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I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits

Dynamique des fluides : C'est l'étude des fluides en mouvement ... la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d'un fluide réel s'accompagne ...




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Dynamique des Fluides Parfaits

 TOC \o "2-2" \h \z \t "Titre 1;1"  HYPERLINK \l "_Toc61334418" I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits :  PAGEREF _Toc61334418 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc61334419" I.1 Equations d’Euler  PAGEREF _Toc61334419 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc61334420" I.2 Autre forme des équations d’Euler  PAGEREF _Toc61334420 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc61334421" I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits  PAGEREF _Toc61334421 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc61334422" I.4 Conditions aux limites  PAGEREF _Toc61334422 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc61334423" II Relation de Bernoulli :  PAGEREF _Toc61334423 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc61334424" II.2 Etablissement de l’équation de Bernoulli.  PAGEREF _Toc61334424 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc61334425" II.3 Interprétation énergétique :  PAGEREF _Toc61334425 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc61334426" III Application du théorème de Bernoulli  PAGEREF _Toc61334426 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc61334427" III.1 Vase de Manotte:  PAGEREF _Toc61334427 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc61334428" III.2 Torpille :  PAGEREF _Toc61334428 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc61334429" III.3 Ventilation d’un tunnel :  PAGEREF _Toc61334429 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc61334430" III.4 Formule de Torricelli :  PAGEREF _Toc61334430 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc61334431" III.5 Pression dans une conduite :  PAGEREF _Toc61334431 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc61334432" III.6 Pression en un point d'arrêt, tube de Pilot :  PAGEREF _Toc61334432 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc61334433" III.7 Tube de Ventury :  PAGEREF _Toc61334433 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc61334434" III.8 Etude simplifiée du réservoir :  PAGEREF _Toc61334434 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc61334435" III.9 Oscillations dans un tube an U  PAGEREF _Toc61334435 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc61334436" IV Théorème d'Euler  PAGEREF _Toc61334436 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc61334437" IV.1 Théorème de la quantité de mouvement  PAGEREF _Toc61334437 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc61334438" IV.2 Cas particulier du régime permanent:  PAGEREF _Toc61334438 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc61334439" IV.3 Exemple d’applications  PAGEREF _Toc61334439 \h 17

Ecrit par :
Chaplier Baptiste
De Larocque Antoine
Dedieu guillaume
Macé Amélie
Séguy Frédéric
Travers Nicolas
Equations générales de la dynamique des fluides parfaits :
Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux mouvements parfaits, c'est-à-dire sans frottement (fluides non visqueux). Nous étudierons tout particulièrement le cas des fluides incompressibles.
Equations d’Euler
Lorsque l’on étudie les forces qui agissent sur un élément de volume, on distingue :
les forces de volume
les forces de pression
les forces d’inertie proportionnelles à l’accélération  EMBED Equation.3 
Ces forces satisfont l’équation :
 EMBED Equation.3 
d’où
 EMBED Equation.3 (1)
Autre forme des équations d’Euler
Les équations de la dynamique des fluides sont souvent utilisées sous une autre forme. On considère la trajectoire d’une particule se déplaçant à une vitesse V, de composantes u, v, w à l’instant t, ces composantes sont fonction de x, y, z et t.
 EMBED Equation.3 
A l’instant t+dt, on a :

 EMBED Equation.3 
d’où

 EMBED Equation.3  (2)

Les expressions de (2) sont les projections de l’expression vectorielle :

 EMBED Equation.3 

En reliant les égalités (1) et (2), on obtient :

 EMBED Equation.3 

On suppose que les forces de volume dérivent d’un potentiel :

