cours deug chap 1 + chap2 +suite
Le seul moyen de mesurer le temps est donné par l'horloge solaire - une .....
deux autres axes principaux et le produit matriciel conduit aux relations suivantes
:.
part of the document
_Toc412952028 \h 15
1.7.3. RELATIONS GENERALES DU TEMPS SIDERAL PAGEREF _Toc412952029 \h 16
1.7.4. EXPRESSION DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE PAGEREF _Toc412952030 \h 18
1.7.5. RELATION GENERALE DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE PAGEREF _Toc412952031 \h 19
1.8. TRIANGLES SPHERIQUES DE PASSAGE D'UN SYSTEME A UN AUTRE PAGEREF _Toc412952032 \h 20
1.8.1. TRIANGLE HORIZONTAL EQUATORIAL PAGEREF _Toc412952033 \h 20
1.8.2. TRIANGLE ECLIPTIQUE - EQUATORIAL PAGEREF _Toc412952034 \h 21
1.8.3. TRIANGLE GALACTIQUE EQUATORIAL PAGEREF _Toc412952035 \h 21
1.9. RELATIONS DANS LES TRIANGLES SPHERIQUES PAGEREF _Toc412952036 \h 22
1.9.1. RELATIONS GENERALES PAGEREF _Toc412952037 \h 22
1.9.2. RELATIONS DANS LES SYSTEMES DE COORDONNEES PAGEREF _Toc412952038 \h 25
1.10. RESOLUTION DES TRIANGLES SPHERIQUES PAGEREF _Toc412952039 \h 27
2. MESURE DES DISTANCES PAGEREF _Toc412952040 \h 29
2.1. LA PARALLAXE TRIGONOMETRIQUE PAGEREF _Toc412952041 \h 29
2.2. NOTION DE BRILLANCE ET DE MAGNITUDE D'UNE ETOILE PAGEREF _Toc412952042 \h 30
2.3. MAGNITUDE ABSOLUE M D'UNE ETOILE PAGEREF _Toc412952043 \h 32
2.4. RELATION ENTRE m ET M PAGEREF _Toc412952044 \h 32
2.5. LUMINOSITE D'UNE ETOILE PAGEREF _Toc412952045 \h 33
2.6. TEMPERATURE EFFECTIVE, TEMPERATURE DE COULEUR PAGEREF _Toc412952046 \h 34
2.6.1. LE CORPS NOIR PAGEREF _Toc412952047 \h 34
2.6.2. TEMPERATURE EFFECTIVE PAGEREF _Toc412952048 \h 35
2.7. DETERMINATION DU RAYON DE L'ETOILE PAGEREF _Toc412952049 \h 35
2.8. DETERMINATION DES MASSES PAGEREF _Toc412952050 \h 36
2.9. LE DIAGRAMME HERTZSPRUNG RUSSELL PAGEREF _Toc412952051 \h 40
3. EXERCICES PAGEREF _Toc412952052 \h 42
3.1. ANGLE HORAIRE PAGEREF _Toc412952053 \h 42
3.2. COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES PAGEREF _Toc412952054 \h 42
3.3. SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES PAGEREF _Toc412952055 \h 43
3.4. SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES PAGEREF _Toc412952056 \h 44
1. ASTROMETRIE
1.1. INTRODUCTION
Le présent cours a pour but de définir les systèmes de coordonnées utilisés en Astronomie et en orbitologie. Ces systèmes de coordonnées sont de trois types : le système géographique, le système local et trois systèmes rattachés à la sphère céleste. Ils permettent de positionner les objets célestes (étoiles, planètes, satellites artificiels, sondes interplanétaires) dans un référentiel absolu défini à partir de la Terre et qui s'appuie sur des points, ou des objets, situés à l'infini et considérés comme immobiles les uns par rapport aux autres : les étoiles.
Ces étoiles étant à l'infini (ou quasiment à l'infini), leur distance ne sera pas prise en compte, on supposera que tous les objets seront repérés uniquement par deux angles et le système de coordonnées adopté sera sphérique.
1.1.1. LE PROBLEME
Le but de tout référentiel est de donner la position d'une étoile ou d'un objet céleste à l'aide de paramètres spécifiques reliés à des plans ou à des axes caractéristiques repérables sur Terre (axe Nord-Sud, équateur, horizon, verticale, Ecliptique). Les coordonnées locales d'une étoile varient en fonction de l'heure, de l'époque de l'année, de la latitude et la longitude d'un point, il faut trouver un système qui ne dépend pas de ces paramètres et qui sera le référentiel absolu. Formellement il faudra être capable de dire à chaque instant (heure, date), en n'importe quel lieu sur la Terre (qui est le repère local ou relatif), où se trouve le repère absolu et ensuite déduire la position de n'importe quelle étoile, qui aura été repérée dans ce système absolu, dans le repère relatif.
