Formation vecteurs Exercices complémentaires
Norme des vecteurs .... Résultat La norme du vecteur w est de 3,6 unités. ... Soit
et , deux vecteurs qui constituent une base vectorielle. .... Si le pilote du bimoteur
ne corrige pas sa direction, il se retrouvera au point (120, 160) après une heure ...
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Mathématique, 5e sec.
Exercices complémentaires
Guide
Introduction aux vecteurs
1- CONTENU
Exercices complémentaires
Introduction aux vecteurs
Référence à l'épreuve :
Fichier : R:\BIM90\PERS\068536W\VECTEURS.E01
Question Item Objectif H T C Ind. d Ind. F Ind. 1 Ind. 2 Dimension
1 0558 GEO.01.02 C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 0608 GEO.01 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3 0632 GEO.01.02 C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 0485 GEO.01.03 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
5 0615 GEO.01.02 A C F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
6 0534 GEO.01.03 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
7 0510 GEO.01.03 C M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
8 0559 GEO.01.03 A M F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
9 0515 GEO.01.02 A C F +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
10 0587 GEO.01.02 A C M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
11 0543 GEO.01.02 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
12 0582 GEO.01 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
13 0659 GEO.01.02 C M M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
14 0575 GEO.01.06 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
15 0523 GEO.01.06 P E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
16 0598 GEO.01 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
17 0624 GEO.01 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
18 0673 GEO.01 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
19 0549 GEO.01 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
20 0500 GEO.01 P E D +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
21 0646 GEO.01 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
22 0499 GEO.01.02 A E M +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Légende
H : Habiletés A : Maîtrise de l'application
C : Maîtrise des concepts
P : Maîtrise de la résolution de problèmes
T : Types d'item A : Appariement
C : Réponse courte
E : Réponse élaborée
I : Illustration ou texte
M : Choix multiple
T : Tâche évaluative
C : Complexités F : Facile
M : Moyen
D : Difficile
Ind. d : Indice de discrimination
Ind. F : Indice de facilité
Ind. 1 : Indice 1
Ind. 2 : Indice 2
Dimension : Dimension
2- CLÉ DE CORRECTION
1
A
2
D
3
C
4
D
5
Les composantes du vecteur v sont (2, 4).
6
D
7
B
8
D
9
Le produit scalaire des vecteurs u et v est 16.
10
Le produit scalaire des vecteurs u et v est -75.
11
Exemple d'une démarche appropriée
Soit EMBED Equation.3 = (5, 2) et EMBED Equation.3 = (2, 3)
Produit scalaire
EMBED Equation.3 = (5, 2) (2, 3)
EMBED Equation.3 = 5 ( 2 + 2 ( 3
EMBED Equation.3 = 16
Norme des vecteurs
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Angle entre EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
cos ( ( 0,824 04
( ( 34,51(
Résultat L'angle entre ces vecteurs mesure 34,51(.
12
B
13
D
14
Exemple d'une démarche appropriée
Hypothèses :
1. ABCDEF est un hexagone régulier
2. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Conclusion : EMBED Equation.3
Affirmations
Justifications
1. a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
1. a) Relation de Chasles
b) Par substitution
2. a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
2. a) EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont des vecteurs opposés par définition d'un hexagone régulier.
b) Par substitution
3. a) EMBED Equation.3
b) EMBED Equation.3
3. a) EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont des vecteurs opposés par définition d'un polygone régulier.
b) Par substitution
4. EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
4. Addition vectorielle
15
Exemple d'une démarche appropriée
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Les vecteurs MN et PO sont donc parallèles et de même longueur.
Le quadrilatère MNOP est donc un parallélogramme.