 EMBED Equation.3 


En général, on se trouve dans le champ de pesanteur, on a : U=gh

 EMBED Equation.3 
Equations de la dynamique des fluides parfaits
Condition de continuité
Conservation de la masse :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Equation caractéristique du fluide
A chaque fluide peut-être associé une équation de la forme  EMBED Equation.3 .
L’équation se traduit en général aux trois formes suivantes :
 EMBED Equation.3  pour un fluide incompressible
 EMBED Equation.3  pour un fluide légèrement incompressible
 EMBED Equation.3  pour un gaz parfait
Equation complémentaire
Pour une transformation isotherme :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :  EMBED Equation.3 
Si on a un gaz parfait, on a :  EMBED Equation.3 
Pour une transformation adiabatique :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :  EMBED Equation.3 
Si on a un gaz parfait, on a :  EMBED Equation.3 
Conditions aux limites
L’équation d’Euler associée à l’équation de continuité forme un système de quatre équations à quatre inconnues. Nous nous intéressons dans ce paragraphe aux conditions aux limites qui peuvent être associées à ces équations.
Paroi
Considérons une paroi fixe d’équation P(x,y,z)=0. La vitesse  EMBED Equation.3  doit être parallèle à la paroi et donc perpendiculaire à la normale à la paroi. Cette normale étant définie par les composantes  EMBED Equation.3  D’où la condition aux limites s’écrit :
 EMBED Equation.3 
Considérons une paroi mobile d’équation P(x,y,z,t)=0 à l’instant t. La condition aux limites se traduit alors par l’équation.
ou  EMBED Equation.3 
Surface libre
On appelle surface libre l’interface entre deux fluides. Le long de cette surface la pression est constante et la composante normale de la vitesse doit être continue.
 EMBED Equation.3 
Relation de Bernoulli :
Les hypothèses de calculs sont les suivantes :
fluide parfait en écoulement permanent : rotationnel ou non
forces de volume dérivant d’un potentiel U :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  n’est fonction que de p, ou bien  EMBED Equation.3  est constant
Etablissement de l’équation de Bernoulli.
Si nous restons le long d’une ligne de courant, confondue avec la trajectoire, la première des équations, nous donne :
 EMBED Equation.3 
Qu’on peut intégrer sous la forme :
 EMBED Equation.3  (1)
Le long d’une ligne de courant, l’expression précédent est donc constante, l’intégrale pouvant se calculer si on connaît la relation liant  EMBED Equation.3  et p.
Entre deux points 1 et 2 de la ligne de courant on peut écrire :
 EMBED Equation.3 
Si les forces de volume se réduisent aux seules forces de gravité, on remplacera U par gh. Si, en outre,  EMBED Equation.3 est constant (fluide incompressible), le calcul de l’intégrale est immédiat et on trouve soit :
 EMBED Equation.3  (2)
soit :
 EMBED Equation.3 
Telles sont les diverses expressions de l’équation dite de Daniel Bernoulli (1738) et dont l’importance est fondamentale en mécanique des fluides.
Interprétation énergétique :
Pour un écoulement incompressible, écrivons l’équation (2) sous la forme :
 EMBED Equation.3 
ou :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  est l’énergie cinétique de l’unité de volume du fluide. Alors que  EMBED Equation.3  représente l’énergie potentielle de l’unité de volume de fluide dans le champ de pesanteur et sous la pression p.
La somme  EMBED Equation.3 correspond donc à l’énergie mécanique totale de l’unité de volume de fluide et l’équation de Bernoulli traduit la conservation de cette énergie mécanique totale au cours du mouvement (permanent). Pour un tel écoulement, le principe de la conservation de l’énergie se confond avec l’intégrale des équations dynamiques. On doit donc pouvoir retrouver le même résultat en étudiant directement les échanges énergétiques d’une particule avec l’extérieur.
Considérons en effet, en régime permanent, un filet de courant infiniment étroit ABCD (voir figure). Les quantités p,  EMBED Equation.3 et V sont constantes dans une même section d’aire S situé à la hauteur h. pendant le temps dt la masse de fluide contenue dans ABCD passe en A’B’C’D’, mais l’énergie mécanique contenue dans la partie commune A’B’CD n’a pas changé. Du point de vue énergétique tout se passe comme si, pendant le temps dt, la masse contenue dans ABB’A’ passait directement en DCC’D’.
Nous avons donc à exprimer :
La conservation de la masse :
 EMBED Equation.3 
La conservation de l’énergie :
L’augmentation d’énergie cinétique de la masse dm est égale au travail des forces extérieures.
Ces dernières sont constituées par :
le travail des forces de pression
 EMBED Equation.3  en AB
 EMBED Equation.3  en CD
le travail de la pesanteur :
 EMBED Equation.3 
Nous avons donc :
 EMBED Equation.3 
Compte tenu de la conservation de la masse, il en résulte :
 EMBED Equation.3 
donc :
 EMBED Equation.3 
Remarque :
L’expression  EMBED Equation.3  représente l’énergie mécanique totale contenue dans l’unité de volume de fluide, c’est donc le travail mécanique total que la particule est susceptible de fournir. D’une manière générale l’énergie peut se présenter sous différents aspects : mécanique, calorifique, électrique, chimique, etc…, mais en ce qui concerne l’énergie mécanique, elle se présente ici sous trois formes : énergie de position, énergie de pression et énergie cinétique. Les deux premières formes constituant l’énergie potentielle.
Dans le cas d’un fluide pesant incompressible nous avons pour la masse m de volume  EMBED Equation.3  :
Comme énergie de position (énergie d’altitude) :
 EMBED Equation.3 
Comme énergie de pression :