La prédiction de la position d'une étoile en un lieu donné permet :
A/ de se repérer sur la Terre,
B/ d'établir une carte du ciel avec un très grande précision,
C/ de déterminer les distances d'objets qui ne sont pas très éloignés (étoiles, planètes.....) et le mouvement de ces étoiles. Ceci permettra de déterminer leur masse par les lois de Képler et ainsi de définir leurs paramètres physiques.
Ce dernier point fera l'objet du deuxième chapitre.
Le problème est résumé dans le tableau et la figure ci-dessous :
L 'apparenceLa réalitéVitessesMouvement diurneLes étoiles et le Soleil tournent d'est en ouest dans le sens trigonométrique inverseLa Terre tourne sur son axe d'Ouest en Est dans le sens trigonométrique direct~ 1800 Km/h pour un point sur TerreMouvement annuel1/ de jour, le Soleil est plus ou moins haut dans le ciel à midi tout au long de l'année,SYMBOL 222 \f "Symbol" la durée des jours est plus ou moins longueSYMBOL 222 \f "Symbol" les saisons,
2/ de nuit, on ne voit pas les mêmes étoiles à la même heure tout au long de l'année,
3/ les signes du Zodiaque changent SYMBOL 222 \f "Symbol" le Soleil décrit le Zodiaque
SYMBOL 222 \f "Symbol" Le Soleil se déplace parmi les étoilesLa Terre tourne sur son orbite en un an~ 30km/sMouvement séculaireLes étoiles proches du système solaire semblent se déplacer les unes par rapport aux autres Le système solaire se déplace dans la Galaxie~ 250 km/s
Les deux premiers mouvements sont illustrés sur la figure 1.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Composition des mouvements (les étoiles sont à l'infini)
XE "Le problème des systèmes de coordonnées"
Par rapport à un observateur placé sur la Terre, qui est dans le référentiel relatif, l'aspect du ciel dépendra :
1/ de l'heure de la journée,
2/ de l'angle sous lequel il voit le Soleil, et les étoiles la nuit, à différentes époques de l'année, i. e. le Soleil apparaîtra plus ou moins haut dans la journée à une même heure (figure 1, figure 2) et il semblera de jour en jour se déplacer imperceptiblement parmi les étoiles (le Zodiaque),
3/ de la latitude et de la longitude du lieu.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Les saisons
XE "Les saisons"
Le problème sera de formaliser et de calculer la position des étoiles en tenant compte de tous ces mouvements.
1.1.2. LA METHODE
Chaque référentiel sera défini par rapport à un axe spécifique et à un plan déduit de cet axe ou inversement.
Le repérage du point est fait en coordonnées sphériques dont la coordonnée métrique est supposée égale à 1 quelle que soit sa dimension réelle. On établira toutes les relations en supposant que le point est sur une sphère de rayon unité et dans une étape ultérieure on établira un formalisme qui permettra de restituer cette coordonnée dimensionnelle.
L'approche systématique sera de déterminer :
1°/ l'axe principal,
2°/ le plan principal, perpendiculaire à l'axe principal,
3°/ les deux paramètres angulaires,
4°/ leur origine et leur sens d'orientation.
La représentation d'un système élémentaire est donnée sur la figure 3.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Repère élémentaire
XE "repère élémentaire"
En un point dont on veut déterminer les coordonnées, on fait passer un plan contenant le point et le centre de la sphère (et qui contient l'axe de référence). Ce plan définit sur cette sphère un grand cercle qui coupe le plan principal à angle droit. Les coordonnées (SYMBOL 108 \f "Symbol",SYMBOL 106 \f "Symbol" ) sont définies par les angles entre :
1°/ le plan principal et la direction partant du centre vers le point considéré (SYMBOL 106 \f "Symbol"). Cet angle définit un arc qui est une portion du grand cercle contenant le point.
2°/ les deux plans perpendiculaires contenant le point origine et le point dont on veut connaître la coordonnée SYMBOL 108 \f "Symbol"
Une propriété résulte des hypothèses : l'arc et l'angle sous-tendu par l'arc sont exprimés par la même grandeur.
1.2. COORDONNEES GEOGRAPHIQUES
Objet: définir un point sur la Terre, (figure 4).
Axe principal : axe de rotation de la Terre (axe Nord, Sud).
Plan principal : Equateur terrestre.
Coordonnées:
1°/ latitude d'un point : SYMBOL 106 \f "Symbol" comprise entre 90°, 0° dans l'hémisphère Sud et 0°, +90° dans l'hémisphère Nord
2°/ longitude d'un point : L positive vers l'Ouest de Greenwich et comprise entre 0° et 360°, on peut aussi exprimer la longitude en heures, minutes, secondes d'après le tableau suivant (24 h => 360°) :
1 h = 15°, 1 mn = 15', 1 sec = 15".