16
Exemple d'une démarche appropriée
EMBED Equation.3 à démontrer
1. EMBED Equation.3
par substitution car EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3
car EMBED Equation.3 est le vecteur opposé à EMBED Equation.3
3. EMBED Equation.3
par substitution car EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3
d'après la loi de Chasles EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
5. EMBED Equation.3
d'après la loi de Chasles EMBED Equation.3
17
Exemple d'une démarche appropriée
EMBED Equation.3 relation de Chasles
EMBED Equation.3 relation de Chasles
Produit scalaire
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 car EMBED Equation.3 définition d'un losange= EMBED Equation.3 distributivité= - EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 définition du produit scalaire=c2 ( c2 c = longueur d'un côté du losange=0
Puisque EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Théorème du produit scalaire
18
Exemple dune démarche appropriée
Composantes du vecteur AB
EMBED Equation.3 = (400 ( 150, 200 ( 125) = (250, 75)
Composantes du vecteur manquant
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = (250, 75) ( (20, -15)
EMBED Equation.3 = (250 ( 20, 75 + 15)
EMBED Equation.3 = (230, 90) EMBED Word.Picture.8
Orientation du vecteur manquant
tan ( = EMBED Equation.3
( ( 21,37( EMBED Word.Picture.8
Résultat Au degré près, la mesure de langle, par rapport à lest, que le pilote doit donner à lavion pour atteindre laéroport B est de 21(.
Notes Ne pas pénaliser lélève qui na pas arrondi le résultat final ou qui a fait une erreur en larrondissant.
Lélève qui utilise une stratégie pertinente pour déterminer les composantes du vecteur manquant montre une compréhension partielle du problème.
19
Exemple d'une démarche appropriée
Mesure de l'angle A
m (A = 180( ( 80( = 100(
car deux angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires.
Force résultante (grandeur)
EMBED Equation.3 = 502 + 1002 ( 2(50)(100) cos 100(
EMBED Equation.3 ( 119,3N EMBED Word.Picture.8
Orientation de la force résultante
EMBED Equation.3
sin ¸ ( 0,412 74
¸ ( 24,38(
L'orientation est de 24,38( + 40(, soit environ 64,38(.
Résultat Claude appliquera une force de 119,3N avec une orientation de 64,38(.
20
Exemple d'une démarche appropriée
Soit ADVANCE \u2 EMBED Equation.3 ADVANCE \d2 le vecteur vent
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
doù
100 + x = 120 et x = 20
150 + y = 160 et y = 10
Alors EMBED Equation.3
Vitesse du vent
EMBED Equation.3
Résultat La vitesse du vent est de 22,36 km/h.
21
Exemple d'une démarche appropriée
Soit EMBED Equation.3 le vecteur résultant
Norme du vecteur résultant
EMBED Equation.3 = 82 + 502 ( 2 ( 8 ( 50 ( cos 45(
EMBED Equation.3 ( 1998,31
EMBED Equation.3 ( 44,7
Direction
EMBED Equation.3
sin ( = 0,1266
( = 7,3(
270( - 7,3( = 262,7( EMBED Word.Picture.8
Résultat La vitesse réelle de la montgolfière est 44,7 km/h dans une direction de 262,7(.
22
Exemple d'une démarche appropriée
Traçons le vecteur w.
Puisque les angles consécutifs dun parallélogramme sont supplémentaires,
180( ( 60( = 120(
Calculons la norme.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 12 + 32 ( 2(1)(3) cos 120(
EMBED Equation.3 13
EMBED Equation.3
Résultat La norme du vecteur w est de 3,6 unités.
Mathématique, 5e sec.
Exercices complémentaires
Questionnaire
Introduction aux vecteurs
BIM/CahEle
1
Soit le prisme droit à base rectangulaire ci contre.
Quel vecteur est égal à la résultante de l'expression EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ?
A)
EMBED Equation.3
C)
EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3
D)
EMBED Equation.3
2
Soit EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , trois vecteurs.
EMBED Equation.3 = (-2, -3)
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont représentés dans le plan cartésien suivant :
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est VRAIE?
A)
EMBED Equation.3 et - EMBED Equation.3 sont des vecteurs opposés.
B)
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont des vecteurs équipollents.
C)
EMBED Equation.3 et ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ) sont perpendiculaires.
D)
EMBED Equation.3 et 3 EMBED Equation.3 sont colinéaires.
3
Soit le parallélogramme PQRS SHAPE \* MERGEFORMAT
Laquelle des propositions suivantes est FAUSSE?
A)
EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3
C)
EMBED Equation.3
D)
EMBED Equation.3
4
Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme et M est le point de rencontre de ses diagonales.
Antoine fait les affirmations ci dessous sur les opérations vectorielles : EMBED Word.Picture.8
1) EMBED Equation.3 2) EMBED Equation.3 3) EMBED Equation.3 4) EMBED Equation.3 5) EMBED Equation.3
Lesquelles de ces affirmations sont vraies?