 EMBED Equation.3 
Elle est égale au produit du poids du fluide par la hauteur  EMBED Equation.3  représentative de la pression, comme énergie cinétique :
 EMBED Equation.3 
On doit tenir compte des énergies cinétiques de rotation et de translation. Si cette dernière existe seule, on peut l’écrire sous la forme :
 EMBED Equation.3 
où V représente la vitesse du centre de gravité de la particule.
Dans le cas d’un fluide compressible, l’énergie de pression serait égale à :
 EMBED Equation.3 
Application du théorème de Bernoulli
Afin d'appliquer le théorème de Bernoulli (à un écoulement permanant incompressible), il est nécessaire d'avoir des informations sur la forme de l’écoulement.
 Vase de Manotte:
Présentation :

Calcul de V(t) :
Bernoulli :
Po + Ágho + (1/2).Á.Vo2 = Pa + Ágha + (1/2).Á.Va2
V = Va = (2.g.(L+0,5))1/2
On note que la vitesse du fluide est constante et ne dépens que de la distance L et de la distance T. Ce-ci est vrais tan que M est supérieur à 0.
Torpille :
Présentation :

Problématique et résolution :
Recherche de la pression au nez de la torpille.
PA + ÁghA + (1/2).Á.VA2 = PP + ÁghP + (1/2).Á.VP2
Pour résoudre le problème, on considère la torpille à l arrêt et l eau défilant à la vitesse V.
On note que le point P est un point d arrêt, ce qui signifie que la vitesse y est nulle.
On a donc :
PP = ÁgH + (1/2).Á.VA2 + Pat
Ventilation d un tunnel :
Présentation :