REMARQUE: La principale source d'erreur est la confusion entre les angles exprimés en heures ou en degrés
Certaines disciplines prennent pour les longitudes la convention inverse.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Système de coordonnées géographiques
XE "repère géographique"
Une autre façon de représenter la longitude est d'effectuer une projection le long de l'axe Nord, Sud. Les longitudes sont représentées par des rayons et l'équateur par un grand cercle (figure 5).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Représentation plane des longitudes
XE "représentation plane des longitudes"
REMARQUE: la longitude peut être prise négative en s'orientant vers l'Est.
Exemples: L = + 90° =====> L = - 270°
vers l'Ouest vers l'Est
Sur la figure 5 la longitude portée est environ 45° ou + 315°.
1.3. COORDONNEES HORIZONTALES LOCALES
1.3.1. LA REALITE
On peut repérer les étoiles par rapport à l'Equateur et à l'axe Nord-Sud qui sont les entités de base et incontournables ! Mais puisque les étoiles sont à l'infini il revient au même de les repérer, en un point donné (i.e. de latitude et de longitude donnée), par rapport au plan parallèle à l'Equateur et à l'axe parallèle à l'axe Nord-Sud.
Ces deux entités s'appelleront l'axe Nord-Sud céleste et l'Equateur céleste AE.
Une figure particulière consiste à représenter une coupe passant par un point donné (figure 6).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Position de l'axe Nord-Sud et de l'Equateur céleste en un lieu
XE "position de l'axe Nord-Sud et de l'Equateur céleste en un lieu"
La figure dans l'espace donne :
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Représentation en perspective du repère horizontal local et du repère céleste
XE "repères horizontal et céleste"
Sur cette figure le plan horizontal et le plan équatorial céleste sont représentés par une seule droite d'intersection avec le plan méridien.
1.3.2. L'APPARENCE
Le système de coordonnées horizontales locales est référencé au plan méridien qui contient l'axe des pôles et qui coupe la sphère locale céleste selon un grand cercle, appelé méridien céleste, mais dont le plan est le méridien terrestre.
Objet: le système de coordonnées horizontales locales est relatif à un lieu de longitude et de latitude données. Le point est placé sur une sphère (de rayon unité) centrée sur l'observateur et appelée : sphère locale céleste. Les étoiles semblent se déplacer sur cette sphère, elles sont à l'infini et leur direction est la même où que l'on soit sur Terre.
Axe principal : la verticale du lieu (matérialisée par la direction du fil à plomb) qui, en première approximation, passe par le centre de la Terre.
Plan principal : le plan horizontal, - matérialisé par le plan d'eau- perpendiculaire à la verticale du lieu, et qui est aussi le plan tangent à la sphère terrestre en un lieu donné.
Ce méridien est l'origine d'une des coordonnées locales (figure 8).
Coordonnées:
Azimut A compris entre 0° et 360°, positif vers l'Ouest du méridien du lieu d'observation. Mais il peut aussi être négatif vers l'Est.
hauteur h de l'étoile est comprise entre 0° et +90° au-dessus de l'horizon et 0° et -90° au-dessous de l'horizon.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Système de coordonnées horizontales locales
XE "système de coordonnées horizontales locales"
Exemple: Les points cardinaux ont pour coordonnées horizontales locales :
Nord Sud Est Ouest A+180°
-180°0°+270°,
-90° +90°
-270° h0°0° 0° 0°
Le mouvement apparent des étoiles en un lieu donné se fait autour de l'axe des pôles céleste et la durée de révolution sera définie plus bas dans ce cours. On peut représenter le mouvement apparent d'une étoile par un petit cercle perpendiculaire à l'axe des pôles (figure 9).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Mouvement apparent d'une étoile
XE "mouvement apparent d'une étoile"
D'après la figure 9, en un lieu on a :
1°/ l'axe parallèle à l'axe de rotation de la Terre appelé axe Nord, Sud céleste,
2° / le plan parallèle au plan équatorial terrestre appelé plan équatorial céleste qui sera toujours par la suite noté AE,
3°/ l'angle entre la direction du pôle céleste et l'horizon représente la latitude du lieu,
4°/ la trajectoire apparente d'une étoile - due à la rotation de la Terre - et en un lieu de latitude donnée, sera dans un plan perpendiculaire à l'axe Nord, Sud passant par l'étoile. Le coucher de l'étoile est à l'intersection du plan de sa trajectoire avec l'horizon
Cette trajectoire présente quatre positions d'étoile particulières dans la journée :
a/ le lever,
b/ la culmination au moment du passage au méridien côté Sud,
c/ le coucher,
d/ le passage au méridien côté Nord (hauteur minimum).
