Td corrigé TD O1 : Les bases de l'optique - PCSI-PSI AUX ULIS pdf

TD O1 : Les bases de l'optique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD Sciences Appliquées STS ..... 1) Calculer la puissance mécanique fournie par le moteur ...... la vitesse relative du mobile par rapport au fluide(en m/s) ...




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TD M4 : Oscillateur harmonique

But du chapitre
Etudier le modèle de l’oscillateur harmonique.

Plan prévisionnel du chapitre
 TOC \o "1-2" \n \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc310200722" M4 : Oscillateur harmonique
 HYPERLINK \l "_Toc310200723" I / Qu’est ce qu’un oscillateur harmonique ?
 HYPERLINK \l "_Toc310200724" 1°) Exemples
 HYPERLINK \l "_Toc310200725" 2°) Le modèle de l’oscillateur harmonique
 HYPERLINK \l "_Toc310200726" 3°) Etude énergétique
 HYPERLINK \l "_Toc310200727" II / Oscillateur harmonique amorti (régime libre)
 HYPERLINK \l "_Toc310200728" 1°) Oscillateur harmonique amorti par frottement fluide
 HYPERLINK \l "_Toc310200729" 2°) Etude énergétique - Facteur de qualité
 HYPERLINK \l "_Toc310200730" III / Portrait de phase
 HYPERLINK \l "_Toc310200731" 1°) Introduction
 HYPERLINK \l "_Toc310200732" 2°) Propriétés des portraits de phase
 HYPERLINK \l "_Toc310200733" 3°) Exemple de l’oscillateur harmonique non amorti

Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
Définir un oscillateur harmonique à partir de l'équation différentielle de son mouvement, donner la forme de la solution.
Définir le portrait de phase. Exemples de l'oscillateur harmonique et de l'oscillateur amorti.
Ce qu’il faut savoir faire :
Traiter le cas du système solide-ressort non-amorti.
Traiter le cas du pendule simple pour de petites oscillations en utilisant le principe fondamental de la dynamique ou une approche énergétique.
Exemple du système solide-ressort amorti par une force de frottement fluide : établir l'équation différentielle puis définir la pulsation propre et le facteur de qualité. À partir de l'équation différentielle de l'oscillateur amorti, poser l'équation caractéristique puis déterminer les 3 formes possibles des solutions ainsi que leurs représentations graphiques.

Erreurs à éviter/ conseils :
II faut faire très attention à l'expression de l'allongement du ressort, pour l'expression de la tension et de l'énergie potentielle élastique : ne pas écrire aveuglément  EMBED Equation.DSMT4 , ou  EMBED Equation.DSMT4 ! L'expression exacte dépend des notations employées dans chaque cas.
Si on ne choisit pas comme variable l'écart à la position d'équilibre, il restera toujours des constantes non nulles dans l'équation différentielle. On peut les laisser s'il s'agit d'un oscillateur libre (ce qui donne une équation différentielle avec second membre constant), mais dans le cas d'un oscillateur forcé (chapitre suivant) il faudra obligatoirement changer de variable (sinon il y aurait au second membre une constante et un terme sinusoïdal).
Dans la résolution d'une équation différentielle avec second membre, ne jamais appliquer les conditions initiales à la seule solution de l'équation différentielle sans second membre ! Il faut d'abord écrire la solution complète, puis utiliser les CI pour trouver les constantes d'intégration.
Savez-vous votre cours ?
Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions suivantes :
Une masse m au point M se déplace sur une droite horizontale et sa position d'équilibre est x = 0 ; elle est soumise de la part d'un ressort à une force de rappel proportionnelle à l'élongation  EMBED Equation.DSMT4  (k > 0, la raideur du ressort) et éventuellement de la part d'un dispositif d'amortissement à une force de frottement fluide opposée à la vitesse  EMBED Equation.DSMT4  (» > 0, le coefficient de frottement du dispositif).
Écrire l'équation d'évolution du système ; comment varie au cours du temps son énergie mécanique? Quel est l'équivalent électrique pour le dipôle RLC des grandeurs mécaniques suivantes : m, k, », x(t) et v(t) ?
Dans le cas particulier de l'oscillateur non amorti (» = 0), comment s'écrit la solution de l'équation différentielle du mouvement ? Et quelle est alors l'expression de l'énergie mécanique de l'oscillateur ? Commenter.
Pour l'oscillateur amorti, donner pour chacun des trois régimes (à définir et caractériser) la solution x(t) avec les conditions initiales suivantes : x(t = 0) = x0 > 0 et v(t = 0) = 0 (on lâche la masse avec une vitesse initiale nulle hors de la position d'équilibre). Tracer et commenter les graphes x(t). Représenter également le portrait de phase  EMBED Equation.DSMT4 (x) et commenter.
Dans le cas du régime pseudopériodique, définir le décrément logarithmique ´ et comparer la pseudo-période T à la période propre T0 ; quelle relation lie ces trois grandeurs ?