Problématique et résolution :
Calculer la différence de pression entre les sections 1 et 2 en fonction de Á et de V1.
Bernoulli :
VB.£ = V2.£ et PB + ÁghB + (1/2).Á.VB2 = P2 + Ágh2 + (1/2).Á.V22
On a donc : VB = V2 et P2 = PB = Pat
P1 + Ágh1 + (1/2).Á.V12 = P2 + Ágh2 + (1/2).Á.V22
P1 - P2 = (1/2).Á.V12
Formule de Torricelli :
Ecoulement au travers d'un orifice non noyé
Un orifice non noyé est un orifice par lequel un fluide sort d'un récipient à l'air libre. Ainsi, la pression est à la sortie de l'orifice est la pression atmosphérique.
Considérons un réservoir contenant un liquide incompressible; celui-ci sort du réservoir par un petit orifice, non noyé. On observe, à la sortie de l’orifice, que le jet présente une section contractée S'=±S plus faible que la section S de l orifice, où les lignes de courants sont parallèles et pratiquement rectilignes. Pendant un instant ”t court, on peut négliger la variation de niveau de la surface libre. On peut donc affirmer que l'écoulement pendant cet intervalle est permanent.
On applique Bernoulli entre un point A de la surface libre et un point B dans la partie rectiligne du jet à la sortie de l orifice, afin de connaître la vitesse dans ce jet :
PA + w.ZA + Á.VA2/2 = PB + w.ZB + Á.VB2/2
Or PA = PB = Pa et VA = 0
On en déduit donc :
VB = (2gh) 1/2 (Formule de Torricelli)
où h= ZA - ZB
Où h est la hauteur d'eau entre la surface libre et l’orifice. Dans la réalité, la vitesse dans ce jet V' est inférieure à celle calculée ci-dessus à cause des frottements inévitables.
V' = ²VB avec P d" 1
’ : coefficient de ralentissement de vitesse
Calcul du débit:
Si on appelle S la section de l orifice, le théorème de Torricelli nous donne directement
qV.= VB.S
En fait, le débit réel est plus faible et est égal à
qV.= ±.VB.S
Ecoulement au travers d'un orifice noyé :
Un orifice noyé est un orifice «sous l’eau » par lequel un fluide s'écoule d'un réservoir 1 dans un réservoir 2. La pression dans le jet à la sortie de l’orifice est alors la pression hydrostatique dans le second réservoir Considérons un point A à la surface du réservoir 1, un point C à la surface du réservoir 2 et un point B dans le jet fluide passant du réservoir 1 au réservoir 2 On peut tout d’abord écrire.

PA = Pa
PB = Pa – Á.g(ZB  ZC)
Ainsi, VB = (2gh)1/2
Où h est la hauteur d'eau entre les surfaces des réservoirs 1 et 2.
Cas particulier :
Gaz dans une enceinte close à la pression Pa s'écoulant vers l'extérieur (patm) par un orifice On néglige les forces de pesanteur et on suppose le gaz incompressible. L équation de Bernoulli amène à une vitesse V dans l'orifice :
V= ( 2.(PA - Pa)/Á ) 1/2
Pression dans une conduite :
Considérons un fluide parfait se déplaçant le long d'une paroi munie d'une petite cavité ne modifiant pas l'écoulement. Dans cette cavité, le fluide est par hypothèse au repos.

A l’interface entre cette cavité et l’écoulement, il y a du fait de cette hypothèse, une brusque variation de vitesse mais on admet qu'il n'y a pas de discontinuité de pression. Ainsi, une prise de pression dans cette cavité permet de mesurer la pression du fluide au repos. C'est donc la pression statique du fluide.
Considérons une conduite dans laquelle circule un fluide parfait Supposons que l'écoulement dans ce tube est tel que les lignes de courant sont des droites parallèles aux génératrices de la conduite. On rappelle que (3.1., cas particuliers) dans une section droite perpendiculaire aux lignes de courant, la pression suit les lois de la statique Ainsi, dans une section on a
P +P.g.Z= Cste
II est possible de mesurer cette constante à l’aide d'un tube piézométrique. C'est un tube ouvert aux deux extrémités et dont l’ouverture qui débouche dans la conduite s'appelle «prise de pression statique» Quel que soit le point P (de cote Zp) de prise de pression statique dans une même section droite, le liquide présent dans la conduite va monter dans le tube au même niveau Z=ZN. En effet, l’équation de la statique est valable dans la section droite considérée et dans le tube piézométrique.
VP, PP – PN = Á.g( ZN - ZP )
Ce qui permet, si l extrémité du tube piézométrique est à l air libre, de connaître la pression motrice en N (puisque Pp = Pa)
VP, ZN=(PP + Á.g.ZP + Pa)/(Á.g) = Cste
Pression en un point d'arrêt, tube de Pilot :
Considérons l écoulement d'un fluide parfait dans une conduite et, un obstacle solide dans cet écoulement. On appelle point d'arrêt le point à l’interface solide-fluide où la vitesse du fluide est nulle.
Considérons une ligne de courant aboutissent à ce point d'arrêt noté A et, un point M sur cette ligne de courant en amont de A. Bernoulli permet d'écrire :
PA + Á.g.ZA = PM + Á.g.ZM + Á.VM2/2
VM = Á/2 ((PA + Á.g.ZA)  (PM + Á.g.ZM ))1/2
Ainsi à l aide de deux tubes piézométriques, on peut remonter à la vitesse sur la ligne de courant considérée. En conclusion, on retiendra que le tube de Pitot est un appareil qui permet, à l’aide d'une prise de pression motrice et d'une prise de pression à un point d'arrêt d'obtenir la vitesse de l’écoulement au niveau de cette prise de pression statique.
Tube de Ventury :
Considérons une conduite rectiligne de section variable dans laquelle circule un fluide parfait. Le théorème de Bernoulli permet d'écrire :
P1 + Á.g.Z1 + Á.V12/2 = P2 + Á.g.Z2 + Á.V22/2
Dans les sections où les lignes de courants sont parallèles la conservation des débits permet d'écrire :
qV = V1.S1 = V2.S2 = Cste
Les Si, sont les surfaces des sections droites perpendiculaires aux lignes de courant Vi les vitesses dans ces sections. Ainsi on a :
qV = [S2.(2/Á)1/2.( P1 + Á.g.Z1 - P2 - Á.g.Z2)1/2] / [1  (S2/S1)2]1/2
Etude simplifiée du réservoir :
Un déversoir est un moyen commode pour mesurer le débit d'une rivière En appliquant Bernoulli entre un point A en amont du déversoir (de vitesse quasi nulle) et un point B w dessus du seuil, ces dents points étant à la surface libre, on peut courant, la vitesse au niveau du seuil :

