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EXERCICE II Un service au tennis (5,5 points)

Bac S 2009 Amérique du sud Corrigé. ... EXERCICE II : Tennis http://labolycee. org ©. 1. Équations ... Et la raquette n'agit plus pendant le mouvement de la balle.




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EXERCICE II : Tennis http://labolycee.org ©

1. Équations horaires paramétriques et trajectoire.
1.1. La balle, dans le référentiel terrestre galiléen, est soumise uniquement à son poids  EMBED Equation.DSMT4 . En effet d’après l’énoncé « l'action de l'air est négligeable » : on ne tient pas compte de la poussée d’Archimède et de la force de frottement de l’air sur la balle. Et la raquette n’agit plus pendant le mouvement de la balle.
Les caractéristique du poids  EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4  sont :
- direction : verticale
- sens : vers le bas
- expression : P = m.g
-valeur (= grandeur) : P = 58,0(10-3(9,81 = 0,569 N.
1.2. La seconde loi de Newton, appliquée à la balle donne :  EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4  soit m. EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4  d’où :  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
Les coordonnées du vecteur accélération dans le repère Oxyz sont :  EMBED Equation.DSMT4 
1.3.  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  ainsi  EMBED Equation.DSMT4  C1, C2, C3 sont des constantes définies par les conditions initiales.
Initialement  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4 
Et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  ainsi  EMBED Equation.DSMT4  C’1, C’2, C’3 sont des constantes
Initialement  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4 
On retrouve bien les expressions demandées :
x(t) = v0.t (1) y(t) =  EMBED Equation.DSMT4 + H (2) z(t) = 0
1.4. Quel que soit t, z(t) = Cte = 0 donc le mouvement de la balle a lieu dans le plan (Oxy).


1.5. On isole le temps « t » de (1) que l’on reporte dans (2) :
(1) t =  EMBED Equation.DSMT4  donc dans (2) : y(x) =  EMBED Equation.DSMT4 + H
finalement : y(x) =  EMBED Equation.DSMT4 + H équation d’une parabole de concavité tournée vers le bas.
2. Qualité du service.

2.1. La balle passe au-dessus du filet si pour x = OF= 12,2 m , y(x) > 0,920 m.
Calculons, avec l’expression du 1.5. : y(x=12,2) =  EMBED Equation.DSMT4 = 1,60 m > 0,920 m
avec v0 = 126 km.h-1 = (126/3,6) m.s-1
Donc la balle passe au-dessus du filet.

2.2. La balle frappe le sol en un point B’ (xB’ ; yB’= 0 ;zB’=0).
Le service est « mauvais » si xB’ > OB avec OB = L = 18,7 m.
Avec l’expression du 1.5., déterminons xB’ : y(xB’) = 0 soit  EMBED Equation.DSMT4 + H = 0 Isolons xB’ :  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  en ne gardant que la solution positive.  EMBED Equation.DSMT4  = 23,4 m.
Donc xB’ > 18,7 m, le service est effectivement « mauvais ».

2.3. En réalité, la balle tombe en B. Le paramètre, non pris en compte dans ce problème, qui peut expliquer cette différence est la force de frottement de l’air sur la balle.Remarque hors programme de terminale : Au tennis, l’effet donné à la balle est essentiel. La balle est mise en rotation, et l’effet Magnus modifie la trajectoire de façon sensible.
Exercice 1 Mouvements plans
1.1. Le projectile est soumis uniquement à son poids.
D'après la deuxième loi de Newton:  EMBED Equation.3 = m. EMBED Equation.3 
soit m. EMBED Equation.3 = m. EMBED Equation.3 
donc  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 
Ainsi l'affirmation est vraie, le vecteur accélération  EMBED Equation.3  du centre d'inertie du projectile ne dépend pas des conditions initiales.
1.2. D'après le 1.1. on a  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 
Par projection suivant l'axe vertical Oz, aGZ = – g
Or aGZ =  EMBED Equation.3  donc vGZ = – g.t + V0z soit vGZ = – g.t + V0.sin (
vGZ varie au cours du temps, donc le mouvement du projeté de G suivant l'axe vertical Oz n'est pas uniforme.
Affirmation fausse.