On constate en particulier sur cette figure que la position de l'étoile par rapport à l'équateur céleste reste constante dans le temps (au cours de la journée), ce qui permet de définir une coordonnée céleste : SYMBOL 100 \f "Symbol", la déclinaison.
Cette figure permet, en outre, d'établir la première relation entre la hauteur, la latitude et la déclinaison dans le méridien côté Sud - c'est à dire à la culmination :
h max = EMBED Equation .
Le mouvement apparent d'une étoile à l'Equateur donnerait :
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Mouvement apparent d'une étoile à l'Equateur
XE "mouvement apparent d'une étoile à l'Equateur"
1.4. SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES CELESTES
Objet: ce système, référencé aux étoiles, est indépendant de la position sur la Terre et de l'heure d'observation.
Axe principal : axe de rotation de la Terre (céleste).
Plan principal : plan équatorial céleste.
Coordonnées:
déclinaison SYMBOL 100 \f "Symbol", comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord et 0 et-90 dans l'hémisphère Sud,
ascension droite SYMBOL 97 \f "Symbol", comprise entre 0 et 24 heures, positive dans le sens trigonométrique direct.
Remarque: SYMBOL 97 \f "Symbol" n'est jamais négatif
La représentation des coordonnées équatoriales célestes est donnée sur la figure 11.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Système de coordonnées équatoriales célestes
XE "système de coordonnées équatoriales célestes"
Le point SYMBOL 103 \f "Symbol" est une étoile fictive, origine des ascensions droites que l'on définira ultérieurement.
1.5. SYSTEME DE COORDONNEES ECLIPTIQUES
Rappels: la Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours solaires moyens. Le plan d'orbite de la Terre est appelé plan de l'Ecliptique. Ce plan passant par le centre de la Terre et par le centre du Soleil, découpe sur la sphère céleste géocentrique un grand cercle appelé aussi Ecliptique. Par rapport au centre de la Terre, et à l'observateur, le Soleil semblera se déplacer sur ce grand cercle (et donc parmi les étoiles) dans le même sens que la Terre sur son orbite, soit le sens trigonométrique direct (figure 12).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Plan de l'écliptique et sa représentation sur la Terre
XE "plan de l'écliptique"
Objet: ce système permet de positionner un objet par rapport à l'écliptique et en particulier les planètes et les sondes interplanétaires.
Axe principal : l'axe perpendiculaire au plan de l'Ecliptique et passant par le centre de la Terre.
Plan principal : le plan de l'Ecliptique passant par le centre de la Terre qui découpe un grand cercle sur la sphère céleste.
Coordonnées:
latitude écliptique SYMBOL 98 \f "Symbol", comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord écliptique, comprise entre -90° et 0° dans l'hémisphère Sud écliptique
longitude écliptique SYMBOL 108 \f "Symbol", comprise entre 0° et 360° à partir du point SYMBOL 103 \f "Symbol", positive dans le sens trigonométrique direct.
Nous verrons ultérieurement que le point SYMBOL 103 \f "Symbol" appartient par définition au plan de l'Ecliptique et à l'équateur (figure 13, figure 14).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Coordonnées écliptiques géocentriques
XE"coordonnées écliptiques géocentriques "
Cas du Soleil :
de la définition du cercle Ecliptique il résulte que le Soleil se trouve toujours sur celui-ci. Le Soleil se déplace de jour en jour dans le sens trigonométrique pour atteindre des valeurs caractéristiques aux solstices et aux équinoxes (figure 14).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Coordonnées équatoriales du Soleil
XE "coordonnées équatoriales du Soleil"
Les coordonnées du Soleil sont donc :
PRINTEMPSETE AUTOMNE HIVER SYMBOL 97 \f "Symbol"0 h6 h12 h 18 h SYMBOL 100 \f "Symbol"0°+23° 27'0° - 23°27' SYMBOL 108 \f "Symbol"0°90°180°270°SYMBOL 98 \f "Symbol"0°0°0° 0°
Le point SYMBOL 103 \f "Symbol" est à l'intersection du plan de l'Equateur et du plan de l'Ecliptique. Il est défini comme le point nodal ascendant du Soleil, c'est à dire lorsque le Soleil est au point Printemps.
Ces différentes notions permettront d'établir les relations générales du temps sidéral au paragraphe 1.7.
1.6. SYSTEME DE COORDONNEES GALACTIQUES
Objet: positionner une étoile par rapport à la Galaxie.
Axe principal : l'axe perpendiculaire à la Galaxie.
Plan principal : la Galaxie (voie lactée).