Pa + Á.g.h = Pa + Á.g.h + Á.V2/2
(L'origine de l axe des z a été choisi ici au niveau du seuil).
Si on fait, l’hypothèse que la vitesse est horizontale et uniforme au dessus du seuil le débit de volume s’écrit :
qV = b.h’.[2.g.(h - h’)]1/2
A ce niveau, h' est une inconnue. Elle peut être mesurée, mais cette mesure est moins aisée celle de h. Elle peut être calculée en remarquant que pour une hauteur h d'eau donnée, la hauteur h' inconnue doit maximiser le débit passant an dessus du seuil (le système cherche à atteindre une position d'équilibre le plus vite possible). Recherchons pour quelle valeur de h' le débit est maximum.
dqV/dh’ = 0 d’où h’ = 2.h/3
qV = 0.385 b.h.[2.g.h]1/2
Ce résultat est correctement vérifié en pratique.
Oscillations dans un tube an U

Soit un tube an U de section constante contenant un liquide incompressible, A la suite d'une perturbation extérieure (on a incliné le tube puis on l’a remis en position verticale), le liquide se met è osciller
En remarquant que
Q%VAQ% = Q%VBQ% = V
PA = PB =Pa
ZA = -ZB = -Z
Bernoulli permet d'écrire
´V/´t.L = 2.g.Z où V = dZ/dt et ´V/´t = dV/dt
et ainsi
d2Z/dt2  2.g/L = 0
C'est l'équation classique du mouvement pendulaire dont la solution est
Z = A.Sin[(2.g/L)1/2 + Æ]
Dans la réalité, le fluide est réel, c'est à\dire visqueux, et les forcements font que le mouvement oscillatoire est amorti.
Théorème d'Euler
Du théorème des quantités de mouvement au théorème d'Euler
Les équations d'Euler, découlant du mouvement d'un fluide parfait, on été utilisées dans certains cas particulier, pour par exemple, aboutir au théorème de Bernoulli.
La détermination de la résultante des forces de pression d'un fluide en écoulement sur une paroi peut être intéressante. En théorie, il est possible d'en avoir une expression par l'intégration des forces de pression. Toutefois, il est souvent beaucoup plus simple d'appliquer le théorème de la quantité de mouvement ou le théorème d'Euler. Il est important de noter que l'application de ce théorème n'implique pas la conservation de l'énergie. Il est donc applicable aux fluides réels de la même façon qu'aux fluides parfaits.
Théorème de la quantité de mouvement
On peut énoncer ce théorème de la façon suivante : la dérivée particulaire du torseur des quantités de mouvement d'un système matériel dont on étudie le mouvement, est égale au torseur des actions extérieures agissant sur ce système.
On a donc EMBED Equation.3 . Il faut noter qu'il s'agit d'une relation vectorielle.
Si il n'y a pas de déformation du domaine fluide fermé (volume de contrôle) lors du déplacement de ce dernier, le domaine de validité de l'équation de conservation de la quantité de mouvement s'étend aussi bien dans le repère absolu que dans un repère lié au domaine fluide.
On peut écrire le torseur des quantités de mouvement agissant sur un volume V comme suit:  EMBED Equation.3 où EMBED Equation.3 représente le torseur élémentaire des quantités de mouvement attaché à l'élément de volume EMBED Equation.3 et constitué par le vecteur  EMBED Equation.3  appliqué au centre M de cet élément.
De ce fait, ce théorème est très utile pour la détermination des forces agissant sur un fluide lorsqu'on ne connaît que les vitesses au niveau des surfaces frontières du volume de contrôle.
