Agrégation Interne 2001
Exercices d'induction II Corrigé .... La bobine étant un petit circuit plongé dans un
champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc ...
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ù :
INCORPORER Equation.3 , valeur extrêmement faible, car une seule spire.
INCORPORER PBrush
2. On appelle INCORPORER Equation.3 les champs magnétiques créés par les deux cylindres. La règle du tire - bouchon montre (cf figure) que les deux champs sont dirigés vers les x < 0. Le champ résultant vaut donc : INCORPORER Equation.3 . On en déduit le flux propre à travers le rectangle C reliant les deux conducteurs, & de hauteur h :
INCORPORER Equation.3 , doù linductance linéique : INCORPORER Equation.3 , car en pratique on a b >> a. AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 1 cm, doù : INCORPORER Equation.3 , du même ordre de grandeur. Le résultat précédent constitue linductance extérieure, due au champ à lextérieur des fils. La contribution intérieure ne peut se calculer que par la méthode énergétique, puisque la notion de flux suppose le circuit filiforme. A lintérieur dun fil infini, ou de hauteur h >> a, le théorème dAmpère donne, en supposant le courant uniformément réparti : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit la densité dénergie : INCORPORER Equation.3 . On intègre dans le volume du conducteur :
INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 , valeur indépendante du rayon du câble, & donc valable pour un circuit filiforme.
Quand INCORPORER Equation.3 , la contribution intérieure devient négligeable devant la contribution extérieure (cas des circuits filiformes, & donc quand on demande de calculer L, il sagit en fait de la contribution extérieure).
INCORPORER PBrush
3. La première ligne bifilaire parcourue par le courant I1 crée un champ magnétique INCORPORER Equation.3 somme des champs INCORPORER Equation.3 créés par les deux fils. On a, en norme : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit le flux à travers le circuit C2 :
INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 , ou enfin :
INCORPORER Equation.3 , doù linductance mutuelle linéique : INCORPORER Equation.3 car en pratique b >> a. Il reste INCORPORER Equation.3 , toujours du même ordre de grandeur.
4. A lintérieur du tore, au point M situé à la distance r de laxe Oz, le fil parcouru par le courant I1 crée le champ INCORPORER Equation.3 donné par le théorème dAmpère : INCORPORER Equation.3, dont le flux à travers une spire du tore vaut : INCORPORER Equation.3. On en déduit le flux total à travers lenroulement : INCORPORER Equation.3, puis linductance mutuelle par : INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3. AN : INCORPORER Equation.3, valeur extrêmement faible.
Exo n°2 :
1. Le cadre est en équilibre sous laction de son poids & du couple électromagnétique. Mouvement de rotation, donc on calcule les moments par rapport à laxe Ox : le poids INCORPORER Equation.3 a un moment INCORPORER Equation.3 si G est le centre dinertie du cadre. Ce moment est dirigé vers les x < 0 : INCORPORER Equation.3. A courant constant, lénergie magnétique et donnée par INCORPORER Equation.3. On en déduit le couple électromagnétique INCORPORER Equation.3. Autre calcul possible : le champ magnétique étant uniforme, le circuit se comporte comme un dipôle magnétique, donc INCORPORER Equation.3 vers les x < 0, donc INCORPORER Equation.3. Equation déquilibre : INCORPORER Equation.3, donc :
INCORPORER Equation.3.
2. Stabilité : par lénergie pour changer. INCORPORER Equation.3 comprend lénergie électromagnétique & lénergie potentielle de pesanteur, soit : INCORPORER Equation.3.
A léquilibre, lénergie est extrémale, donc Si léquilibre est stable, lénergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive & on retrouve léquation déquilibre précédente.
Si léquilibre est stable, lénergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive. Si léquilibre est instable, lénergie est maximale, donc sa dérivée seconde négative. On calcule :
INCORPORER Equation.3, normal pour une fonction sinusoïdale.
Pour INCORPORER Equation.3 donc équilibre stable ;
Pour INCORPORER Equation.3 donc équilibre instable ;
Exo n°3 :
INCORPORER PBrush
On considère le circuit élémentaire de dimensions INCORPORER Equation.3, de profondeur a (cf figure). On lassimile à un circuit filiforme C, orientée à partir de la règle du tire - bouchon & du champ magnétique. On calcule le flux du champ magnétique à travers la surface S (C) : INCORPORER Equation.3 car les vecteurs INCORPORER Equation.3 sont colinéaires & de même sens, & le champ ne dépend que du temps, donc : INCORPORER Equation.3, doù la fem induite : INCORPORER Equation.3. Conductance du circuit élémentaire (les lignes de courant pouvant raisonnablement être considérées comme parallèles) : INCORPORER Equation.3 car INCORPORER Equation.3 (tôle). Puissance Joule élémentaire perdue dans ce circuit :
INCORPORER Equation.3 doù :
INCORPORER Equation.3, doù la puissance volumique : INCORPORER Equation.3.
Cette quantité dépend de grandeurs sur lesquelles on ne peut pas intervenir : pulsation ( & amplitude Bm du champ magnétique, conductivité ( de lacier, facteur INCORPORER Equation.3 lié à la géométrie. Pour réduire ces pertes, il reste à réduire e, cest-à-dire à feuilleter le circuit massif, ce qui est réalisé dans les carcasses de transformateurs.