Coordonnées:
latitude galactique b, comprise entre 0° et 90° dans l'hémisphère Nord galactique, et entre 90° et 0° dans l'hémisphère Sud galactique.
longitude galactique l, comprise entre 0° et 360° positive dans le sens trigonométrique direct à partir du centre galactique (figure 15).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Système de coordonnées galactiques
XE "système de coordonnées galactiques"
1.7. LE TEMPS, L'ANGLE HORAIRE, LA LONGITUDE
1.7.1. TEMPS SIDERAL, TEMPS SOLAIRE
Sur la figure 9, qui définit le mouvement apparent d'une étoile, il reste à déterminer en combien de temps l'étoile va faire un tour complet et comment le formaliser.
Le temps est mesuré par la durée que met un objet (le Soleil, une étoile) pour passer successivement au méridien. Le Soleil met 24 heures solaires pour repasser dans le méridien, l'étoile met 24 heures sidérales. Ces deux temps sont différents comme l'indique la figure 16.
Le seul moyen de mesurer le temps est donné par l'horloge solaire - une montre- qui mesure le temps qui s'est écoulé entre deux passages consécutifs du Soleil au méridien. Comme le Soleil se déplace parmi les étoiles en décrivant le Zodiaque, la durée de révolution d'une étoile sera différente de celle du Soleil. Ceci est illustré sur la figure 16 : la durée de deux passages d'une étoile au méridien n'est pas identique à celle de deux passages du Soleil au méridien.
Sur cette figure on voit en particulier que, si l'on se réfère au Soleil, la Terre a effectué un tour +SYMBOL 113 \f "Symbol", si l'on réfère aux étoiles la Terre a effectué un tour. Il faut déterminer le rapport qui existe entre ces deux durées ou la valeur de SYMBOL 113 \f "Symbol".
La réalité
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Notion de temps sidéral et de temps solaire
XE "temps sidéral et temps solaire"
En une année solaire soit 365,25 jours solaires, le temps mesuré à partir d'une étoile sera incrémenté de 24 heures (figure 17).
L'apparence
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Décalage entre l'horloge sidérale et solaire
XE "rapport entre temps sidéral et temps solaire"
Par jour solaire, le décalage de l'horloge sidérale est de :
1 jour (24 Heures) /365.25.
Le jour sidéral est donc de 1 jour solaire + 1/365.25, soit :
366.25/365.25.
Ce rapport est égal à 1,002738 qui, exprimé en minutes et secondes est égal à :
3 mn 56,56secChaque jour les deux horloges s'annulent et l'horloge sidérale, lorsque l'horloge solaire s'annule, marque de jours en jours un temps égal à k fois 3mn 56 sec.
1.7.2. L'ANGLE HORAIRE
Nous disposons d'un moyen de passer indifféremment du temps solaire au temps sidéral. Nous connaissons donc la norme du temps qui fait évoluer les étoiles, il faut donc définir un paramètre physique qui représente le temps et qui aura un sens (toujours positif !!!) .
Dans la figure 18 qui complète la figure 9 ce nouveau paramètre est introduit pour une étoile et pour le point SYMBOL 103 \f "Symbol"
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Représentation du système de coordonnées célestes et locales
XE "représentation du système de coordonnées célestes et locales"
L'angle H est l'angle entre le plan méridien et le plan passant par l'étoile et l'axe Nord-Sud céleste. Cet angle s'incrémente de 360° en 24 heures sidérales, il est nul dans le plan méridien, positif vers l'Ouest du plan méridien, négatif vers l'Est. Sur la figure 18 l'angle horaire est positif.
On peut de la même manière définir l'angle horaire d'une étoile particulière, origine du système de coordonnées célestes : le point SYMBOL 103 \f "Symbol".
L'angle horaire du point SYMBOL 103 \f "Symbol" référencé au méridien céleste de longitude L est appelé : temps sidéral local, qui sera noté pour l'instant EMBED Equation . Cet angle s'incrémente aussi de 360° en 24 heures sidérales.
1.7.3. RELATIONS GENERALES DU TEMPS SIDERAL
Le temps sidéral est devenu un paramètre physique, il faut le normaliser pour établir des expressions qui permettront d'introduire l'époque de l'année et l'heure dans la journée.
Pour cela on adopte un jour de l'année où, à une heure solaire donnée (0h), les deux pendules marquent 0h, il est alors possible de déduire l'heure sidérale à n'importe quelle époque de l'année. Bien entendu ce décalage ne sera valable qu'à 0 heure solaire.
Si on adopte maintenant un méridien de référence pour lequel ceci est vrai, on dispose d'une base de normalisation pour toutes les longitudes.
Il est nécessaire en outre de définir quand il sera 0 heure solaire astronomiquement : il est 0 heure TU lorsque le Soleil est à Greenwich dans le méridien côté Nord.
Le temps solaire universel est le temps solaire de Greenwich appelé Temps Universel (T. U.).