De l'expression du torseur des actions mécaniques extérieures au système découle deux équations, une pour la résultante et l'autre pour les moments.
Equation de la résultante :  EMBED Equation.3 
Equation du moment :  EMBED Equation.3 
En utilisant les formules de Reynolds pour les intégrales, et en rappelant les expressions des forces volumiques ( EMBED Equation.3 ) et surfaciques ( EMBED Equation.3 ), on obtient :
Equation de la résultante :  EMBED Equation.3 
Equation du moment :
 EMBED Equation.3 
Remarque :
 EMBED Equation.3 représente le débit élémentaire de la quantité de mouvement à travers dS.
Cas particulier du régime permanent:
Si on considère un tube de courant dans un écoulement fluide soumis à un champ de pesanteur, entrant à une section S1 et sortant à une section S2, on peut écrire, conformément aux précédentes constatations, avec P la composante issue du poids du fluide en mouvement et R la résultante des actions extérieures au tube de courant :
 EMBED Equation.3 
soit  EMBED Equation.3 
On peut établir cette équation, connue sous le nom de théorème d'Euler, bien plus simplement. Pendant un temps dt, une portion de fluide d'épaisseur  EMBED Equation.3 en entrée s'est transformée en une portion d'épaisseur  EMBED Equation.3 en sortie. De ce fait la variation de quantité de mouvement de ce tube suivit dans son mouvement s'écrit  EMBED Equation.3  d'où le théorème précédent.
En toute rigueur, ce théorème n'est valable que pour un tube de courant. On peut en pratique l'appliquer à toute conduite en considérant la vitesse moyenne des sections considérées. De ce fait, on fait l'hypothèse d'une répartition transverse des vitesses uniforme.
On énonce habituellement le théorème d'Euler comme suit : La quantité de mouvement sortant d'un volume fluide est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce volume.
Exemple d’applications
Réaction d’une lance à incendie
Une lance à incendie est constituée d’un tube de section S1 sur lequel est vissé un embout de section de sortie S2. On se place en régime permanent avec un débit volumique qv connu.
On désire calculer la composante horizontale de la force exercée par l’embout sur le tube.
On considère le système {embout + fluide dans l’embout}
On applique sur ce système le théorème d’Euler (régime permanent) que l’on projette sur l’axe x .
 EMBED Equation.3 
Or EMBED Equation.3 = 0.
De plus,  EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 
On cherche à déterminer p1 – pat :
On applique Bernoulli entre les deux sections droites de l’embout en deux points d’une même ligne de courant :
 EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 
D'où  EMBED Equation.3 
Enfin  EMBED Equation.3 
Après résolution, on peut déterminer la composante horizontale de la force exercée par l'embout sur le tube :
 EMBED Equation.3 
Jet d'eau sur une paroi plane
On s’intéresse à la force exercée par un jet d’eau sur une paroi. On étudiera l’influence de la forme de la paroi et de la vitesse de déplacement de celle-ci.
On fera dans tout ce qui suit les hypothèses suivantes sur l’écoulement :
Stationnaire (la roue tourne à vitesse constante).
Incompressible.
Effets de viscosité négligés.
Distribution de vitesse uniforme dans la section initiale du jet.
Fluide non pesant.