A)
1, 2 et 3 seulement
C)
2, 4 et 5 seulement
B)
1, 2 et 5 seulement
D)
1, 3 et 4 seulement
5
Soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , deux vecteurs qui constituent une base vectorielle.
Le vecteur w = (24, 16) peut être exprimé par la combinaison linéaire suivante : EMBED Equation.3 .
Quelles sont les composantes du vecteur v?
6
Soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3, deux vecteurs non nuls.
Lequel des énoncés suivants est FAUX?
A)
EMBED Equation.3
C)
EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3
D)
EMBED Equation.3
7
En tenant compte des éléments ci dessous,
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont des vecteurs non nuls du plan
EMBED Equation.3
k est un scalaire non nul
k ( 1
Lequel des énoncés suivants est vrai?
A)
EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3
C)
si EMBED Equation.3 alors EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont colinéairesADVANCE \u6
D)
si EMBED Equation.3 = k EMBED Equation.3 alors EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 sont non colinéairesADVANCE \u6
8
Pour construire les pyramides, les Égyptiens utilisaient un système de poulie très ingénieux afin de transporter les blocs de pierre. Ils appliquaient une force orientée de 26( sur les blocs de pierre afin de minimiser le travail nécessaire à leur déplacement. (Le travail (Nm) est défini comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement.)
Quel travail, arrondi au Nm le plus près, est nécessaire pour déplacer un bloc de pierre horizontalement, sur une distance de 200 m, si on lui applique une force de 1500 N orientée de 26(?
A)
131 511 Nm
C)
228 768 Nm
B)
194 076 Nm
D)
269 638 Nm
9
Soit les vecteurs u et v définis ci dessous.
EMBED Equation.3 où A(-2, 3) et B(6, 7)
EMBED Equation.3
Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v?
10
Les vecteurs u et v sont représentés dans le plan cartésien ci dessous.
EMBED Equation.3 où A(3, 4) et B(8, 14)
EMBED Equation.3 où C(8, 1) et D(5, -5)Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v?
11
Soit EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , deux vecteurs représentés dans le plan cartésien ci-dessous.
Quelle est la mesure de l'angle, au centième près, entre ces vecteurs?
Laissez les traces de votre démarche.
12
Soit le prisme droit ci contre.
Laquelle de ces affirmations est FAUSSE?
A)
EMBED Equation.3
C)
EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3
D)
EMBED Equation.3
13
Considérons le rectangle ABCD illustré ci-dessous.
EMBED Word.Picture.8
Lequel des énoncés suivants est vrai?
A)
EMBED Equation.3
C)
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3
B)
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3
D)
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3
14
Soit l'hexagone régulier illustré ci-contre
où EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
et EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Démontrez l'identité suivante : EMBED Equation.3
Laissez les traces de votre démarche.
15
Dans le quadrilatère ABCD représenté ci dessous, les points M, N, O et P sont les points milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA.
Soit la proposition suivante : les milieux des côtés de tout quadrilatère sont les sommets d'un parallélogramme.
À l'aide de la figure ci dessus, démontrez cette proposition.
Laissez les traces de votre démarche.
16
Dans le polygone ci dessous, ABCDG est un carré.
D et G sont respectivement les points milieu des côtés CG et AF. De plus, le côté AB est parallèle au côté EF.
À l'aide des propriétés des vecteurs, montrez que EMBED Equation.3 .
Laissez les traces de votre démarche.
17
Soit le losange ABCD ci contre.
À l'aide des vecteurs, démontrez la proposition suivante :
« Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. »
Laissez les traces de votre démarche.
18
Un avion quitte laéroport A et doit se rendre à laéroport B. Dans le plan cartésien ci-contre, ces aéroports sont représentés respectivement par les points A et B. Ce plan est gradué en kilomètres.
Durant le vol, lavion est soumis à un vent constant. Ce vent est représenté par le vecteur EMBED Equation.3 = (20, -15). EMBED Word.Picture.8
Le pilote oriente donc lavion de manière à annuler leffet du vent.
Quelle est, au degré près, la mesure de langle, par rapport à lest, que le pilote doit donner à lavion pour atteindre laéroport B?
Laissez les traces de votre démarche.