Applications du cours

Application 1 : Oscillateur élastique horizontal non amorti
On considère un point matériel M de masse m fixée à l extrémité d un ressort (constante de raideur k, longueur au repos l0) ; le point matériel est astreint à se déplacer sans frottement le long de l’axe horizontal O’x, O’ étant l’autre extrémité fixe du ressort.









1°) Exprimer l’énergie potentielle du point matériel en fonction de x. Tracer l’évolution de l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de x. Expliquer pourquoi la position x = 0 correspond à une position d’équilibre stable.
2°) Exprimer l’énergie mécanique du point matériel en fonction de m, k, x et  EMBED Equation.DSMT4 .
3°) Pourquoi peut-on dire que l énergie mécanique du point matériel se conserve ? Exprimer l énergie mécanique du point matériel en fonction de k, x0, v0 et É0 puis en fonction de m, x0, v0 et É0
4°) Retrouver l équation différentielle du DM 8 à partir de l’expression de l’énergie mécanique.







Application 2 : Qui est qui ?
On étudie un oscillateur amorti (cas présenté dans le DM 8) en régime apériodique. On a pour plusieurs valeurs du coefficient d’amortissement (ou du facteur de qualité), tracé l’évolution de x en fonction du temps.











Identifier les courbes qui correspondent au coefficient d’amortissement le plus important et celle qui correspond au coefficient d’amortissement le plus faible. Préciser comment évolue le temps d’évolution caractéristique du régime apériodique quand le coefficient d’amortissement augmente.
Identifier les courbes qui correspondent au facteur de qualité le plus important et celle qui correspond au facteur de qualité le plus faible. Préciser comment évolue le temps d’évolution caractéristique du régime apériodique quand le facteur de qualité augmente.

Application 3 : Analogie électromécanique
En comparant l’étude du circuit RLC série réalisée dans le chapitre E3 et l’étude réalisée sur l’oscillateur amorti, compléter le tableau suivant.
ElectricitéMécaniqueEquation différentielle EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 Variable étudiéeuxDérivée de la variable étudiée EMBED Equation.DSMT4 Paramètres de l’oscillateurR±LCPulsation propre EMBED Equation.DSMT4 Période propre EMBED Equation.DSMT4 Facteur de qualité
Energie de l oscillateur








Application 3 : Qui est qui ?
Les 6 trajectoires suivantes dans le plan de phase où seul le facteur de qualité varie. Il vaut : 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 5 ; 50. Qui est qui ?














Application 4 : Portrait de phase d’un système conservatif
Un wagonnet de masse m assimilé à un point matériel M est astreint à glisser sans frottement entre deux glissières circulaires voisines de centre O et de rayon moyen r. Le mouvement du point M a lieu dans le plan (Oxy). Dans toute l’application on néglige les frottements liés au déplacement du wagonnet dans l’air.