Une représentation générale du temps du temps est donnée sur la figure 19.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Représentation du temps
XE "représentation du temps"
REMARQUE: si on positionne le Soleil, pour une époque et une heure donnée, le point SYMBOL 103 \f "Symbol" est aussi positionné puisque l'on connaît l'ascension droite du Soleil et donc le temps sidéral à Greenwich est connu (figure 20).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Position du point gamma à 0h TU au cours de l'année à Greenwich
XE "point gamma à 0h TU au cours de l'année"
Le point SYMBOL 103 \f "Symbol" sert de base à la détermination du temps sidéral et on dispose d'un système qui permet de passer indifféremment de la sphère céleste à la sphère terrestre régie par le temps solaire.
Le temps sidéral universel est celui du point SYMBOL 103 \f "Symbol" à Greenwich, il est défini par EMBED Equation qui est l'angle horaire du point SYMBOL 103 \f "Symbol" à Greenwich.
Le temps sidéral de Greenwich à 0h TU varie donc en fonction de l'époque de l'année. Il peut être déterminé en première approximation sachant que l'heure TU s'annule lorsque le Soleil est de l'autre côté du méridien de Greenwich (côté Nord, origine des dates) et que l'heure sidérale s'annule lorsque le point SYMBOL 103 \f "Symbol" se trouve dans le méridien côté Sud. Les deux horloges s'annuleront lorsque le Soleil et SYMBOL 103 \f "Symbol" seront à l'opposé l'un de l'autre, c'est à dire en automne le 21 septembre à 0h TU.
Plus généralement la figure 21 permet d'établir l'expression du temps sidéral (l'angle horaire du point SYMBOL 103 \f "Symbol") en n'importe quel point du globe de longitude donnée.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Temps sidéral de Greenwich et temps sidéral local
XE "temps sidéral de Greenwich et temps sidéral local"
Si on appelle :
EMBED Equation = TSL
et
EMBED Equation =TSG.
La relation entre les temps sidéraux est :
TSL + L = TSG (1)
Cette relation est vraie est vraie à 0 H T.U., mais aussi pour n'importe quelle 'heure de la journée.
1.7.4. EXPRESSION DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE
Puisque la position du point SYMBOL 103 \f "Symbol" est connue pour n'importe quel point du globe, il est possible de positionner une étoile de coordonnée SYMBOL 97 \f "Symbol" par son angle horaire qui est défini par rapport au méridien (figure 20).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Angle horaire d'une étoile
XE "angle horaire d'une étoile"
L'expression qui donne l'angle horaire est :
TSL = H + SYMBOL 97 \f "Symbol" (2)
1.7.5. RELATION GENERALE DE L'ANGLE HORAIRE D'UNE ETOILE
Il reste à déterminer une relation qui exprime l'angle horaire en fonction de l'heure T U puisque dans le paragraphe 1.7.3 nous avons supposé que le point SYMBOL 103 \f "Symbol" était positionné pour 0 h T.U..
Il suffit dans la relation (1) d'établir l'interpolation de TSG entre deux passages successifs à 0 h TU à Greenwich.
Nous savons positionner SYMBOL 103 \f "Symbol" à 0 h TU. Nous savons que l'horloge sidérale se décale de 3mn 56 sec par jour. C'est à dire qu'il faut rajouter cette valeur au temps sidéral de Greenwich toutes les 24 heures solaires.
L'expression de l'interpolation est donc obtenue par :
HTU x 366.25 / 365.25
ceci se rajoute à la valeur du temps sidéral de Gr. à 0h TU ce qui donne :
TSG = TSG0 + HTU x 366.25/365.25
ou encore
H + SYMBOL 97 \f "Symbol" + L = TSG0 + HTU * EMBED Equation (3)
expression générale pour déterminer l'angle horaire d'une étoile de coordonnée SYMBOL 97 \f "Symbol", en un lieu de longitude L, à une heure TU donnée et pour une époque donnée.
Tous les moyens du calcul des coordonnées sont établis, il reste à déterminer les relations de base dans les triangles sphériques.
1.8. TRIANGLES SPHERIQUES DE PASSAGE D'UN SYSTEME A UN AUTRE
Rappels: nous avons vu les différents systèmes de coordonnées, il reste à se donner les moyens de calculer ces coordonnées, afin de pouvoir passer indifféremment d'un système à l'autre. Pour cela on utilise la méthode des triangles sphériques, puisque tous les paramètres ont été définis sur des sphères de rayon unité.
Un triangle sphérique est composé d'arcs de grands cercles et d'angles dièdres. La connaissance de trois paramètres du triangle permet de calculer tous les autres.
Dans une première étape nous définirons les triangles sphériques de passage d'un système à l'autre et dans un prochain paragraphe nous établirons le formalisme permettant de calculer ces paramètres.
Remarque: Tous les triangles sont définis à partir du système équatorial céleste.