Exo n°4 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est dirigé suivant laxe, & vaut :
INCORPORER Equation.3, où ( est une constante ne dépendant que des paramètres géométriques du solénoïde. Le champ résultant vaut donc : INCORPORER Equation.3. On associe alors à chaque vecteur plan un nombre complexe, soit :
INCORPORER Equation.3, & on utilise les formules dEuler pour représenter les sinus, ce qui donne :
INCORPORER Equation.3
On sépare les contributions en INCORPORER Equation.3 & en INCORPORER Equation.3, ce qui donne :
INCORPORER Equation.3. Dans le premier crochet, on reconnaît la somme des racines cubiques de lunité, qui vaut zéro, doù : INCORPORER Equation.3. Il en résulte que le module du champ est constant : INCORPORER Equation.3, & que largument du nombre complexe associé est une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du point O à la vitesse angulaire constante ( (qui est celle du système de courants triphasés) dans le sens trigonométrique.
2. Comme le champ magnétique créé tourne, langle entre sa direction & celle de la normale à la bobine dépend du temps, donc son cosinus & le flux aussi, doù production dune fem induite & dun courant induit, donc de forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un mouvement de rotation.
INCORPORER PBrush
3. Daprès la figure, on déduit langle INCORPORER Equation.3 à un instant t quelconque : INCORPORER Equation.3, & donc le flux à travers la bobine vaut : INCORPORER Equation.3 car le champ magnétique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On en déduit la fem induite : INCORPORER Equation.3, où lon a posé :
INCORPORER Equation.3. On constate que la fem induite sannule si INCORPORER Equation.3 (pas de mouvement relatif, donc pas de phénomènes dinduction), doù le nom de moteur asynchrone. On a une fem alternative, donc on se trouve en régime sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes : INCORPORER Equation.3, & de même : INCORPORER Equation.3. La bobine étant un circuit R-L, on a :
INCORPORER Equation.3, car ici lon a : INCORPORER Equation.3, doù : INCORPORER Equation.3, doù lon déduit que :
INCORPORER Equation.3, & INCORPORER Equation.3 car la bobine est un circuit inductif. Il en résulte que : INCORPORER Equation.3.
4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc soumise au couple : INCORPORER Equation.3, où INCORPORER Equation.3est le moment magnétique de la bobine. En module, on a donc : INCORPORER Equation.3, soit en définitive :
INCORPORER Equation.3. Par analogie avec la définition de la puissance active : INCORPORER Equation.3, on en déduit la valeur moyenne du couple : INCORPORER Equation.3, avec INCORPORER Equation.3, doù :
INCORPORER Equation.3.
5. On fait apparaître les grandeurs INCORPORER Equation.3 & INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3, où lon a posé : INCORPORER Equation.3. On calcule la dérivée : INCORPORER Equation.3. Donc :
INCORPORER PBrush
Si INCORPORER Equation.3 (moteur à larrêt) :
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 comme il se doit pour un rotor bobiné inductif ;
Si INCORPORER Equation.3 (synchronisme, le moteur décroche) : INCORPORER Equation.3. La dérivée vaut : INCORPORER Equation.3 ;
Si INCORPORER Equation.3alors INCORPORER Equation.3, le couple est maximal & vaut : INCORPORER Equation.3, valeur indépendante de R. Doù la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la tangente à lorigine sabaisse, le maximum du couple se déplace vers la droite, en conservant la même valeur.
La puissance est donnée par : INCORPORER Equation.3. Pour un bon facteur de qualité, le couple nest important quautour de la valeur gm, alors INCORPORER Equation.3.
Calcul rigoureux : on considère la fonction INCORPORER Equation.3 qui sannule en g = 0 & g = 1, donc il existe un maximum entre les deux. On dérive :
INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3 si lon a la condition Q2 >> 1.
INCORPORER PBrush
6. En prenant g comme variable : INCORPORER Equation.3. La quantité (f représente le frottement statique (obtenu à larrêt, pour g = 1). La quantité INCORPORER Equation.3 représente le frottement dynamique (attention ! tous les ( nont pas la même dimension !). On discute sur la courbe suivante :
Le système démarre seul si, à larrêt, donc pour g = 1, on a : INCORPORER Equation.3, ce qui est réalisé pour Q2, mais pas pour Q1.
Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple moteur à larrêt, donc augmenter la quantité INCORPORER Equation.3, donc diminuer le facteur de qualité INCORPORER Equation.3. La façon la plus simple consiste à augmenter R par adjonction dun rhéostat de démarrage, ce qui déplace la courbe vers la droite sans modifier les valeurs extrémales du couple moteur .
En régime permanent : le théorème du moment cinétique donne : INCORPORER Equation.3, & donc en module :
INCORPORER Equation.3 & on a deux points de fonctionnement P1 & P2 correspondant à lintersection des courbes. Discussion de la stabilité :
Au point P1 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple résistant lemporte & on retourne en P1 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple moteur lemporte & on retourne en P1, qui est donc stable ;
Au point P2 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple moteur lemporte & on sécarte du point P2 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple résistant lemporte & on sécarte de P2, qui est donc instable ;
La vitesse limite correspond donc à la limite entre ces deux types de fonctionnement, donc au sommet de la courbe, donc INCORPORER Equation.3, & la vitesse limite est donc (.
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Agrégation Interne 2001 Corrigé des exercices dinduction II