19
Pierre et Marie tirent sur un objet. Ils appliquent respectivement des forces de 100N et 50N, avec des orientations différentes, soit 40( et 120(. La situation est représentée ci-dessous.
EMBED Word.Picture.8
Claude leur propose de les remplacer.
Quelle force Claude doit-il appliquer pour produire le même effet sur l'objet (grandeur et orientation)?
Laissez les traces de votre démarche.
20
Un bimoteur se déplace dune ville A à une ville B.
Dans un plan cartésien graduée en kilomètre, la ville A est située à lorigine et la ville B, au point (100, 150).
Sil ny a pas de vent, le vol entre les villes A et B dure une heure.
Mais malheureusement, il y a du vent. Si le pilote du bimoteur ne corrige pas sa direction, il se retrouvera au point (120, 160) après une heure de vol.
Quelle est la vitesse du vent?
Laissez les traces de votre démarche.
21
Un dirigeable se dirige vers le sud à une vitesse de 50 km/h. Il est dévié par un vent de 8 km/h provenant du sud-est.
Quelle est la vitesse réelle du dirigeable et quelle est sa direction, si cette direction est celle de la résultante?
EMBED Word.Picture.8 Laissez les traces de votre démarche.
22
Deux vecteurs unitaires u et v forment un angle de 60( lun par rapport à lautre.
Quelle est la norme du vecteur w si EMBED Equation.3 ?
Laissez les traces de votre démarche. EMBED Word.Picture.8
Mathématique, 5e sec.
Exercices complémentaires
Cahier de réponses
Introduction aux vecteurs
BIM/CahRep
Nom de l'élèveGroupeDate
1
[A] [B] [C] [D]
2
[A] [B] [C] [D]
3
[A] [B] [C] [D]
4
[A] [B] [C] [D]
5
Les composantes du vecteur v sont ______________________________________.
6
[A] [B] [C] [D]
7
[A] [B] [C] [D]
8
[A] [B] [C] [D]
9
Le produit scalaire des vecteurs u et v est __________.
10
Le produit scalaire des vecteurs u et v est __________.
11
Démarche
Résultat L'angle entre ces vecteurs mesure ____________(.
12
[A] [B] [C] [D]
13
[A] [B] [C] [D]
14
Démarche
Hypothèses :
1. ABCDEF est un hexagone régulier
2. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Conclusion : EMBED Equation.3 .
Affirmations
Justifications
15
Démarche
16
Montrez que
EMBED Equation.3
17
Démonstration
18
Démarche EMBED Word.Picture.8
Résultat
Au degré près, la mesure de langle, par rapport à lest, que le pilote doit donner à lavion pour atteindre laéroport B est de __________ (.
19
Démarche
EMBED Word.Picture.8
Résultat Claude doit appliquer une force de ______ N avec une orientation de ______(.
20
Démarche
Résultat
La vitesse du vent est de _______________ km/h.
21
Démarche
Résultat La vitesse réelle du dirigeable est __________ km/h.
dans une direction de __________°.
22
D 78>XYZ[\]hæaÝ 34Eefv¨©®ÝÞâãêàÓÆ»±§~vjvjv~b]b]]]] h u6h umH sH h uCJPJmH sH h uCJPJ h u5h ujh uCJOJQJUh uCJOJQJh uOJQJh uCJ OJQJh uCJ$OJQJh u5OJQJ\h u5CJ OJQJ\h u5CJ OJQJ\h uCJ(OJQJ*jh uCJOJQJUmHnHsH u# 78>?YZ\]hµåæ< = ã 6
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h uCJUVjθh uEHöÿUjF*>>
h uUVj}¶h uEHöÿUjB*>>
h uUV j-ðh u h uH* h u6jt²h uEHìÿUj?*>>
h uUVh ujh uUj¡¯h uEHöÿUj=*>>
h uUV, 5 6 8 : µ¬£Y¬£Jkd
µ$$If$Ö0Ðxä#¨löÖÿÿÖÿÿ Öÿÿ Öÿÿ4Ö4ÖHaöÐ $$Ifa$ $$Ifa$Jkd µ$$If$Ö0Ðxä#¨löÖÿÿÖÿÿ Öÿÿ Öÿÿ4Ö4ÖHaöÐ: ;
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