1°) L’énergie potentielle du point wagonnet est supposée nulle au point A. exprimer l énergie potentielle de pesanteur du wagonnet en fonction de ¸. Représenter l évolution de l énergie potentielle de pesanteur en fonction de ¸. Déterminer les valeurs de ¸ qui correspondent à des positions d équilibre stables ou instables.
2°) On suppose que le wagonnet est lancé du point A (xA = r et yA = 0) avec une vitesse initiale  EMBED Equation.3  à l instant t = 0.
Exprimer la vitesse du point M à l instant t en fonction de r et de  EMBED Equation.3 .
Exprimer l énergie mécanique du wagonnet en fonction de ¸ et de  EMBED Equation.3 .
Pourquoi l énergie mécanique du wagonnet se conserve-t-elle ?
Montrer que la conservation de l énergie mécanique permet d écrire  EMBED Equation.3  et exprimer ©0 en fonction de g et r.
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& Fa$gdh1$a$gdh1osition d'équilibre du système, les longueurs des ressorts sont identiques et valent léq, et le mobile se trouve à l'origine O de l'axe. On se place dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. A t = 0, le mobile est abandonné sans vitesse initiale d'une position x0 différente de 0.
1. Dans un premier temps on néglige tout frottement.
Établir l'équation différentielle dont x(t) est solution.
Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique dont on précisera la pulsation É0 et la période T0 en fonction de k et m.
Donner l'expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales.
Donner les expressions de l'énergie potentielle élastique Ep(t) des deux ressorts, de l'énergie cinétique Ec(t) du mobile et de l'énergie mécanique totale E(t) en fonction de k, x0, É0, t et éventuellement l0 et leq. Par convention, l'origine de l'énergie potentielle élastique correspondra à la position d'équilibre : Ep = 0 pour x = 0.
2. En fait il existe entre le mobile et la tige un frottement de type visqueux linéaire, la force étant de la forme  EMBED Equation.3  (où µ est une constante positive).
Établir l'équation différentielle dont x(t) est solution. On posera h = µ/m.
Montrer que lorsque  EMBED Equation.3 u, le mouvement est oscillatoire amorti. Donner l'expression de x(t) en tenant compte des conditions initiales, et exprimer la pseudo-période en fonction de É0 et h.
Quelle est l'énergie dissipée par le frottement pendant la durée totale du mouvement ?

Exercice 4 : Pendule pesant simple
On considère un point matériel M de masse m, accroché à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil inextensible de longueur l et de masse nulle. L'ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre  EMBED Equation.3  (avec g = 9,8m.s-2),  EMBED Equation.3 étant un vecteur unitaire de l'axe (Ox). On note l'angle orienté ¸ = (Ox,OM). On suppose que le mouvement reste dans le plan vertical (Oxy), l'angle ¸ restant toujours faible. À l'instant t = 0, on lâche la masse d'un angle ¸0 sans vitesse initiale.
Lorsque l'on enregistre expérimentalement ¸(t), on constate que l'amplitude de ¸ diminue lentement. On interprète(‘]‘ƒ‘‡‘’’’$’&’„’Œ’ä’””H”J”L”P”R”T”€”‚”„”Œ”Ž”’”–”ˆ•8–9–L–M–N–O–s–·–½–¾–¿–Ô–Õ–è–é–÷ðìðìäðäðìðÝÙÝÙÑÝÙÑÝÙÉÝÙÉÙÝÁ´Á ‘´Áݍݍ݅vjr$}R
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hËxCJUVaJh`[jh`[UUh9GBh9GBH*h9GB h9GBh9GBjh9GBUj’‚h9GBh9GBEHúÿU, ce résultat par la présence de frottements que l'on modélise par EMBED Equation.3 , où  EMBED Equation.3  désigne la vitesse du point M, et ± une constante positive.

1°) Établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par ¸(t), et écrire cette équation sous
 EMBED Equation.3 
2°) a) A quelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ?
b) Dans ce cas, déterminer la pseudo-période T. Que représente alors Ä ?
c) On appelle décrément logarithmique la quantité ´ =  EMBED Equation.3 .
Exprimer ´ en fonction de T et Ä.
3°) La figure ci-dessous représente les variations de ¸ avec le temps. On précise les coordonnées de quatre points particuliers :
PointsABCDt(s)0.531,102,208,25¸(°)0,008,958,020,00La masse e6¦\¦^¦`¦b¦d¦l¦t§v§à§â§è§ê§¨¨¨¨¨,¨.¨X¨Z¨^¨f¨Ì¨Î¨¸©º©ì©ª´
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