1.3. Il faut établir l'équation de la trajectoire de G.

axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( xG = (V0.cos().t
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
azG = – g vZG = –g.t + V0.sin ( zG = –  EMBED Equation.3 .g.t² + (V0.sin().t

on peut écrire que t =  EMBED Equation.3 , on remplace cette expression dans l'expression de zG
zG = –  EMBED Equation.3 .g. ( EMBED Equation.3 )² + (V0.sin(). EMBED Equation.3 
zG = –  EMBED Equation.3 .g. ( EMBED Equation.3 )² + xG.tan (
Cette équation de trajectoire correspond effectivement a une parabole sauf si ( = 90°
La proposition est donc fausse.

Si ( = 90°

axG = 0 vxG = v0x = V0.cos ( = 0 xG = 0
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
azG = – g vZG = –g.t + V0.sin ( zG = –  EMBED Equation.3 .g.t² + V0.t
vZG = –g.t + V0
Alors la trajectoire serait un segment de droite verticale.

1.4. On reprend les coordonnées du vecteur position établies en 1.3. avec ( = 0 (vecteur vitesse initiale horizontal)
 xG = (V0.cos().t xG = V0.t
 EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3 
zG = –  EMBED Equation.3 .g.t² + (V0.sin().t zG = –  EMBED Equation.3 .g.t²

Lorsque zG = – H alors le projectile touche le sol, ceci a lieu à l'instant noté tS
–H = –  EMBED Equation.3 .g.tS²
soit tS² =  EMBED Equation.3  donc tS =  EMBED Equation.3 
On calcule alors l'abscisse xG à cet instant: xG = V0.tS
xG = V0.  EMBED Equation.3 
L'affirmation est vraie.
2.1. La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite a pour expression:
FT(S = G.  EMBED Equation.3 
soit G =  EMBED Equation.3 
procédons à une analyse dimensionnelle
tout d'abord pour la force FT(S: d'après la seconde loi de Newton FT(S = m(a
[F] = [M](  EMBED Equation.3 
donc [G] = [M](  EMBED Equation.3  ( [L]² ( [M]–1 ( [M]–1
[G] =  EMBED Equation.3 ( [M]–1
G s'exprime en m3.s–2.kg–1
L'affirmation est fausse.

2.2. D'après la deuxième loi de Newton :  EMBED Equation.3 = m. EMBED Equation.3 
La seule force subie par le satellite est la force  EMBED Equation.3  exercée par la Terre.
Or cette force a pour direction une droite passant par le centre de la Terre et son sens est orienté du satellite vers le centre de la Terre.
Donc effectivement,  EMBED Equation.3  est centripète.
L'affirmation est vraie.

2.3.  EMBED Equation.3 = m. EMBED Equation.3 
Soit un vecteur  EMBED Equation.3  mobile dont la direction est une droite joignant le centre du satellite au centre de la Terre et le sens est orienté du satellite vers la Terre.
Alors  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  = m.  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Par projection on obtient FT(S = m. EMBED Equation.3 
G.  EMBED Equation.3  = m. EMBED Equation.3 
G.  EMBED Equation.3 = V² soit V =  EMBED Equation.3  Proposition vraie
2.4. Le satellite effectue une révolution en une durée T.
Il parcourt sa trajectoire supposée circulaire de longueur égale à 2((RT+h) pendant une durée T et ce à une vitesse supposée constante de valeur V =  EMBED Equation.3 
V =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 
T =  EMBED Equation.3 
T² =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 
T² =  EMBED Equation.3 
T² = 6,98(108 (valeur non arrondie à utiliser pour accéder à T)
donc T = 2,64(104 s
La proposition est vraie.