1.8.1. TRIANGLE HORIZONTAL EQUATORIAL
Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 8 et 11 (figure 23).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
Et le triangle de passage est donné sur la figure 24.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Triangle de passage horizontal équatorial
XE "triangle de passage horizontal équatorial"
Sur cette figure on remarque l'apparition d'un nouveau paramètre : H. H est un angle exprimé en heures, minutes, secondes qui permet de rendre compte de la marche du temps. H est directement proportionnel au temps, il est orienté positif vers l'Ouest et il est nul dans le plan du méridien côté Sud, sa variation entraîne la variation de tous les paramètres ; associé à SYMBOL 100 \f "Symbol", il constitue le système de coordonnées équatoriales locales.
Comme son nom l'indique, ce système est valable pour n'importe quel lieu de longitude donné car H est défini entre le méridien et un grand cercle passant par l'étoile et l'axe Nord, Sud.
1.8.2. TRIANGLE ECLIPTIQUE - EQUATORIAL
Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 11 et 13 (figure 25).
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
La valeur de SYMBOL 101 \f "Symbol" est égale à 23° 27'.
Le triangle de passage est donné sur la figure 26.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Triangle de passage écliptique équatorial
XE"triangle de passage écliptique équatorial"
1.8.3. TRIANGLE GALACTIQUE EQUATORIAL
Le triangle est obtenu en rassemblant les figures 11 et 15 (figure 27).
La construction de ce triangle nécessite la connaissance de la position du centre galactique et du pôle galactique dans le système équatorial.
SYMBOL 97 \f "Symbol" = 17 h 42.4 mn
CSYMBOL 253 \f "Symbol"
SYMBOL 100 \f "Symbol" = -28° 55' SYMBOL 97 \f "Symbol" = 12 h 49 mn
SYMBOL 112 \f "Symbol"GSYMBOL 253 \f "Symbol"
SYMBOL 100 \f "Symbol" =+27° 24'
L ' inclinaison de la Galaxie sur l'équateur est égale à 62°36' (d'où la valeur de 27° 24').
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
Le triangle de passage est donné sur la figure 28.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Triangle de passage galactique équatorial
XE "triangle de passage galactique équatorial"
1.9. RELATIONS DANS LES TRIANGLES SPHERIQUES
1.9.1. RELATIONS GENERALES
Ces relations s'établissent en considérant que l'on est sur une sphère, ce qui est l'hypothèse de base utilisée jusqu'à maintenant. La méthode consistera à prendre les coordonnées cartésiennes d'un point (l'étoile) dans deux systèmes de références déduits l'un de l'autre par une rotation d'angle égale à un arc et autour d'un axe commun aux deux référentiels (figure 29).
La rotation d'angle c est effectuée autour de l'axe oxx'.
Les coordonnées sont calculées pour le vecteur EMBED Equation
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Relations dans le triangle sphérique
XE "relations dans le triangle sphérique"
Les coordonnées à calculer dans le référentiel o xyz sont portées sur la figure 30.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
Les coordonnées dans le référentiel o x'y'z' sont portées sur la figure 31.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
En appelant EMBED Equation le vecteur de coordonnées x,y,z et EMBED Equation le vecteur de coordonnées x',y',z' la relation qui lie ces deux vecteurs est :
EMBED Equation = [ A ] x EMBED Equation
Ou [ A ] est la matrice de rotation d'angle c autour d'un des axes de références :
A= EMBED Equation
Bien entendu on effectue une rotation aussi autour des deux autres axes principaux et le produit matriciel conduit aux relations suivantes :
analogie des sinus
EMBED Equation (4)
EMBED Equation
Formule des cotangentes :
Si dans la formule 5 2 on substitue la valeur de cos c donnée par 5 3 il vient :
EMBED Equation EMBED Equation
en divisant par sin a. sin b il vient :
EMBED Equation
de la relation (4) il vient :
EMBED Equation
EMBED Equation (7-a)
et:
EMBED Equation (7-b)
Cas particulier d'un angle dièdre droit : pentagone de Néper
Si un angle dièdre est droit (figure 32) il ressort du faisceau de formules 4, 5, 6, 7 , lorsque B = SYMBOL 112 \f "Symbol"/2, une simplification qui peut être résumée sur la figure 33.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Pentagone de Neper
XE "pentagone de Neper"
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM
Le cosinus d'un des paramètres est égal au produit des sinus des côtés faces et au produit des cotangentes latérales à ce paramètre. Il faut remarquer que ceci est vrai quel que soit le paramètre.
exemple: EMBED Equation
mais aussi
EMBED Equation
Le cas particulier du pentagone de Néper est très utile en astronomie des positions
1.9.2. RELATIONS DANS LES SYSTEMES DE COORDONNEES
1.9.2.1. TRIANGLE HORIZONTAL EQUATORIAL
Dans ce triangle les relations sont les suivantes :
EMBED Equation
EMBED Equation
analogie des sinus
EMBED Equation
D ' où en transformant ces expressions :
EMBED Equation et
EMBED Equation
et
EMBED Equation ( 10 )
Cas particuliers :
Hauteur de l'étoile dans le méridien :
Dans le méridien H = 0° donc de (8) il vient :
EMBED Equation
d'où
EMBED Equation
expression déjà établie au paragraphe 1.3.2.
