EXERCICE II Un service au tennis (5,5 points)
Exercice 11 .... Le mouvement de la balle est donc rectiligne accéléré. ... Comme
il s'agit d'un mouvement de translation, tous les points du navire ont le même ...
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donc une seule force :
le poids vertical descendant de norme
Donc, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la deuxième loi de Newton appliquée au système ballon sécrit :
donc :
Les coordonnées du vecteur accélération sont donc, dans le repère de la figure :
EMBED Equation.DSMT4 or : puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En intégrant les expressions précédentes, il vient par conséquent : EMBED Equation.DSMT4
Or, le vecteur vitesse initial fait un angle EMBED Equation.DSMT4 avec lhorizontale dans le plan Oyz, donc : EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
De plus, EMBED Equation.DSMT4 puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
En intégrant, il vient : EMBED Equation.DSMT4
Or, x(0) = 0 ; y(0) = 0 ; z(0) = hA.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En utilisant léquation , on peut affirmer que la trajectoire du mobile reste dans le plan Oxy : en effet, aucune position de la balle ne se trouve dans un autre plan, sinon EMBED Equation.DSMT4 ne serait pas identiquement nulle.
Exprimons à laide de léquation EMBED Equation.DSMT4 linstant où la position horizontale y est atteinte : EMBED Equation.DSMT4
donc, en remplaçant linstant t par son expression dans léquation : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 donc : EMBED Equation.DSMT4
b. On veut que le centre dinertie du ballon, partant de z = hA = 2,40 m , arrive en z = hC = 3,0 à la position yC = 6,2 m.
Ce qui se traduit par la relation suivante par lintermédiaire de léquation de la trajectoire :
EMBED Equation.DSMT4 donc : EMBED Equation.DSMT4 soit :
EMBED Equation.DSMT4
A.N : v0 = 8,4 m.s-1
c. On veut que le centre dinertie du ballon, partant de z = hA = 2,40 m , soit en z = hB +dballon = 3,13 m à la position yD = d cherchée.
Ce qui se traduit par la relation suivante par lintermédiaire de léquation de la trajectoire :
EMBED Equation.DSMT4
On résout donc léquation du second degré suivante : EMBED Equation.DSMT4
Avec : EMBED Equation.DSMT4 soit :
EMBED Equation.DSMT4
ou
EMBED Equation.DSMT4
A.N : EMBED Equation.DSMT4 1,4 m ou EMBED Equation.DSMT4 5,6 m
La solution conservée est la plus grande, soit : EMBED Equation.DSMT4 5,6 m
Exercice 12
a. Bilan des forces :
Les systèmes agissant sur le système {balle} sont :
lair,
la Terre.
On néglige laction de lair, la poussée dArchimède, due à la différence de pression entre deux couches dair, et la force de frottement de lair, due à la résistance de lair au déplacement de lobjet, sont donc négligées.
Inventaire des forces sur le système {balle} :
on a donc une seule force :
le poids vertical descendant de norme
Donc, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la deuxième loi de Newton appliquée au système ballon sécrit :
donc :
Les coordonnées du vecteur accélération sont donc, dans le repère de la figure :
EMBED Equation.DSMT4 or : puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En intégrant les expressions précédentes, il vient par conséquent : EMBED Equation.DSMT4
Or, la vitesse initale est ici nulle, donc : EMBED Equation.DSMT4
De plus, EMBED Equation.DSMT4 puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
En intégrant, il vient : EMBED Equation.DSMT4
Or, x(0) = 0 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En utilisant les équation et , on peut affirmer que la trajectoire du mobile est rectiligne.
Le mouvement de la balle est donc rectiligne accéléré.
1.b. Comme , x1 = 0.
2.a. La force exercée sur la bille na pas changé, on a donc toujours, daprès la 2e loi de Newton : EMBED Equation.DSMT4
La vitesse initiale nest plus nulle, elle vaut EMBED Equation.DSMT4 . Donc : EMBED Equation.DSMT4
Par conséquent, en intégrant comme précédemment : EMBED Equation.DSMT4
2.b. Daprès léquation EMBED Equation.DSMT4 donc : EMBED Equation.DSMT4
Soit, en remplaçant dans lexpression de y(t) : EMBED Equation.DSMT4
Labscisse x2 est donc donnée par la relation : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4
A.N : EMBED Equation.DSMT4 4,7 m.
2.c. Daprès la question précédente, le pont du navire est atteint à la date pour laquelle on a EMBED Equation.DSMT4 4,7 m
Or : EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 1,56 s.