On adopte les notations suivantes :
(, angle entre la plaque et l'axe initial de l'écoulement.
A0, section d’entrée du jet.
A1 et A2, sections du jet normales à la plaque.
S1 et S2, sections latérales du jet.
On considère un jet plan, évoluant à pression atmosphérique. Les sections seront donc définies par unité de largeur. On prend pour domaine de contrôle la surface bleue du schéma ci-dessus.
Calcul des forces de pression exercées par le jet sur la plaque.
Distribution de pression.
On applique le théorème de quantité de mouvement sous sa forme différentielle en A0 (repère O,x,y) et sur A1 et A2 (repère O,X,Y).
Il s’écrit dans O,x,y :
Or on considère les lignes de courant parallèles donc p=pa dans A0, A1, et A2.
Vitesse dans les sections.
On utilise le théorème de Bernoulli. Le fluide étant non pesant, et les pressions dans les sections A0, A1, et A2 étant les mêmes, on a dans les sections A1 et A2 une vitesse de même module que dans A0 ( V1=V2=V0.
Conservation de la masse.
La conservation de la masse donne : V0A0=V1 A1+V2 A2.
Et puisque V1=V2=V0, A0=A1+A2.
Théorème d’Euler .
On fait le bilan des flux sur la surface " = A1 U A2 U A0 U S1 U S2 U S 

Les flux sur S1 et S2 sont nuls car le vecteur vitesse est parallèle à la surface. Le flux à travers la paroi S0 est nul
Concernant l intégrale du deuxième terme, on la décompose en deux surfaces :
- l une où la pression est connue (pression atmosphérique)
- l’autre où on cherche la force de pression exercée (S0)


où la première intégrale du terme de gauche est nulle puisque :

Les forces exercées par la plaque sur le fluide s’écrivent :
(Équation 2)
La force sera perpendiculaire à la plaque.
Après projection des vecteurs normaux du premier terme de 1/ dans le repère  lié a la plaque, et après utilisation de 2/, on obtient :
A0 cos (-A1+A2 = 0

On peut observer qu’on obtient une force maximale pour (=À/2 ce qui paraît cohérent.
On voit déjà que lors de l application au moulin va se poser le problème du nombre de pâle. En effet, la force exercée est maximale si la plaque est perpendiculaire au jet. Or ce ne peut être toujours le cas. Il va donc falloir adapter le nombre d’augets ou de pâle afin de toujours les utiliser avec un angle d’attaque pour lequel le rendement est correct.
Sections de sortie
En utilisant la relation A0=A1+A2.donnée par la conservation de la masse et la relation S0 cos (-S1+S2 = 0 donnée par le théorème d’Euler, on obtient :
A1=A0 cos²((/2)
A2=A0 sin²((/2)
On remarque qu’on obtient S1=S2 pour (=À/2.
Le problème traité en 3 dimensions nous donne les mêmes résultats en ce qui concerne la force appliquée sur la plaque.
Détermination du point d application de la force
 On utilise le théorème des moments pour déterminer le point d application de la fo !DEFGbcde¡¢£¼½¾¿ÀÁÂÃÄßàáâ÷øù         5 6 ùõíéíÜÓéÓ¿ÜÓº°º¥°º°ÜÜÓéӉÜÓº°º~°º°ÜÜÓéӁjqhÓOpU'jöhQm³hÓOp>*B*UphÿhÓOpB*phÿj{hÓOpUjhÓOpU hÓOp'jhQm³hÓOp>*B*UphÿhQm³hÓOp0JjhQm³hÓOp0JUhÓOpjhÓOpUhmö hÓOphmö)  ~ ñ L
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