Remarques:
Cette formule permet aussi de retrouver certaines latitudes caractéristiques sur le globe. En effet si on prend un point du globe où le Soleil passe au moins une fois dans l'année au zénith, dans l'hémisphère Nord, au moment où le Soleil est le plus haut par rapport aux étoiles SYMBOL 100 \f "Symbol"=23° 27', c'est à dire le 21 juin, l'expression de la hauteur maximum qui dans ce cas précis sera EMBED Equation aboutit à :
SYMBOL 106 \f "Symbol"= 23° 27' qui est la latitude des tropiques.
De la même manière en exprimant que la hauteur maximum du Soleil est égale a 0° pour l'hiver SYMBOL 100 \f "Symbol"= 23° 27' il vient :
SYMBOL 106 \f "Symbol" = EMBED Equation + 23°27'
comme la latitude est toujours comprise entre 0° et 90° ceci correspond à une latitude réelle de :
SYMBOL 106 \f "Symbol" = EMBED Equation - 23°27'= 66° 33' latitude du cercle polaire.
Heure de lever et de coucher d'une étoile en fonction de la latitude et de la déclinaison SYMBOL 100 \f "Symbol":
De (8) il vient, en écrivant que l'heure de lever et de coucher est obtenue pour h = 0° :
EMBED Equation
Connaissant H qui ici est égal à SYMBOL 177 \f "Symbol" H et en appliquant la formule (3) on peut calculer HTU.
Remarque:
A l'aide de cette expression on peut aussi déterminer les cas particuliers suivants :
a/ SYMBOL 100 \f "Symbol"=0° , SYMBOL 34 \f "Symbol" (,
cos H = 0 ====> H= SYMBOL 177 \f "Symbol"EMBED Equation donc H = 6SYMBOL 177 \f "Symbol"Heures, SYMBOL 34 \f "Symbol" SYMBOL 100 \f "Symbol" ====> à l'équateur une étoile (et le Soleil) reste toujours le même temps (12 heures) au dessus de l'horizon. Il y a toujours égalité des jours et des nuits à l'équateur.
b/ SYMBOL 100 \f "Symbol"=0 , SYMBOL 34 \f "Symbol" SYMBOL 106 \f "Symbol"
cos H = 0 ====> pour le Soleil SYMBOL 100 \f "Symbol" = 0° au printemps et à l'automne ====> il y a égalité des jours et des nuits aux équinoxes.
c/ SYMBOL 106 \f "Symbol" =EMBED Equation -23°27', SYMBOL 100 \f "Symbol"=23° 27'
====> cos H = SYMBOL 177 \f "Symbol"SYMBOL 112 \f "Symbol" => H = SYMBOL 177 \f "Symbol" 12 heures
====> au solstice et au cercle polaire le jour dure 24 heures.
1.9.2.2. TRIANGLE ECLIPTIQUE-EQUATORIAL
Les relations sont les suivantes :
EMBED Equation
Formule des sinus :
EMBED Equation
1.9.2.3. TRIANGLE GALACTIQUE EQUATORIAL
Les relations sont les suivantes, si i = 62°36' est l'inclinaison de la Galaxie sur l'équateur :
EMBED Equation
Formule des sinus :
EMBED Equation
1.10. RESOLUTION DES TRIANGLES SPHERIQUES
La résolution des triangles sphériques pose le problème de l'ambiguïté de la solution lorsqu'on fait appel aux fonctions trigonométriques inverses qui sont :
x = sin A A, et SYMBOL 112 \f "Symbol" A
x = cos A A, et A
x = tg A A, et SYMBOL 112 \f "Symbol"+A
Afin de lever cette ambiguïté, une méthode consiste à définir à l'aide de deux formules le même paramètre, ce qui est aisé car on dispose, par exemple, dans le paragraphe 1.8.1 de la formule de l'analogie des sinus, et de celle des cotangentes. La figure 34 illustre cette méthode où on compare le signe de la cotangente ou de la tangente à celui du sinus.
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Figure AUTONUM Résolution des triangles sphériques
XE "résolution des triangles sphériques"
On définit ainsi quatre quadrants, et si on appelle a l'angle compris entre -EMBED Equation et + EMBED Equation
tel que sin a = sin (SYMBOL 112 \f "Symbol" A)=sin A il vient :
SYMBOL 236 \f "Symbol"si cot A ou tg A>0 : A=a
sinA>0 : 0