2.d. Pendant la chute de la boule, le navire avance à vitesse constante vh. Comme il sagit dun mouvement de translation, tous les points du navire ont le même mouvement, et donc le point A se retrouve à labscisse EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4 4,7 m.
3. Cest salviati qui a raison : pendant la chute de la boule, le navire avance à la même vitesse horizontale que la boule : celle-ci tombe donc au même endroit du navire, que celui-ci soit en mouvement rectiligne uniforme ou immobile.
En revanche, si le navire accélère ou ralentit, le résultat sera différent.
Exercice 13
Dans les trois cas, on applique la deuxième loi de Newton au système projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Les systèmes agissant sur le système {balle} sont :
lair,
la Terre.
On néglige laction de lair on a donc une seule force agissant sur la balle : le poids vertical descendant de norme
On a alors : donc :
Lespace est muni dun repère orthonormé. Laxe Oy est vertical orienté vers le haut.
Donc : EMBED Equation.DSMT4 or : puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En intégrant les expressions précédentes, il vient par conséquent : EMBED Equation.DSMT4
a. Dans ce cas,
donc : EMBED Equation.DSMT4
De plus, EMBED Equation.DSMT4 puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
En intégrant, il vient : EMBED Equation.DSMT4
Or, x(0) = 0 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En utilisant les équation et , on peut affirmer que la trajectoire du mobile est rectiligne.
A linstant tmax où la hauteur maximale est atteinte, la vitesse du mobile est nulle. Or, EMBED Equation.DSMT4 .
On a donc : EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 .
La hauteur hmax est atteinte à linstant tmax donc : EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4 donc : EMBED Equation.DSMT4
A.N : EMBED Equation.DSMT4 7,0 m.
b. Dans ce cas, EMBED Equation.DSMT4
Soit : EMBED Equation.DSMT4
De plus, EMBED Equation.DSMT4 puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
En intégrant, il vient : EMBED Equation.DSMT4
Or, x(0) = 0 ; y(0) = 0 ; z(0) = 0.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
Le mouvement est dans le plan Oxy.
Exprimons à laide de léquation EMBED Equation.DSMT4 linstant où la position horizontale y est atteinte : EMBED Equation.DSMT4
donc, en remplaçant linstant t par son expression dans léquation : EMBED Equation.DSMT4
donc : EMBED Equation.DSMT4
La portée du tir correspond à la valeur xmax de x pour laquelle y = 0.
Donc : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4
Donc : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4
En conclusion : EMBED Equation.DSMT4 donc : EMBED Equation.DSMT4 A.N : EMBED Equation.DSMT4 26°
c. Dans ce cas aussi, EMBED Equation.DSMT4
Donc : EMBED Equation.DSMT4
A linstant tmax = 20 s, y = 0 donc : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4
A.N : EMBED Equation.DSMT4 113 m.s-1.
Exercice 15
Nous allons trouver les équations horaires du mouvement des projectiles A et B. Ensuite, nous exprimerons que la position de A doit coïncider avec celle de B avant linstant tmax où la position verticale de B est nulle.
Dans les deux cas, on applique la deuxième loi de Newton au système projectile A ou B dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Les systèmes agissant sur le système {projectile} sont :
lair,
la Terre.
On néglige laction de lair on a donc une seule force agissant sur la balle : le poids vertical descendant de norme
On a alors : donc :
Lespace est muni dun repère orthonormé. Laxe Oy est vertical orienté vers le haut.
Donc : EMBED Equation.DSMT4 or : puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
Donc : EMBED Equation.DSMT4
En intégrant les expressions précédentes, il vient par conséquent : EMBED Equation.DSMT4
Le projectile A et le projectile B nont pas les mêmes conditions initiales. Donc :
Projectile A : vitesse initiale EMBED Equation.DSMT4 Projectile B : vitesse initiale nulle EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 Or : EMBED Equation.DSMT4 donc en intégrant : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Projectile A : à lorigine en t = 0.Projectile B : au point I en t = 0 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Le mouvement des deux projectiles est donc plan. Il reste :
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
A atteint B si : EMBED Equation.DSMT4 soit : donc : EMBED Equation.DSMT4 (1)
Et ceci avant que : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4 et donc : EMBED Equation.DSMT4
par conséquent : EMBED Equation.DSMT4 (2)
Or, (1) implique : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 car EMBED Equation.DSMT4
En utilisant (2) : EMBED Equation.DSMT4 soit : EMBED Equation.DSMT4
En définitive, la projectile A rencontre le projectile B si :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4