En déduire alors i3 et i4 en fonction de I.
Quelle est alors la différence de potentiel entre E et S en fonction de R et I ?
En déduire la résistance totale entre E et S
On suppose maintenant que le courant ne se découpe pas en deux parties égales donc i1 différent de i2, par exemple i1 supérieur à i2.
Comparer alors VA et VB.
Quel est alors le signe de i5 ?
Comparer alors i2 et i4 dune part et i3 et i1 dautre part.
Montrer quon tombe alors sur une absurdité.
Conclure sur lhypothèse initiale i1 supérieur à i2.
Faire un raisonnement similaire en supposant i2 supérieur à i1.
Conclure sur lhypothèse faite en 1.
Peut-on remplacer la résistance verticale entre A et B par un fil sans rien changer ? Faire le schéma équivalent et calculer la résistance équivalente. Conclure.
Peut-on enlever la résistance verticale entre A et B sans rien changer ? Faire le schéma équivalent et calculer la résistance équivalente. Conclure.
Correction :
Exercices
Exercice n°1 :
Daprès la loi de Newton, une force peut être vue comme le produit dune masse par une accélération donc sera en MLT-2, laccélération étant en LT-2 car cest la dérivée seconde de la position par rapport au temps.
Limpulsion apparait comme le produit dune force par un temps puisque la sommation ne modifie pas la dimension. Donc I sera en MLT-1.
Lunité SI de limpulsion sera donc le kg.m.s-1. Lunité cgs sera donc le g.cm.s-1.
Si I = 10 SI, on pourra écrire I = 10 kg.m.s-1 = 10 (1000 g ). (100 cm).s-1 = 106 g.cm.s-1.
Exercice n°2 :
Une masse volumique étant le rapport d une masse par un volume mð sera en M.L-3.
On suppose une formule de la forme v = A mðað ðhbð ggð où A est une constante adimensionnée. Une vitesse étant en LT-1, le terme de droite de l équation doit être lui aussi en LT-1 d où :
EMBED Equation.DSMT4
L identité des exposants de part et d autre du signe égal conduit à að = 0 , bð = ½ et gð = ½ . On peut donc proposer une formule du type : EMBED Equation.DSMT4 .
mð n intervenant pas dans la formule, un liquide lourd sera éjecté à la même vitesse quun liquide léger.
Il suffit de faire lapplication numérique : EMBED Equation.DSMT4 . Rm : La théorie prévoit EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice n°3 :
La longueur s dun arc de cercle de rayon R sous tendu par un angle qð est donnée par la formule s = Rqð. Un angle apparait donc comme le rapport de deux longueurs donc sans dimension.
En terme dimensionnel, w a la même dimension que f donc T-1. En raison du 2pð, l unité SI de w sera donc le rad.s-1.
Une puissance étant le produit dune force par une vitesse, une puissance sera en ML2T-3. Une résistance qui est le rapport dune puissance par un courant au carré sera donc en ML2T-3I-2.
Z apparait comme le rapport dune tension sur un courant, comme une résistance daprès la loi dOhm. Z a donc la même dimension quune résistance soit ML2T-3I-2.
Dans lexpression de Z, le terme EMBED Equation.DSMT4 doit avoir la même dimension que R sinon lexpression nest pas dimensionnellement cohérente donc C doit avoir la même dim+,-.6FHIR`dprt 2 3 4 5 6 { ³ ¿ Ò Ó 1
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& Fgd2~ension que linverse de Rw soit :
M-1L-2T4I2.
Lunité SI de la capacité sera donc le kg-1.m-2.s4.A2. Lunité usuelle est le Farad de symbole F.
Comme Z ² = R² + EMBED Equation.DSMT4 , on peut tracer Z² = f ( EMBED Equation.DSMT4 ). On devra obtenir une droite dordonnée à lorigine R² et de pente EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice n°4 :
Dð cosqð = EMBED Equation.DSMT4 .
Par définition l incertitude relative est EMBED Equation.DSMT4 .
Application numérique : Dð cosqð = 0.007 et EMBED Equation.DSMT4 .
cos qð = 0.710 donc 0.703 i1. De même on aura i4 = i2+ i5 < i2.
Si on calcule VE VS = Ri1 + Ri3 dune part et VE VS = Ri2 + Ri4 , on tombe sur une absurdité puisquon a i3 > i1 > i2 > i4 . Le premier calcul donne donc plus que le deuxième calcul !
Daprès le raisonnement par labsurde lhypothèse initiale i1 > i2 est donc fausse.
Même principe en changeant les indices et lhypothèse initiale i2 > i1 est donc fausse.!!!
On vérifie donc que lhypothèse faite en 1. est correcte même sans tenir de largument de symétrie, puisque i1 ne peut être ni supérieur ni inférieur à i2 : il y a donc égalité.
Oui, puisque comme i5 = 0*+,-./Y[]_abdef¤¥¼½¾¿ÃØÙðñòóø89PöîâÚÒîÆîÆîÆîÆîÚî¾²¾¡²¾²¾wf²¾²¾!j7h)Íh)ÍEHêÿOJQJU jJjP
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